2013重庆高考数学文科试题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（文史类）

乐享玲珑，为中国数学增光添彩！

免费玲珑3D画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只

有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合U{1,2,3,4}，集合A={1,2}，B={2,3}，则

U(AB)

（A）{1,3,4} （B）{3,4} （C）{3} （D）{4}

22．命题“对任意xR，都有x0”的否定为

22（A）对任意xR，使得x0 （B）不存在xR，使得x0

22（C）存在x0R，都有x00 （D）存在x0R，都有x00

3．函数y1的定义域为

log2(x2)(3,) （D）(2,4)(4,)

（A）(,2) （B）(2,) （C）(2,3)224．设P是圆(x3)(y1)4上的动点，Q是直线x3上的动点，则PQ的最小值为

（A）6 （B）4 （C）3 （D）2 5．执行如题（5）图所示的程序框图，则输出的k的值是

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[20,30）内的概率为

1 / 8

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

（A）0.2 （B）0.4 （C）0.5 （D）0.6

7．关于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集为(x1,x2)，且：x2x115，则a

（A）

515715 （B） （C） （D） 24228．某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为

（A）180 （B）200 （C）220 （D）240

9．已知函数f(x)ax3bsinx4(a,bR)，f(lg(log210))5，则f(lg(lg2))

（A）5 （B）1 （C）3 （D）4

10．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相较于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使

0A1B1A2B2，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的

取值范围是 （A）(23232323,) （D）[,) ,2] （B）[,2) （C）(3333二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题

卡相应位置上．

11．已知复数z12i（i是虚数单位），则z ． 12．若2、a、b、c、9成等差数列，则ca ．

13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．

14．OA为边，OB为对角线的矩形中，OA(3,1)，OB(2,k)，则实数k ．

215．设0，不等式8x(8sin)xcos20对xR恒成立，则a的取值范围为 ．

2 / 8

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）

设数列an满足：a11，an13an，nN． （Ⅰ）求an的通项公式及前n项和Sn；

（Ⅱ）已知bn是等差数列，Tn为前n项和，且b1a2，b3a1a2a3，求T20． 17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）、（Ⅲ）小问各2分）

从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得

xi110i80，yi20，xiyi184，xi2720．

i1i1i1101010（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程ybxa； （Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程ybxa中，bxynxyiii1nnxi12inx2，aybx，

其中x，y为样本平均值，线性回归方程也可写为ybxa．

18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且abc3ab． （Ⅰ）求A；

（Ⅱ）设a3，S为△ABC的面积，求S3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．

3 / 8

222文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

如题（19）图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，PA23，BCCD2，

ACBACD3．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥PBDF的体积．

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）． （Ⅰ）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如题（21）图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e椭圆于A、A两点，AA4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相较于不同的两点P、P，过P、P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求PPQ的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．

2，过左焦点F1作x轴的垂线交2

4 / 8

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

参考答案

1．D．[解析] 因为A∪B＝{1，2，3} ，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D. 2．A．[解析] 根据定义可知命题的否定为：存在x0∈，使得x20<0，故选A.

x－2>0，3．C．[解析] 由题可知所以x＞2且x≠3，故选C.

x－2≠1，

4．B．[解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.

5．C．[解析] 第一次循环s＝1＋(1－1)2＝1，k＝2；第二次循环s＝1＋(2－1)2＝2，k＝3；第三次循环s＝2＋(3－1)2＝6，k＝4；第四次循环s＝6＋(4－1)2＝15，k＝5；第五次循环s＝15＋(5－1)2＝31，结束循环，所以输出的k的值是5，故选C.

4

6．B．[解析] 由茎叶图可知数据落在区间[22，30)内的频数为4，所以数据落在区间[22，30)内的频率为10＝0.4，故选B.

7．A．[解析] 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，由(x2－x1)2＝5

(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝(负值舍去)，故选A.

2

8．D．[解析] 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯1

形，所以底面面积和为(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以该直四棱柱

2的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.

1＝f(－lg(lg 2))＝5，又因为f(x)＋f(－x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋9．C．[解析] 因为f(lg(log210))＝flglg 2

f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故选C.

b3b

10．A．[解析] 设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<≤3，所

a3ab21b242以<a≤3，<1＋a≤4，即有 3<33311．5．[解析] |z|＝12＋22＝5. 12．

9－2777

．[解析] 设公差为d，则d＝＝，所以c－a＝2d＝.

25－142bc

1＋≤2.又双曲线的离心率为e＝＝aa

2b2

1＋，所以 3a3

213．

2．[解析] 三人站成一排的情况包括甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，342

其中甲、乙相邻的排法有4种，所以甲、乙相邻而站的概率为＝. 63

→→→→→→→

14．4．[解析] 因为AB＝OB－OA＝(1，k－1)，且OA⊥AB，所以OA·AB＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4. 15．[0,6][522

,]．[解析] 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)－4×8cos 2α≤0，即2sin α－cos 65 / 8

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

π110，2α≤0，转化为2sin α－(1－2sin α)≤0，即4sinα≤1，即－≤sin α≤.因为0≤α≤π，故α∈

622

5π∪，π. 6

2

2

2

16．解：（Ⅰ）由题设知an是首项为1，公比为3的等比数列，

13n1n(31). 所以an=3,Sn132n1（Ⅱ）b1a23，b313913，b3b1102d，所以公差d5， 故T20203201951010. 21n801n2017．解：（Ⅰ）由题意知n10，xxi8，yyi2ni110ni110，

lxxxnx720108802i2i1n2又，

lxyxiyinxy184108224i1n

b由此得

lxylxx240.3，aybx20.380.4， 80故所求回归方程为y0.3x0.4.

（Ⅱ）由于变量y的值随x的值增加而增加（b0.30，故x与y之间是正相关.） （Ⅲ）将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y0.370.41.7（千元）.

b2c2a23bc318．解：（Ⅰ）由余弦定理得cosA. 2bc2bc2又因0A，所以A5. 61，又由正弦定理及a3得， 2（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA11asinBSbcsinAasinC3sinBsinC,

22sinA因此，S3cosBcosC3(sinBsinCcosBcosC)3cos(BC), 所以，当B=C，即BA212时，S3cosBcosC取得最大值3.

19．【解析】（Ⅰ）证明：因BC=CD,即△BCD为等腰三角形，又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.

因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.

6 / 8

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

（Ⅱ）解：三棱锥P-BCD的底面BCD的面积SBCD112BCCDsinBCD22sin3. 223由PA⊥底面ABCD,得VPBCD1S31PA3232. BCD31111PA323. BCD8384由PF=7FC,得三棱锥F-BCD的高为

11PA,故VFBCDS8317. 44所以VPBDFVPBCDVFBCD220．解: （Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r元，所以蓄水池的总成本为（200rh160r）元.又题意据200rh160r12000，

所以h2221(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3). 5r5因r0，又由h0可得r53，故函数V(r)的定义域为(0,53). （Ⅱ）因V(r)5(300r4r3)，故V(r)5(30012r2).令V(r)0，解得r15,r25（因r25不在定义域内，舍去）.

当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,53)时，V(r)0，故V(r)在(5,53)上

为减函数.

由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.

4(c)2222e1. 121．解：（Ⅰ）由题意知点A(c,2)在椭圆上，则.从而

b2a2b24b2x2y22228，从而a16.故该椭圆的标准方程为1. 由e得b221e1e16827 / 8

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

（Ⅱ）由椭圆的对称性，可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点，则

1x228(x[4,4]) |QM|(xx0)yx2x0xx8(1)(x2x0)2x0216222220设P(x1,y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取最小值，又因x1(4,4)，

2所以上式当x2x0时取最小值，从而x12x0，且|QP|28x0.

由对称性知P(x1,y1)，故|PP||2y1|，所以

x1211222)x02(x02)24. S|2y1||x1x0|28(1)|x0|2(4x02216当x02时，PPQ的面积S取到最大值22. 此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(2,0)，半径|QP|8x06，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x2)2y26,(x2)2y26.

28 / 8