中考数学专题训练——圆与四边形综合

1. 如图，四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 为菱形，以 𝐴𝐷 为直径作 ⊙𝑂 交 𝐴𝐵 于点 𝐹，连接 𝐷𝐵 交 ⊙𝑂 于点 𝐻，𝐸 是 𝐵𝐶 上的一点，且 𝐵𝐸=𝐵𝐹，连接 𝐷𝐸．

(1) 求证：𝐷𝐸 是 ⊙𝑂 的切线．

(2) 若 𝐵𝐹=2，𝐵𝐷=2√5，求 ⊙𝑂 的半径．

2. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，点 𝐹 在 𝐵𝐶 边上，过 𝐴，𝐵，𝐹 三点的 ⊙𝑂 交 𝐴𝐶 于另一点 𝐷，作直径 𝐴𝐸，连接 𝐸𝐹 并延长交 𝐴𝐶 于点 𝐺，连接 𝐵𝐸，𝐵𝐷，四边形 𝐵𝐷𝐺𝐸 是平行四边形．

(1) 求证：𝐴𝐵=𝐵𝐹．

(2) 当 𝐹 为 𝐵𝐶 的中点，且 𝐴𝐶=3 时，求 ⊙𝑂 的直径长．

3. 如图，𝐴𝐵 是 ⊙𝑂 的直径，𝑀 为弧 𝐴𝐵 的中点，正方形 𝑂𝐶𝐺𝐷 绕点 𝑂 旋𝐴𝐵=4√2，转与 △𝐴𝑀𝐵 的两边分别交于 𝐸，𝐹（点 𝐸，𝐹 与点 𝐴，𝐵，𝑀 均不重合），与 ⊙𝑂 分别交于 𝑃，𝑄 两点．

(1) 求证：△𝐴𝑀𝐵 为等腰直角三角形； (2) 求证：𝑂𝐸=𝑂𝐹；

(3) 连接 𝐸𝐹，试探究：在正方形 𝑂𝐶𝐺𝐷 绕点 𝑂 旋转的过程中，△𝐸𝑀𝐹 的周长是否

存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

4. 如图，𝐴𝐵 是 ⊙𝑂 的直径，点 𝑃 是圆上不与点 𝐴，𝐵 重合的动点，连接 𝐴𝑃 并延长到点 𝐷，使 𝐴𝑃=𝐷𝑃，点 𝐶 是 𝐵𝐷 的中点，连接 𝑂𝑃，𝑂𝐶，𝑃𝐶．

(1) 求证：∠𝐴=∠𝐷；

(2) 填空：①若 𝐴𝐵=10 cm，当 𝐴𝑃= cm 时，四边形 𝐴𝑂𝐶𝑃 是菱形；

②当四边形 𝑂𝐵𝐶𝑃 是正方形时，∠𝐷𝑃𝐶=

5. 如图，𝐶𝐸⊥𝐵𝐷，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3，𝑃 为 𝐵𝐷 上一个动点，在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，以 𝑃 为圆心，𝑃𝐵 长为半径作 ⊙𝑃，⊙𝑃 交 𝐶𝐸，𝐵𝐷，𝐵𝐶 于 𝐹，𝐺，𝐻（任意两点不重合）．

∘

．

(1) 半径 𝐵𝑃 的长度范围为 ．

(2) 连接 𝐵𝐹 并延长交 𝐶𝐷 于 𝐾，若 tan∠𝐾𝐹𝐶=3，求 𝐵𝑃． (3) 连接 𝐺𝐻，将劣弧 𝐻𝐺 沿着 𝐻𝐺 翻折交 𝐵𝐷 于点 𝑀，试探究

若是求出该值，若不是，请说明理由．

6. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐷 是 𝐴𝐵 上一点，⊙𝑂 经过点 𝐴，𝐶，𝐷，交 𝐵𝐶 于点 𝐸，过点 𝐷 作 𝐷𝐹∥𝐵𝐶，交 ⊙𝑂 于点 𝐹．求证：

𝑃𝑀𝐵𝑃

是否为定值，

(1) 四边形 𝐷𝐵𝐶𝐹 是平行四边形； (2) 𝐴𝐹=𝐸𝐹．

7. 如图，⊙𝑂 的直径 𝐴𝐵=6，𝐶 为圆周上一点，𝐴𝐶=3，过点 𝐶 作 ⊙𝑂 的切线 𝑙，过点 𝐵 作 𝑙 的垂线 𝐵𝐷，垂足为 𝐷，𝐵𝐷 与 ⊙𝑂 交于点 𝐸．

(1) 求 ∠𝐴𝐸𝐶 的度数

(2) 求证：四边形 𝑂𝐵𝐸𝐶 是菱形．

8. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐷 是 𝐴𝐵 上一点，⊙𝑂 经过点 𝐴，𝐶，𝐷，交 𝐵𝐶 于点 𝐸，过点 𝐷 作 𝐷𝐹∥𝐵𝐶，交 ⊙𝑂 于点 𝐹．求证：

(1) 四边形 𝐷𝐵𝐶𝐹 是平行四边形； (2) 𝐴𝐹=𝐸𝐹．

9. 已知四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，以 𝐴𝐵 为直径的 ⊙𝑂 经过点 𝐷，∠𝐷𝐴𝐵=45∘． (1) 如图 1，判断 𝐶𝐷 与 ⊙𝑂 的位置关系，并说明理由；

(2) 如图 2，𝐸 是 ⊙𝑂 上一点，且点 𝐸 在 𝐴𝐵 的下方，若 ⊙𝑂 的半径为 3 cm，

𝐴𝐸=5 cm，求点 𝐸 到 𝐴𝐵 的距离．

10. 如图，在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=8，点 𝑃 在边 𝐵𝐶 上（点 𝑃 与端点 𝐵，𝐶 不

重合），以 𝑃 为圆心，𝑃𝐵 为半径作圆，圆 𝑃 与射线 𝐵𝐷 的另一个交点为点 𝐸，直𝐵𝑀=线 𝐶𝐸 与射线 𝐴𝐷 交于点 𝐺．点 𝑀 为线段 𝐵𝐸 的中点，连接 𝑃𝑀．设 𝐵𝑃=𝑥，𝑦．

(1) 求 𝑦 关于 𝑥 的函数解析式，并写出该函数的定义域． (2) 连接 𝐴𝑃，当 𝐴𝑃∥𝐶𝐸 时，求 𝑥 的值．

(3) 如果射线 𝐸𝐶 与圆 𝑃 的另一个公共点为点 𝐹，当 △𝐶𝑃𝐹 为直角三角形时，求 △

𝐶𝑃𝐹 的面积．

11. 如图，点 𝑂 在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的 𝐴𝐷 边上，⊙𝑂 经过 𝐴，𝐵，𝐶 三点，点 𝐸 在

⊙𝑂 外，且 𝑂𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为 𝐹．

(1) 若 𝐸𝐶 是 ⊙𝑂 的切线，∠𝐴=65∘，求 ∠𝐸𝐶𝐵 的度数； (2) 若 𝑂𝐹=4，𝑂𝐷=1，求 𝐴𝐵 的长．

12. 如图，𝐸 是 𝐵𝐶 的中点，𝑃 是 𝐷𝐸 上一点，∠𝐵𝑃𝐶=90∘，矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，连接 𝐷𝐸，

延长 𝐶𝑃 交 𝐴𝐷 于点 𝐹．⊙𝑂 经过 𝑃，𝐷，𝐹，交 𝐶𝐷 于点 𝐺．

(1) 求证 𝐷𝐹=𝐷𝑃；

(2) 若 𝐴𝐵=12，𝐵𝐶=10，求 𝐷𝐺 的长；

(3) 连接 𝐵𝐹，若 𝐵𝐹 是 ⊙𝑂 的切线，直接写出 𝐵𝐶 的值．

13. 如图 1，在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐷=3，𝐷𝐶=4，动点 𝑃 在线段 𝐷𝐶 上以每秒 1 个单

位的速度从点 𝐷 向点 𝐶 运动，过点 𝑃 作 𝑃𝑄∥𝐴𝐶 交 𝐴𝐷 于 𝑄，将 △𝑃𝐷𝑄 沿 𝑃𝑄 翻折得到 △𝑃𝑄𝐸．设点 𝑃 的运动时间为 𝑡(s)．

𝐴𝐵

(1) 当点 𝐸 落在边 𝐴𝐵 上时，𝑡 的值为 ．

(2) 设 △𝑃𝑄𝐸 与 △𝐴𝐷𝐶 重叠部分的面积为 𝑆，求 𝑆 与 𝑡 的函数关系式． (3) 如图 2，以 𝑃𝐸 为直径作 ⊙𝑂．当 ⊙𝑂 与 𝐴𝐶 边相切时，求 𝐶𝑃 的长．

14. 如图，在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，𝐴𝐵=3，𝐴𝐷=5，点 𝑃 在对角线 𝐴𝐶 上

运动，以 𝑃 为圆心，𝑃𝐴 为半径作 ⊙𝑃．

(1) 当 ⊙𝑃 与边 𝐶𝐷 相切时，𝐴𝑃= ； (2) 当 ⊙𝑃 与边 𝐵𝐶 相切时，求 𝐴𝑃 的长；

(3) 请根据 𝐴𝑃 的取值范围探索 ⊙𝑃 与平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 四边公共点的个数．

15. 如图，在射线 𝐵𝐴，𝐵𝐶，𝐴𝐷，𝐶𝐷 围成的菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∠𝐴𝐵𝐶=60∘，𝐴𝐵=6√3．𝑂

是射线 𝐵𝐷 上一点，⊙𝑂 与 𝐵𝐴，𝐵𝐶 都相切，与 𝐵𝑂 的延长线交于点 𝑀．过 𝑀 作 𝐸𝐹⊥𝐵𝐷 交线段 𝐵𝐴（或射线 𝐴𝐷）于点 𝐸，交线段 𝐵𝐶（或射线 𝐶𝐷）于点 𝐹．以 𝐸𝐹 为边作矩形 𝐸𝐹𝐺𝐻，点 𝐺，𝐻 分别在围成菱形的另外两条射线上．

(1) 求证：𝐵𝑂=2𝑂𝑀．

(2) 设 𝐸𝐹>𝐻𝐸，当矩形的面积为 24√3 时，求 ⊙𝑂 的半径．

(3) 当 𝐻𝐸 或 𝐻𝐺 与 ⊙𝑂 相切时，求出所有满足条件的 𝐵𝑂 的长．

16. 如图，在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，对角线相交于点 𝑂，⊙𝑀 为 △𝐵𝐶𝐷 的内切圆，切点分别

为 𝑁，𝑃，𝑄，𝐷𝑁=4，𝐵𝑁=6．

(1) 求 𝐵𝐶，𝐶𝐷；

(2) 点 𝐻 从点 𝐴 出发，沿线段 𝐴𝐷 向点 𝐷 以每秒 3 个单位长度的速度运动，当点

𝐻 运动到点 𝐷 时停止，过点 𝐻 作 𝐻𝐼∥𝐵𝐷 交 𝐴𝐶 于点 𝐼，设运动时间为 𝑡 秒．①将 △𝐴𝐻𝐼 沿 𝐴𝐶 翻折得 △𝐴𝐻ʹ𝐼，是否存在时刻 𝑡，使点 𝐻ʹ 恰好落在边 𝐵𝐶 上？若存在，求 𝑡 的值；若不存在，请说明理由；

②若点 𝐹 为线段 𝐶𝐷 上的动点，当 △𝑂𝐹𝐻 为正三角形时，求 𝑡 的值．