2020年中考数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每题4分，共40分） 1．（4分）下列四个数中，2019的相反数是（ ） A．﹣2019
B．
C．﹣
D．20190
2．（4分）举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（ ） A．5.5×103
B．55×103
C．0.55×105
D．5.5×104
3．（4分）某正方体的平面展开图如图，由此可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是（ ）
A．国
B．的
C．中
D．梦
4．（4分）观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
5．（4分）下列四个运算中，只有一个是正确的．这个正确运算的序号是（ ） ①30+33＝﹣3；②
﹣
﹣＝
；③（2a2）3＝8a5；④﹣a8÷a4＝﹣a4
C．③
D．④
A．①
6．（4分）如果3ab2m
A．2
﹣1
B．②
与9abm+1是同类项，那么m等于（ ） B．1
C．﹣1
D．0
7．（4分）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ） A．2cm，3cm，4cm C．2cm，2cm，6cm
B．3cm，6cm，6cm D．5cm，6cm，7cm
8．（4分）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（ ） A．
B．
C．
D．1
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9．（4分）若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） A．y1＞y2＞y3
B．y3＞y2＞y1
C．y2＞y1＞y3
D．y1＞y3＞y2
10．（4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．200cm2
B．170cm2
C．150cm2
D．100cm2
二、填空题（本大题10小题，每题3分，共30分） 11．（3分）一组数据：2，1，2，5，3，2的众数是 ． 12．（3分）分解因式：9x2﹣y2＝ ．
13．（3分）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为 度．
14．（3分）已知
是方程组
的解，则a+b的值为 ．
15．（3分）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是 元． 16．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为 ．
17．（3分）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，
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第2019个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）．
18．（3分）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球．
19．（3分）如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为 ．
20．（3分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是 ．
三、解答题（本大题6小题，共80分）
21．（12分）（1）计算：|﹣|+（﹣1）2019+21﹣（π﹣3）0；
﹣
（2）解方程：1﹣＝
22．（12分）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．
（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；
（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立．请你写出推理过程．
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23．（14分）某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两封；选项D：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：
（1）此次抽样调查了 名学生，条形统计图中m＝ ，n＝ ； （2）请将条形统计图补全；
（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有 封；
（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？
24．（14分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表： x（元） y（袋）
15 25
20 20
30 10
… …
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
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25．（12分）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实，数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题： （1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝ ， ②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝ ；
（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为 ； （3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；
（4）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值．
26．（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标； （3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每题4分，共40分） 1．（4分）下列四个数中，2019的相反数是（ ） A．﹣2019
B．
C．﹣
D．20190
【解答】解：2019的相反数是﹣2019， 故选：A．
2．（4分）举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（ ） A．5.5×103
B．55×103
C．0.55×105
D．5.5×104
【解答】解：55000这个数用科学记数法可表示为5.5×104， 故选：D．
3．（4分）某正方体的平面展开图如图，由此可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是（ ）
A．国
B．的
C．中
D．梦
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 由此可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是的． 故选：B．
4．（4分）观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【解答】解：①不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； ②是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； ③是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； ④是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确． 故选：B．
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5．（4分）下列四个运算中，只有一个是正确的．这个正确运算的序号是（ ） ①30+33＝﹣3；②
﹣
﹣＝
；③（2a2）3＝8a5；④﹣a8÷a4＝﹣a4
C．③
＝1
，故此选项错误；
D．④
A．① B．②
﹣
【解答】解：①30+33＝1+②
﹣
无法计算，故此选项错误；
③（2a2）3＝8a6，故此选项错误； ④﹣a8÷a4＝﹣a4，正确． 故选：D． 6．（4分）如果3ab2m
A．2
﹣1
与9abm+1是同类项，那么m等于（ ） B．1
C．﹣1
D．0
【解答】解：根据题意，得：2m﹣1＝m+1， 解得：m＝2． 故选：A．
7．（4分）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ） A．2cm，3cm，4cm C．2cm，2cm，6cm
【解答】解：A、2+3＞4，能组成三角形； B、3+6＞6，能组成三角形； C、2+2＜6，不能组成三角形； D、5+6＞7，能够组成三角形． 故选：C．
8．（4分）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（ ） A．
B．
C．
D．1
B．3cm，6cm，6cm D．5cm，6cm，7cm
【解答】解：根据平行四边形的判定定理， 可推出平行四边形ABCD是菱形的有①或③， 概率为故选：B．
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．
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9．（4分）若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） A．y1＞y2＞y3
B．y3＞y2＞y1
C．y2＞y1＞y3
D．y1＞y3＞y2
【解答】解：∵点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上， ∴y1＝﹣
＝，y2＝﹣
＝，y3＝﹣，
又∵﹣＜＜， ∴y3＜y1＜y2． 故选：C．
10．（4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．200cm2
B．170cm2
C．150cm2
D．100cm2
【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x， ∵四边形CDEF为正方形， ∴EF＝CF＝2x，EF∥BC， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴
＝
＝，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB＝∴3
x＝30，解得x＝2
，BC＝12
， ，
×12
﹣（4
）2＝100（cm2）．
＝3
x，
∴AC＝6
∴剩余部分的面积＝×6
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故选：D．
二、填空题（本大题10小题，每题3分，共30分） 11．（3分）一组数据：2，1，2，5，3，2的众数是 2 ．
【解答】解：在数据2，1，2，5，3，2中2出现3次，次数最多， 所以众数为2， 故答案为：2．
12．（3分）分解因式：9x2﹣y2＝ （3x+y）（3x﹣y） ． 【解答】解：原式＝（3x+y）（3x﹣y）， 故答案为：（3x+y）（3x﹣y）．
13．（3分）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为 34 度．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104° ∵AB＝BD
∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34° 故答案为：34． 14．（3分）已知【解答】解：把
是方程组代入方程组
的解，则a+b的值为 1 ．
得：
，
①+②得：3a+3b＝3， a+b＝1， 故答案为：1．
15．（3分）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是 2000 元． 【解答】解：设这种商品的进价是x元， 由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．
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解得：x＝2000， 故答案为2000
16．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为 3 ．
【解答】解：由勾股定理得，BC＝∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3， 故答案为：3．
17．（3分）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案与第1个至第4个中的第 3 个箭头方向相同（填序号）．
＝
，
【解答】解：2019÷4＝504…3，
故第2019个图案中的指针指向与第3个图案相同， 故答案为：3
18．（3分）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 20 个白球．
【解答】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是设口袋中大约有x个白球，则解得x＝20． 故答案为：20．
19．（3分）如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为 x＜4 ．
＝，
＝，
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【解答】解：函数y＝ax+b的图象如图所示，图象经过点A（4，1），且函数值y随x的增大而增大，
故不等式ax+b＜1的解集是x＜4． 故答案为：x＜4．
20．（3分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是 15﹣5 ．
【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝5
，
．
＝5
，
，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 故答案是：15﹣5
．
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三、解答题（本大题6小题，共80分）
21．（12分）（1）计算：|﹣|+（﹣1）2019+21﹣（π﹣3）0；
﹣
（2）解方程：1﹣＝
【解答】解：（1）原式＝﹣1+﹣1＝﹣1； （2）去分母得：2x+2﹣x+3＝6x， 解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
22．（12分）如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B．
（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；
（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立．请你写出推理过程．
【解答】解：（1）∵AB是直径 ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝30°， ∴AB＝2BC ∵PC是⊙O切线 ∴∠BCP＝∠A＝30°， ∴∠P＝30°，
∴PB＝BC，BC＝AB，
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∴PA＝3PB
（2）∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B， ∴∠BCP＝∠A，
∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°， ∴2∠BCP＝180°﹣∠P， ∴∠BCP＝（90°﹣∠P）
23．（14分）某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两封；选项D：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：
（1）此次抽样调查了 500 名学生，条形统计图中m＝ 225 ，n＝ 25 ； （2）请将条形统计图补全；
（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有 425 封；
（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？
【解答】解：（1）此次调查的总人数为150÷30%＝500（人）， 则m＝500×45%＝225，n＝500×5%＝25， 故答案为：500，225，25；
（2）C选项人数为500×20%＝100（人）， 补全图形如下：
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（3）1×150+2×100+3×25＝425，
答：接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有425封， 故答案为：425；
（4）由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有110000×（1﹣45%）＝60500（名）．
24．（14分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表： x（元） y（袋）
15 25
20 20
30 10
… …
若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【解答】解：
（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b得
，解得
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40 （2）依题意，设利润为w元，得 w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x+400 整理得w＝﹣（x﹣25）2+225
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∵﹣1＜0
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
25．（12分）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实，数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题： （1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝ ②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝
， ；
＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，
（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为 ﹣2≤x≤4 ； （3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；
（4）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值． 【解答】解：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝， ②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝； 故答案为：，．
（2）∵min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5， ∴
，
解得﹣2≤x≤4， 故答案为﹣2≤x≤4． （3）∵M{﹣2x，x2，3}＝2， ∴
＝2，
解得x＝﹣1或3．
（4）∵M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，
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又∵∴
＝x+1， ，
解得1≤x≤1， ∴x＝1．
26．（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3 ，抛物线的顶点坐标为 （﹣1，4） ； （2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标； （3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①， 顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， ∵S△CPD：S△BPD＝1：2， ∴BD＝BC＝×yD＝BDsin∠CBO＝2， 则点D（﹣1，2）；
＝2
，
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（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°， ∴∠OHE＝45°， ∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②， 联立①②并解得：x＝故点P（
（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
，
）；
（舍去正值），
直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），
则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8， 整理得：3x2+9x+7＝0， 解得：△＜0，故方程无解， 则不存在满足条件的点P．
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