应用向量法证明正余弦定理

￡盔顿矗鲵ｇ锡教沥９弼．需秘苡览名２馓夕中学数学杂志２００８年第９期应用向量法证明正（余）弦定理江苏省泰州市森南新村１５栋１０３室向量法是一种解析方法，此法在证几何题时，由于具有几何的直观性，表述的简洁性和处理方法的一般性，因此对于数学知识的融汇贯通很有帮助．现仅就著名的正（余）弦定理的向量证明进行介绍，供高二学生学习时参考．１２２５３００于志洪贝０ａ２＝ｂ２＋ｃ２—２ｂｃｃｏｓＡ，ｂ２＝ａ２＋ｃ２—２ａｃｃｏｓＢ．ｃ２＝ａ２＋ｂ２—２ａｂｃｏｓＣ．证明：如图２，在已知ＡＡＢＣ的三边ＡＢ、ＢＣ和ＣＡ上，分别取从Ｂ向Ａ、从Ｂ向Ｃ和从Ａ向Ｃ为正方向，这ＢＣ正弦定理的向量法证明在任意ＡＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ分别为［Ａ、［日、［Ｃ样就得到三个向量ＢＡ、ＢＣ和ＡＣ，并ＲＢＡ＋ＡＣ＝Ｂ丘根据关于向量的射影定理可知：日Ｃ的射影＝ＢＡ‘的射影＋ＡＣ的射影ＢＣ在轴ＢＣ上的射影＝ＩＢＡ在轴ＢＣ上的射影＝ＩＡＣ在轴ＢＣ上的射影＝ｌ所以ａ＝ｃｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＣ同理可证得：ｂ＝ａｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＡｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡＢＣＩｃｏｓＯ。＝ａ；ＢＡｌｃｏｓＢ＝ｃｃｏｓＢ；ＡＣｃｏｓＣ＝ｂｃｏｓＣ；的对边，则志＝志＝盎证明上ＡＢ于Ｄ．如图１，作ＣＤ因为封闭线段在任意轴上投影的代数和为零．又因为ＡＢ上ＤＣ，所彳．夕‘＼．ｊＤ．①②③以ＡＢ在轴ＤＣ上投影为零；而ＡＣ在ＤＣ上投影为ｂｓｉｎＡ，ＣＢ在ＤＣ上投影为一ａｓｉｎＢ．所以ｂｓｉｎＡ—ａｓｉｎＢ＝０，所以ｂｓｉｎＡ＝ａｓｉｎＢ．所再由①・ａ一②・ｂ一③・ｃ，即可得到ａ２＝ｂ２＋ｃ２—２ｂｃｃｏｓＡ．以志＝志．同理可证得志＝盎，壶＝志，所以南＝志＝盎２同法：ｂ２＝ａ２＋ｃ２，２ｂｃｃｏｓＢｃ２＝口２＋ｂ２—２ａ６ｃｏｓＣ．余弦定理的向量法证明在任意ＡＡＢＣ中，ａ、ｂ、Ｃ为￡Ａ、［Ｂ、［Ｃ的对上述向量法证明正（余）弦定理，不必去区分锐角、钝角、直角三角形，从而大大简化了证明过程，因而值得介绍．边，欢迎订阅２００９年“中小学教与学”系列杂志本系列杂志由中国人民大学主办、中国人民大学书报资料中心编辑出版。邮发代号２—５９９８０—３３６２—６１６２—６１５８０—３３５２—６２６２—６１７２—６１８２—６１９２—６２ｌ刊名中学语文教与学（高中版）中学语文教与学（初中版）中学历史、地理教与学中学教学教与学（高中版）中学数学教与学（初中版）中学物理教与学本系列杂志具有鲜明的集优性、先进性、实用性、时效性和便捷性。拥有本刊，你将在最短最快的时间内了解到教学改革的动态与主流趋势，她将助你在教学领域中迅速走向成熟，走向高峰！主要栏目：每期定价垒年定价（元）（元）月刊６．ｏｏ７２．∞刊期月刊月刊月刊月刊月刊月刊月刊月刊月刊６．ｏｏ７２．００７２．００６．∞６．００６．００７２．∞７２．∞７２．００７２．００７２．００７２．００７２．００学科论坛教改探索考试研究解题研究教学设计课程教材实验园地百家争鸣信息交流国外教育中学化学教与学中学外语教与学中学政治及其他各科教与学小学各科教与学６．∞６．∞６．００６．００６．０Ｄ订购处：全国各地邮局；北京９６６６信箱营销部（邮编：１０００８６）订购电话：（ＯｌＯ）８２５０３４４０、８２５０３４．４．１编辑部电话：（ｏｌｏ）６２５１６６９５　应用向量法证明正(余)弦定理

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于志洪

中学数学杂志（高中版）

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