■江苏镇江
张希麟(特级教师)
Z老师说:临近中考,同学们希望能对中考的一些热点问题有更多的了解,以提高自己的应对能力.为此,今天我们对“折叠问题”进行剖析.折叠问题是现实生活中一个常见的问题,很多中考试卷涉及折叠问题,其中为压台题的就不少.
折叠作为一个过程,有折前与折后的区分,被折叠的平面图形折前与折后是两个全等的图形,提供了关于边、角的各种等量关系,这是解决折叠问题的第一注意点;其次要注意到这两个全等的图形以折痕为对称轴组成轴对称图形;另外★要充分利用已知图形的各种隐含条件.
例1
如图1,ABCD是矩形纸片,翻折∠B、∠D,使BC、
AD恰好落在AC上.设F、H分别是B、D落在AC上的两点,E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点.
(1)求证:四边形AECG是平行四边形;(2)若AB=4cm,BC=3cm,求线段EF的长.
(2007年吉林省中考试题)
图1
跟名师学解题小清说:要证明四边形AECG是平行四边形,由于已知图形ABCD是矩形,有CG∥AE,只要证明AG∥CE.为此转为证∠CAG=∠ACE.由于图形折叠,得△CBE≌△CFE,有∠BCE=∠ACE.同理∠DAG=∠CAG.而∠ACE=
1
∠ACB,2
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数学.comshu∠CAG=1∠DAC.由AD∥BC,有∠ACB=∠DAC,于是∠CAG=∠ACE,命题得证.x2ue由于△BCE≌△FCE,有CF=BC=3.∠CFE=∠CBE=90°,BE=FE.设EF=x,则
BE=x,AE=4-x.注意到ABCD是矩形,由BC=3,AB=4,得AC=5,导出AF=5-3=2.在Rt△AEF中,AE2=EF2+AF2,于是(4-x)2=x2+22,得x=
3
(cm).2
★
与传统的几何题相比,证明结论所需的已知条件,题中并未明确列出,而是需要在解题的过程中自己去挖掘,这就涉及到对隐含条件的取舍问题.我认为,从要证明的结论着手,逐步去探求它成立所需要的条件,这是有效的方法.
Z老师说:小清的分析很好,体会也很实在.过去我们在解题时强调八个字:由因导果,执果索因.在折叠问题解决中,执果索因成为解题的一条主途径.切忌将折叠中所隐含的各种等量关系一一列举,而使解题无从下手.
例2形是(
).
如图2所示,把一个正方形对折两次后沿虚线剪下,展开后所得的图
图2
跟(A)(B)(C)(D)名(2007年盐城市中考试题)师学S同学说:开始我想剪去一角,估计是D.后来我用纸折叠后,撕去一角,展解开,发现应是B.题K同学说:我是采用逆向还原,将右折对应于左翻,将上折对应于下翻,选B.
Z老师说:S同学的现场操作,在考试时也是允许的.K同学逆向还原,这种逆推法,我们还在哪里见过?
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数学.comW同学说:在二次函数的图象中曾遇到.例如,由二次函数y=2(x-3)2-1的图hu象通过平移作出y=2x2的图象.
Z老师说:利用y=2x2得出y=2(x-3)2-1的图象,这是大家熟悉的,再逆向还原,问题就可顺利解决.请你试一试.
例3
已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1,将纸片折叠,使顶点A与边CD上
的点E重合.
(1)如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G(如图3),AF=
2
,求DE的长;3
(2)如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G(如图4),△AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长.
(2006年南京市中考试题)
图3
sxueH同学说:第一小题很容易解决,由折叠知EF=AF=
2,3
图4
又DF=AD-AF=1.在Rt△DEF中,由勾股定理,求得DE
3=
#$%&’
23
2
-
13
2
=’3.第二小题的解题途径还未找到.
3
Z老师说:这是南京市中考试卷的最后一题,当然有一定的难度.作为综合题,它涉及到Rt△ADE的外接圆和切线,对此,你联想起什么?
W同学说:确定圆心和切点至关重要.直角三角形外接圆圆心是斜边的中
点,记AE的中点为O,O是折痕★FG与AE的交点.⊙O的半跟径r=OE=1AE.过O作MN∥AB,交AD于M,交BC于N,名2师则M是AD的中点,ON⊥BC.由于BC与⊙O相切,所以学ON=OE=r,则OM=2-r.易证O是折痕FG的中点,即OF解题12
=OG.在Rt△AOM中,r2=(2-r)2+,求得r=17.在
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MN
#&
178
2
2
图5
Rt△ADE中,DE=’AE2-AD2=
-1=15.由于FO#&’8
=OEtanα=rAD=17×1=17,所以FG=2FO=17.当然也可由△FOE
DE16153015
8∽△ADE导出,但我觉得利用三角函数,解法简明.
责任编辑/沈红艳czsshy@126.com
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