人教版数学九年级上册小专题(九) 二次函数的实际应用

小专题(九) 二次函数的实际应用

类型1 面积问题

在几何中建立函数关系式的方法常见的有两类，一是常用公式，如周长公式、面积公式、体积公式等；二是图形的有关性质，如三角形全等、勾股定理等．如果建立的函数关系式是二次函数，还可以运用二次函数的有关性质求最值．

1．(内江中考)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．墙长为18米(如下图)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．

(1)假设苗圃园的面积为72平方米，求x； (2)假设平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；

(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．

解：(1)依题意可列方程

x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0. 解得x1＝3，x2＝12.

(2)依题意，得8≤30－2x≤≤x≤11. 面积S＝x(30－2x)＝－2(x－

152225

)＋(6≤x≤11)． 22

15225

①当x＝时，S有最大值，S最大＝；

22

②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88.

(3)x的取值范围是5≤x≤10.

2．如下图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BC＝EF＝8，∠C＝∠F＝90°，且点C、E、B、F在同一条直线上，将△ABC沿CB方向平移，设AB与DE相交于P点，设CE＝x，△PBE的面积为S，求：

(1)S与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围； (2)当x＝3时，求△PBE的面积．

解：(1)∵CE＝x，BC＝8，

∴EB＝8－x.

∵△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠DEF＝45°. ∴△PBE是等腰直角三角形． ∴PB＝PE＝

22

EB＝(8－x)． 22

112211

∴S＝PB·PE＝×(8－x)·(8－x)＝(8－x)2＝x2－4x＋16.

222244

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∵8－x＞0，∴x＜8. 又∵x＞0，∴0＜x＜8. 1

故S＝x2－4x＋16(04

125

(2)当x＝3时，S△PBE＝×(8－3)2＝.

44

类型2 利润问题

利用二次函数解决最大利润问题，首先根据利润问题中常用的两个等量关系建立二次函数模型，然后再求二次函数的最大值．求最大值的常用方法：先配方，求出当自变量x为何值时，函数有最大值，然后观察自变量x的取值范围．假设x在此范围内，那么该最大值符合题意；假设x不在此范围内，应根据自变量的取值范围及函数图象的增减性求出函数的最大值．

3．一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次．第1个档次(最低档次)的产品一天能生产80件，每件可获利润12元．产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件．如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？

解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，那么

w＝[12＋2(x－1)][80－4(x－1)] ＝(10＋2x)(84－4x) ＝－8x2＋128x＋840 ＝－8(x－8)2＋1 352.

当x＝8时，w有最大值，w最大＝1 352.

答：该工艺师生产第8档次的产品，可使每天获得的利润最大，最大利润为1 352元．

4．(黄冈中考)东坡商贸公司购进某种水果的本钱为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销



售单价p(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝且其日销售量y(kg)与时间

1

－2t＋48〔25≤t≤48，t为整数〕，

t(天)的关系如下表：

时间t(天) 日销售量y(kg) 1 118 3 114 6 108 10 100 20 80 40 40 … … 1

t＋30〔1≤t≤24，t为整数〕，4

(1)y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？ (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 解：(1)依题意，设y＝kt＋b，

将(10，100)，(20，80)代入y＝kt＋b，得

100＝10k＋b，k＝－2，解得 80＝20k＋b.b＝120.

∴日销售量y(kg)与时间t(天)的关系为y＝120－2t. 当t＝30时，y＝120－60＝60. 答：在第30天的日销售量为60千克．

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(2)设日销售利润为W元，那么W＝(p－20)y.

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当1≤t≤24时，W＝(t＋30－20)(120－2t)＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－10)2＋1 250.

422当t＝10时，W最大＝1 250.

1

当25≤t≤48时，W＝(－t＋48－20)(120－2t)＝t2－116t＋3 360＝(t－58)2－4.

2当t＝25时，W最大＝1 085. ∵1 250＞1 085，

∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1 250元．

类型3 实物抛物线问题

解决实物抛物线问题，首先应将条件转化为点的坐标，然后代入点的坐标，求出函数的解析式，再利用函数的解析式求解问题．

5．音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18 m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝kx上变动，从而产生一组不同的抛物线(图2)，这组抛物线的统一形式为y＝ax2＋bx(b≠0)．

(1)假设k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3 m，求此时a、b的值；

(2)假设k＝1，喷出的水恰好到达岸边，那么此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？

2

(3)假设k＝3，a＝－，那么喷出的抛物线水线能否到达岸边？

7

解：(1)∵y＝ax2＋bx

b－b2

的顶点为(－，)，抛物线的顶点在直线y＝kx上，k＝1，抛物线水线最大高度达3 m，

2a4a

∴－b

4a＝3.

2

b－b2－＝，2a4a

1a＝－3，解得

b＝2.

(2)∵k＝1，喷出的水恰好到达岸边，出水口离岸边18 m，抛物线的顶点在直线y＝kx上，

∴此时抛物线的对称轴为x＝9，y＝x＝9， 即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米． (3)∵y＝ax2＋bx

b－b22

的顶点为(－，)在直线y＝3x上，a＝－，

2a4a7

－b2b

∴－×3＝.解得b＝6.

2a4a2

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x.

72

当y＝0时，0＝－x21＝21，x2＝0.

7∵21＞18，

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2

∴假设k＝3，a＝－，那么喷出的抛物线水线能到达岸边．

7

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