一、选择题(每题3分，共30分)
1．如图，已知菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是( ) A．12 B．9 C．6 D．3
(第1题)
2．下列命题为真命题的是( )
(第4题) (第6题)
A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形
3．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形 B．菱形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
4．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的( )
1113A. B. C. D. 54310
5．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有( )
①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为( )
A．82 B．42 C．8 D．6
7．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是正方形的顶点，则∠ABC的度
数为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )
A．28° B．52° C．62° D．72°
(第7题) (第8题)
(第9题) (第10题)
9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( )
A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝25 D．AF＝EF
10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(点P不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题(每题3分，共24分)
11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．
12．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．
(第11题) (第12题 (第13题)
13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝________.
14．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________.
15．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于________．
(第15题) (第16题)
(第17题) (第18题)
16．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________.
17．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为________．
18．如图，在边长为1的菱形 ABCD中，∠DAB＝60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是________．
三、解答题(19，20题每题9分，21题 10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F.求证：四边形AECF是菱形．
(第19题) (第20题)
20．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD. (1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积．
21．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数．
(第21题)
22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.
(1)求证：△DCE≌△BFE；
(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长． (第22题)
23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.
(1)求证：BE＝CF.
(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．
(第23题)
24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．
(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由．
(第24题)
答案
一、1.D 2.A
3．D 点拨：首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
4．B
5．A 点拨：①当AB＝BC时，它是菱形，正确；②当AC⊥BD时，它是菱形，正确；③当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确；④当AC＝BD时，它是矩形，因此④是错误的．
6．C 7.C 8.C
9．D 点拨：如图，由折叠得∠1＝∠2. ∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3. ∴AE＝AF.故选项A正确．
由折叠得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°. ∵AB＝CD，∴AB＝AG. ∵AE＝AF，∠B＝90°， ∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)． 故选项B正确．
设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x. 又AG＝AB＝4，
∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－
x)2＝42＋x2.
解得x＝3.∴AF＝8－x＝5. 则AE＝AF＝5，
∴BE＝AE2－AB2＝52－42＝3. 过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2.
在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF＝EM2＋FM2＝22＋42＝20＝25，则选项
C正确．
∵AF＝5，EF＝25，∴AF≠EF.故选项D错误．
(第9题)
10．D 点拨：∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAE＝∠MAE＝45°.
∵PM⊥AC，∴∠PEA＝∠MEA. 又∵AE＝AE，∴根据“ASA”可得△APE≌△AME.故①正确．由①得PE＝ME，∴PM＝2PE.同理PN＝2PF.又易知PF＝BF，四边形PEOF是矩形，∴PN＝2BF，PM＝2FO.∴PM＋PN＝2FO＋2BF＝2BO＝BD.故②正确．在Rt△PFO中，∵FO2
＋PF2
＝PO2
，而PE＝FO，∴PE2
＋PF2
＝PO2.故③正确．
二、11.90° 点拨：对角线相等的平行四
边形是矩形．
12．12 点拨：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积＝1
2×6×8＝
24.∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝1
2
×24＝12.
13．120°
(第14题)
14．22.5° 点拨：如图，由四边形ABCD
是正方形，可知∠CAD＝1
2
∠BAD＝45°.
由FE⊥AC，可知∠AEF＝90°.
在Rt△AEF与Rt△ADF中， AE＝AD，
AF＝AF，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF(HL)．
∴∠FAD＝∠FAE＝12∠CAD＝1
2
×45°＝
22.5°.
15.10 16.2－1
17．20 点拨：点N是BC的中点，点E，F分别是BM，CM的中点，由三角形的中位线定理可证EN∥MC，NF∥ME，EN＝
1
2
MC，FN＝1
2MB.又易知MB＝MC，所以四边
形ENFM是菱形．由点M是AD的中点，AD＝12得AM＝6.在Rt△ABM中，由勾股定理得BM＝10.因为点E是BM的中点，所
以EM＝5.所以四边形ENFM的周长为20.
18．(3)n－
1
三、19.证明：∵EF垂直平分AC， ∴∠AOE＝∠COF＝90°，OA＝OC. ∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF. ∴△AOE≌△COF(ASA)． ∴AE＝CF.又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形． 20．(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED为平行四边形． ∵四边形ABCD为矩形，∴OD＝OC. ∴四边形OCED为菱形． (2)解：∵四边形ABCD为矩形， ∴BO＝DO＝12
BD.
∴S111
△OCD＝S△OCB＝2S△ABC＝2×2×3×4
＝3.
∴S菱形OCED＝2S△OCD＝6.
21．(1)证明：在△BCE与△DCF中， ∴△BCE≌△DCF.
(2)解：∵△BCE≌△DCF， ∴∠EBC＝∠FDC＝30°. ∵∠BCD＝90°，∴∠BEC＝60°. ∵EC＝FC，∠ECF＝90°，
∴∠CEF＝45°.∴∠BEF＝105°. 22．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADB＝∠DBC.
根据折叠的性质得∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝90°，
∴∠DBC＝∠BDF，∠C＝∠F. ∴BE＝DE.
在△DCE和△BFE中， ∴△DCE≌△BFE. (2)解：在Rt△BCD中，
∵CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°， ∴BD＝4.∴BC＝23.
在Rt△ECD中，易得∠EDC＝30°. ∴DE＝2EC. ∴(2EC)2－EC2＝CD2. ∵CD＝2， ∴CE＝
23
3
. ∴BE＝BC－EC＝43
3
.
(第23题)
23．(1)证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD为菱形，
∠BAD＝120°， ∴∠ABE＝∠ACF＝60°， ∠1＋∠2＝60°.
∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°， ∴∠1＝∠3.
∵∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形． ∴AC＝AB. ∴△ABE≌△ACF. ∴BE＝CF.
(2)解：四边形AECF的面积不变． 由(1)知△ABE≌△ACF， 则S△ABE＝S△ACF， 故S
四边形
AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋
S△ABE＝S△ABC.
如图，过A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，
∴AM＝AB2－BM2＝42－22＝23. ∴S11
△ABC＝2BC·AM＝2×4×23＝43.
故S四边形AECF＝43.
24．解：(1)OE＝OF.理由如下：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠BCE.又∵MN∥BC， ∴∠NEC＝∠BCE.
∴∠NEC＝∠ACE.∴OE＝OC. ∵CF是∠ACD的平分线， ∴∠OCF＝∠FCD.又∵MN∥BC， ∴∠OFC＝∠FCD. ∴∠OFC＝∠OCF. ∴OF＝OC.∴OE＝OF.
(2)当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．
理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形． ∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO. ∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF. ∴四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，∠AOE＝90°，∴AC⊥EF.
∴四边形AECF是正方形． (3)不可能 理由如下：
连接BF，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF＝
12∠ACB＋11
2∠ACD＝2
(∠ACB＋∠ACD)＝90°.若四边形BCFE是菱
形，则BF⊥EC.但在一个三角形中，不可能存在两个角为90°，故四边形BCFE不可能为菱形．
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