《数列》知识要点梳理

鳌中数学 www.ajzxyw.com/sx 《数列》知识梳理

一、数列及其有关概念 1．数列的概念

按一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，．

注意：数列与数集是两个不同的概念，数集中的元素具有无序性和互异性，而数列中的数是按一定顺序排列的，并且可以重复． 2．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式anf(n)来表示，那

么这个公式就叫做这个数列的通项公式．

注意：（1）有的数列没有通项公式，有的数列的通项公式不止一个； （2）将n1，2，代入通项公式，可以求出这个数列的每一项． 3．数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，其特殊性主要体现在它的定义域是正整数集N（或它的有限

子集{1，．这也决定了数列的图象是一群孤立的点，这些点可以有有限多个，也可2，，n}）以有无限多个． 4．数列的分类

（1）按数列的项数，可以将数列分为有穷数列和无穷数列． （2）按数列的项与项之间的大小关系，可以分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．

二、等差数列

1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，第一项与它们的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差列的公差，通常用d表示． 2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则它的通项公式为ana1(n1)d．由

此可知，已知等差数列的首项和公差，就可以求出这个数列的任何一项，这个等差数列也就完全被确定了．通常称首项和公差是等差数列的两个基本量． 3．等差数列与函数的关系

（1）等差数列的通项公式与函数的关系

由等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d可知： 当d0时，an可以看成是关于n的一次函数； 当d0时，ana1，可知an是常数函数．

不论d是否为0，an的图象都是在同一条直线上的一群孤立的点．

（2）等差数列的前n项和公式与函数的关系

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由等差数列的前n项和公式Snna112n(n1)ddd2na1n可知： 22

当d0时，Sn可以看成是关于n的二次函数（不含常数项，所以图象所在的抛物线过

原点）；

当d0时，Sna1n，Sn可以看成是关于n的一次函数（当a10时），或为常数函

数（当a10时）．

注意：解有关等数列的题时，要注意引用函数的性质． 4．等差数列的充要条件

数列{an}是等差数列an1and（d为常数，nN）anpnq（p，q为

常数，nN）2an1anan2(nN)SnAn2Bn（A，B为常数，nN）． 5．等差数列的常用性质

已知{an}是等差数列，公差为d，则： （1）anam(nm)d，danamnm；

（2）若mnpq(m，n，p，qΝ)，则amanapaq；

组成的数列仍为等差数列，公差为md；（3）下标成等差数列的项ak，akm，ak2m， 仍为等差数列； （4）Sn，S2nSn，S3nS2n，（5）数列{anb}（，b为常数）仍为等差数列，公差为d． 三、等比数列

1．等比数列定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q表示．需要特别注意的是，等比数列的每一项及公比都不为0． 2．等比数列的通项公式

n1如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式为ana1q．由此可知，

已知等比数列的首项和公比，就可以求出这个数列的任何一项，这个等比数列也就是完全被确定了．通常称首项和公比是等比数列的两个基本量． 3．等比数列的充要条件

数列{an}是等比数列an1anq（q为常数，nN）an1anan2，且

2an0(nN)．

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鳌中数学 www.ajzxyw.com/sx 4．等比数列的常用性质

已知{an}是等比数列，公比为q，则：

anqnm（1）anamqnm，am；

（2）若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq；

m（3）下标成等差数理的项ak，akm，ak2m，组成的数列仍为等比数列，公比为q；

（4）Sn，S2nSn，S3nS2n，（当各项均不为0时）为等比数列． 四、几种重要的题型 1．“知三求二”型

在等差数列{an}中，若已知a1，d，an，Sn，n五个量中的任意三个量，利用通项公式

与前n项和公式，可以求出其余的两个量．同样地，在等比数列{an}中，若已知

a1，q，an，Sn，n五个量中的任意三个量，利用通项公式与前n项和公式，也可以求出其

余的两个量．这所用的其实就是方程思想．

2．求数列的通项公式

（1）给出数列的前几项，写出该数列的一个通项公式 解这个类题主要从以下几个方面考虑： ①负号用(1)n或(1)n1来调节．

②公式形式的数列，分子、分母要分别找通项，要充分借助分子、分母的关系．

③对于比较复杂的数列，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决． ④有些数列，其构成规律较难发现，若我们能从给出的前面若干项，逐次求出它的差数列（后项减去它的前项所得之差构成的数列），最后得到一个等差或等比数列，则由此倒推回去，就能找到原数列的通项公式，这种方法称为逐差法． 此类问题虽无固定模式，但也有章可循，主要靠观察（观察规律）、比较（与已知数列比较）、归纳、转化（转化为等差数列或等比数列）等方法．

3，6，10，15，的一个通项公式． 例1 求1，3，4，5，„，即bnn1． 解：设此数列为{an}，其差数列为{bn}，则{bn}为：2，

又bnan1an，所以an1ann1．

2，3，„，n1，令n取1，得n1不等式，将它们相加，得ana1234n(n1)(n2)2，

而a11，所以an1(n1)(n2)2n(n1)2．

（2）已知Sn，求an

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S1， (n1)这类问题主要是利用an求通项公式．特别需注意的是，最后应

SS， (n≥2)n1n验证分段表示的公式是否能合并，即验证n≥2时的公式对n1是否适用． （3）已知Sn和an的关系式求通项公式

这类问题一般需要由已知关系式，将n变为n1或n1再写出一个类似的关系式，将

两个关系式的两边分别相减，从而将关系式中的和（如Sn）转化为项． 例2 已知数列{an}中，a12，且an1Sn(nN)，求an． 解：当n≥2时，由an1Sn，得anSn1，

将两式相减，得an1anSnSn1，即an12an．

又a2S1a12． 2 n1，ann1

2 n≥2.

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