一次函数与三角形面积之欧阳法创编

2021.03.09

一次函数相关的面积问

题

时间：2021.03.09 创作：欧阳法 思路：画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。 规则图形 （公式法） 不规则图形 （切割法） 不含参数问题

含参数问题 （用参数表示点坐标，转化成线段）

注意：坐标的正负、线段的非负性。 求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和

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高），然后根据面积公式，建立等式。 1、求直线y = -2x +4，y = 2x -4及y轴围成的三角形的面积。

2、已知正比例函数y = 2x与一次函数y = x +2相交于点P，则在x上是否存在一点A，使S△POA=4?若存在，求出点有坐标；若不存在，请说明理由。 3、如下图，一次函数的图像交正比例函数的图像于M点，交x轴于点N（-6，0），已知点M在第二象限，其横坐标为-4，若S△NOM=15，求正比例函数的解析式。 4、如图，直线

l1的解析表达式为

y3x3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C． （1）求点D的坐标；

（2）求直线l2的解析表达式；

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ly 1 l2 O D 3 3 A （4，2B C 图11 2021.03.09 欧阳法创编

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（3）求△ADC的面积；

（4）在直线l2上存在异于点C的另一点

P，使得 △ADP与△ADC的面积相等，请直接写

出点P的坐标．

5、如图，直线L的解析表达式为y = -12x +2，且与x轴、y

轴交于点A、B，

在y轴上有一点C（0，4），动点M从A 点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。

（1）求A、B两点的坐标；

（2）△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；

（3）当何值时△COM≌△AOB，并求出此时M点的坐标。

一次函数（动态问题）

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举一反三：如图（十二），直线l的解析式为yx4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒（0t≤4）．

（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；

（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记

△MPN和△OAB重合部分的面积为S2，

①当2t≤4时，试探究S2与t之间的函数关系式； ②在直线m的运

l m N O y B l m P M A x 图十二

N O y B E P P F M A x 动过程中，当t为何值时，S2为△OAB面

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5积的16？

【答案】解（1）当x0时，y4；当

y0时，x4．A(4，，（0)B0，4）；

（2）

MN∥AB，OMOA1ONOB，

11OMONt，S1OM·ONt222；

（3）①当2t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为(t，t),

xt，4t)，同F点的坐标满足yt4，即F(t，理E(4t，t)，则PFPEt(4-t)2t4， 所以S2S△MPNS△PEFS△OMNS△PEF

11113t2PE·PFt2(2t4)(2t4)t28t822222； ②

当

0t≤2时，

解

，得

11515S2t2，t2442216222021.03.09 欧阳法创编

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t150，t252，两个都不合题意，

35S2t28t822，舍去；当2t≤4时，

t33，t473，

73或t3时，S2为△OAB的

解得

综上得，当

5面积的16．

t模仿操练：如图，直线yx4与两坐标轴分别相交于A.B点，点M是线段AB上任意一点（A.B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；

（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是

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多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0a4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象． 6、在ABC中，

CRt,AC4cm,BC5cm,点D在BC上，且以CD＝3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。

（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；

（2）当点Q在BD（不包括点B、D）

2y(cm)，求EDQ上移动时，设的面积为

y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当x为何值时，EDQ为直角三角

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形。

7、如图1，在平面直角坐标系中，已知点

A(0，43)，点B在x正半轴上，且

∠ABO30．动点P在线段AB上从点A向

3个单位的速度运动，设运

点B以每秒

动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点

M运动到与原点O重合时t的值；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在

Rt△AOB内部作如图2所示的矩形

ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

y y A P A 2021.03.09 欧阳法创编 C E2021.03.09 M O N B x

O D B x

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8、两块完全相同的直角三角板ABC和

DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y． （1）如图2，求当是多少？

（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；

（3）求y与x之间的函数关系式；

9、（重庆课改卷）如图1所示，一张三

角

形

纸

片

ABC

，

1x=2时，y的值

∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB

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的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和

BC2D2两个三角形（如图2所示）.将

纸片AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点

A,D1,D2,B始终在同一直线

上），当点D1于点B重合时，停止平移.在平移过程中，C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P. （1）当AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；

（2）设平移距离D2D1为x，AC1D1与

BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；

（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值；使得重叠部分的面积等于原

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1ABC面积的4

？若不存在，请说明理由.

CAP10、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点

ABADD1D2P、Q同时从A、B两点出发，分别沿C1C2C1PFECD1BBQA图1

D2AB、BC方向匀速移

图2 图3

动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两

点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的

关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不

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存在，说明理由；

三角形面积与函数解析式的几种题型 一、利用面积求解析式

1、直线y2xb与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b=________. （分类讨论）

2、已知直线

y=x+3的图象与x轴、y轴

分别交于A、B两点，直线经过原点，与线段AB交于点C，把,△AOB的面积分为2：l两部分，求直线名的解析式．

3、如图,已知直线PA：yxn(n0)与x轴交于A,与y轴交于Q,另一条直线

y2xm(mn)与x轴交于

B,与直线PA

交于P

求: (1)A,B,Q,P四点的坐标(用m或n表示)

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5PQOB=6(2)若AB=2,且S

四边形

,求两个

函数的解析式.

4、已知直线yx2与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线

ykxb(k0)经过点C(1,0)，且把AOB分

成两部分

（1）若AOB被分成的两部分面积相等，则k和b的值

（2）若AOB被分成的两部分面积比为1：5，则k和b的值

3yx325、已知一次函数的图象与

y

轴、x轴分别交于点A、B，直线

ykxb经过

OA上的三分之一点D，且

交x轴的负半轴于点C，如果

SAOBSDOC，求直线ykxb的解析式．

二、利用解析式求面积

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1、直线ykxb过点A（－1，5）和点

B(m,5)且平行于直线yx，O

为坐标原

点，求AOB的面积.

2、 如图，所示，一次函数ykxb的图像经过A，B两点，与x轴交于C 求：（1）一次函数的解析式； （2）AOC的面积

3、已知:直线y2x4与直线yx3,它们的交点C的坐标是________,设两直线与x轴分别交于A,B,则SΔABC=_______,设两直线与y轴交于P,Q,则SΔPCQ=_________. 4、一次函数

y1k1x4与正比例函数

y2k2x的图象都经过(2,-1),则这两个函

数的图象与x轴围成的三角形面积是________.

5、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.

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(1)求两直线交点C的坐标;

(2)求△ABC的面积.

(3)在直线BC上能否找到点P,使得S△

APC=6，若能，请求出点

P的坐标，若

不能请说明理由。 6、如图，直线A，与直线

4y＝54x+54y＝-3x+4与y轴交于点

44y＝5x+5交于点B，且直线

与x轴交于点C，求△ABC

的面积。

A B C O

7、已知直线

ykxb经过点A（0，

6），且平行于直线y2x.

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（1）求该函数的解析式，并画出它的图象；

（2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值；

（3）若O为坐标原点，求直线OP解析式；

（4）求直线ykxb和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。

三、关于面积的函数关系

1、已知点A（x，y）在第一象限内，且x+y=10，点B（4，0），△OAB的面积为S.

（1）求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围，并画出函数的图像；

（2）△OAB的面积为6时，求A点的坐标；

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2、如图，直线ykx6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。 （1）求k的值；

（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为27

8，并说明理由。

4、如图(1),在矩形

ABCD

中,AB=10cm,BC=8cm,点P从A出发, 沿A→B→C→D路线运动,到D停止;点Q从D出发,沿D→C→B→A路线运动,到A停止. 若点P、点Q同时出

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yFEAox2021.03.09 欧阳法创编

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发,点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P、点Q 同时改变速度,点P的速度变为bcm/s,点Q的速度变为dcm/s .图(2)是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系图象;图(3)是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图象.

(1)参照图(2),求a、b及图(2)中c的值; (2)求d的值;

(3)设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到A还需走的路程为y2(cm), 请分别写出动点P、Q改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式,并求出P、Q 相遇时x的值;

(4)当点Q出发_______s时,点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm.

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8．如图，直线l1过A（0，2），B（2，0）两点，直线l2：ymxb过点（1，0），且把AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S，求S关于m的函数解析式，及自变量m的取值范围。

10、在平面直角坐标系中，点A（4，0），点

1yx32P（x，y）是直线在

第一象限的一点．

（1）设△OAP的面积为S，用含x的解析式表示S，并写出自变量取值范围．

1yx32（2）在直线求一点

Q，使△

OAQ是以OA为底的等腰三角形． （3）若第（2）问变为使△OAQ是等腰三角形，这样的点有几个？

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2、已知：如下图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，3）、B（2，-2）、C（6，-4），求△ABC的面积.

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