8.3 2008年剑桥A-level数学试卷P1

考试说明：

1、 可以使用计算器（包括计算积分，图形的高级计算器）； 2、 可以参考给定的数学公式

3、 满分100，答题获得70分即获得满分A的评级； 4、 该成绩可以累积2年计算成绩； 5、 答题时间3小时；

=========================== 试 题 开 始 =============================== 1、 右图所示曲线yx2. 由直线x1，x2 以及x轴和曲线围成的阴影面积等于由直线

y4，ya和曲线围成的面积。已知a4， 4 求a的值。 4分

2、 已知数列的第n项，unn(2n1)，n1. 前n项和Sn，利用数学归纳法证明 Sn16n(n1)(4n5)，n是正整数。 5分

a 2 3、 三位向量的点O, A, B。其中OAi4j3k, OB5ij. OAPB构成平行四边形。 （1）求OP （2）求AOB的角度 （3）求OAPB的面积 6分 4、 （1）求微分方程

（2）求微分方程

dydxdydx3xx13xx122的通解 2分 的一个特解，当x,y2 1分

（3）解释每个解的含义，随着x 1分 （4）在同一个坐标上画出（2）的草图，同时画出另外2个特解的草图。 3分

135、 （1）求积分

0dx19x2的精确值 3分

e（2）根据n和e，求xlnxdx,n1 4分

0n6、 （1）在三角形ABC中，AB=1，BC=3并且角ABC为弧度。已知非常小。证明

AC432ab，a,b是常数。 5分

2 （2）已知f(x)tan(2x4)，求f(0),f'(0),f''(0)。进而求出麦克劳林级数的前三

项。 5分

7、 一个大型公园的花床的外框图如右，由长x米，宽y米 的矩形和上面的一个半圆组成。围绕这个花床建造一个 矮墙。建造直线部分的工期进度为3小时/每米，建造半

圆部分的工期进度为9小时/每米。已知建造整个花床的 时间为180小时，使用导数的方法求出矩形的长x和宽y， 使得右图花床的面积最大。

10分

8、本题不可以使用计算器

y

x

（1）已知z11(3)i，求z13。给出具体的解题步骤。 3分 （2）已知z11(3)i是方程2z3az2bz40的一个根，求实数a,b的值。4分 （3）对于上述实数a,b的值，解出上面方程的全部解。 4分 9、已知函数f(x)axbcxd，a,b,c,d是不为零的常数。

（1）已知adbc0，利用导数证明函数yf(x)没有拐点。 3分 （2）当adbc0，阐述该函数的特性。 2分 （3）根据（1）式推出，f(x)3x-72x1在图形任何点的斜率都是正的。 1分

（4）在不同的坐标图上，画出图形 I）y3x-72x1 II）y23x-72x1

10、（1）一个学生在2009年的1月存款10元，在后续每个月的第一天都比上个月多3元。

也就是，2009年2月1日存款13元，2009年3月1日存款16元，以此类推。在什么时间，存款总数达到2000元。 5分 （2）另外一个学生在2009年的1月存款10元，他的利息计算是复合利息的计算方法。复合利率每个月2%。以后的每个月都在这个月的第一天放入帐号10元。

i) 原始的10元在2年的最后一个月的复合利息 2分 ii) 2年的最后一个月的帐号上钱的总和 3分 iii)经过多少个完整的月，账号的钱总数超过2000元。 4分 11、三个平面方程p1,p2,p3分别是 2x5y3z3 3x2y5z5

5xy17z,是常数。当20.9,16.6，求3个平面交点的坐标。 2分 平面p1,p2相交于直线l

（1） 求直线l的向量表示 4分 （2） 假设三个平面相交于直线l，求, 3分 （3） 再假设三个平面没有公共交点，求,的关系 2分 （4） 求包括点（1，-1，3）和直线l的直角坐标方程。

4分 答题补充知识与公式

1、 有关向量的公式

（1） 求向量的和

（2） 给定2个向量a, b求他们的夹角

已知向量axaiyajzak，bxbiybjzbk ababcoscosababxaxbyaybzazbxayaza222

22xbybzb2（3） 空间向量的距离（2点间距离公式）

P，Q点坐标是（xp,yp,zp），（xQ,yQ,zQ） PQ之间的距离（4） … …

2、 有关复数的核心公式 （1） 共轭复数的概念

如果abi是实系数方程的根，则abi也是该方程的根。abi，abi叫共轭复数。

（2） 复数的核心公式 （3） 复数的图示 （4） … …

3、 函数图形的基本变换，给定函数yf(x)，求对应函数的图形

2（1）f(x) （2）yf(x) （3）

(xpxQ)(ypyQ)(zpzQ)

2221f(x) （4）f(x)

4、 麦克劳林级数及其应用，近似值问题

f(x)f(0)xf'(0)x22!f''(0)...xnn!f(n)(0)...