2.2 基本不等式 教学设计(2)

《基本不等式》在人教A版高中数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。

课程目标

1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。 2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。 3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。 数学学科素养

1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程； 2.逻辑推理：基本不等式的证明； 3.数学运算：利用基本不等式求最值； 4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；

5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。

重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值； 难点：基本不等式的推导以及证明过程．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。

一、 情景导入：

在前面一节，已经学了重要不等式，那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课

阅读课本44-45页，思考并完成以下问题 1. 重要不等式的内容是？ 2.基本不等式的内容及注意事项？

3.常见的不等式推论？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1.重要不等式

2.基本不等式

abab(a0,b0)2a>0,b>0 (1)基本不等式成立的条件:_____________. a=b 时取等号. (2)等号成立的条件:当且仅当______注意：一正二定三等. 3.几个重要的不等式

2ab ∈R). (1)a+b≥______(a,b

ba

2 (2) ab≥____(a,b同号).

22

ab2ab()(3) 2(a,b∈R).

22(4) ab(ab)2(a,b∈R).

22𝑎+𝑏

4. 设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为___________,几何平均 2√ab ，基本不等式可叙述为： 数为______

四、典例分析、举一反三 题型一 利用基本不等式求最值

例1 求下列各题的最值.

z（1）已知x>0,y>0,xy=10,求 的最小值；

2x5y两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 _____________________.

f(x)3x（2）x>0,求 x12的最小值；

的最大值；

f(x)x（3）x<3，求 x34【答案】见解析

【解析】（1） 由x>0,y>0,xy=10. 则252y5x210xy2.zmin2.xy1010

当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立. (2)∵x>0, f(x)123x212•3x12,xx

123x,等号成立的条件是 x即x=2,

∴f(x)的最小值是12. (3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,

f(x) 4[(3x)]33x

42•(3x)31, 3x43x,即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.当且仅当 3x44x(x3)3 x3x3

解题技巧：（利用基本不等式求最值）

(1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值； (2)根据已知范围，确定两式的正负符号； (3)根据两式的符号求积或和的最值.

总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”. 跟踪训练一

1,求x+y 的最小值； （1）已知x>0,y>0，且 1x9y5（2）已知x< ,4y4x2求函数 14x5的最大值;

（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值. 【答案】见解析 【解析】

题型二 利用基本不等式解决实际问题

例2 （ １ ） 用篱笆围一个面积为１００𝑚2的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ，短？ 最短篱笆的长度是多少？

所用篱笆最

（ ２ ） 用一段长为 ３６ｍ 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？ 【答案】见解析

【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为𝑥 𝑚,𝑦𝑚，篱笆的长度为2(𝑥+𝑦)m.

(1)由已知得𝑥𝑦=100. 由

𝑥+𝑦2

≥√𝑥𝑦，可得𝑥+𝑦≥2√𝑥𝑦=20,

所以2(𝑥+𝑦)≥40,

当且仅当𝑥=𝑦=10时，上式等号成立.

(2)由已知得2(𝑥+𝑦)=36，矩形菜园的面积为𝑥𝑦𝑚2. 由√𝑥𝑦⩽

𝑥+𝑦2

= 2 = 9,可得𝑥𝑦⩽81，

18

当且仅当𝑥=𝑦=9时，上式等号成立.

解题技巧：(利用基本不等式解决实际问题)

设出未知数x,y,根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。（注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”）

跟踪训练二

1. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB3米，AD4米.

（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？ （2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值. 【答案】见解析

【解析】（1）设DN的长为xx0米，则ANx4米

2DNDC3x43x4 AM S

AMPNANAMANAMxx3x4由矩形AMPN的面积大于50得：50

x又x0，得：3x226x480，解得：0x即DN长的取值范围为：0,28或x6 3836,

（2）由（1）知：矩形花坛AMPN的面积为：

3(x4)23x224x484848y3x2423x2448

xxxx当且仅当3x48，即x4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48 x故DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米 五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业

课本48页习题2.2

本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，先通过几何证明基本不等式，在充分了解基本不等式的含义后，再进一步运用其求最值。切记：利用基本不等式的条件是一正二定三等。

2.2基本不等式 1.基本不等式 例1 例2 2.重要推论