2016-2017学年江苏省常州市奔牛高中、田家炳高中、二中等学校
联考高一（上）期中数学试卷
一．填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=x+1，x∈A}，则A∩B= ． 2．lg+lg的值是 ． 3．函数y=+lg（4﹣x）的定义域为 ． 4．已知幂函数的图象过点（2，），则幂函数的解析式f（x）= ． 5．函数y=loga（x﹣1）﹣1（a＞0且a≠1）必过定点 ． 6．已知函数f（x）=
．若f（a）=2，则a= ．
7．函数f（x）=x|x﹣1|的单调减区间为 ． 8．函数y=x+的值域为 ．
9．已知函数f（x）=2x+log3x的零点在区间（k，k+1）上，则整数k的值为 ．
10．已知集合A={x|x2﹣9x﹣10=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A，则m的取值集合是 ． 11．已知函数y=
的定义域为R，则m的取值范围是 ．
12．已知定义在[﹣2，2]上的函数f（x），当x∈[﹣2，2]都满足f（﹣x）=f（x），且对于任意的a，b∈[0，2]，都有范围为 ．
＜0（a≠b），若f（1﹣m）＜f（m），则实数m的取值
13．已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
14．已知函数f（x）=x2﹣4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为 ．
二．解答题，共6题，共58分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．求解下列各式的值： （1）（2）（2）
16．已知函数f（x）=
+（﹣2017）0+（3）
+lg6﹣lg0.02．
﹣
的定义域为集合A，B={x∈Z|3＜x＜11}，C={x∈R|x
；
＜a或x＞a+1}． （1）求A，（∁RA）∩B；
（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围． 17．已知函数f（x）=2x﹣
（x∈R）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）若2xf（2x）+mf（x）≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围． 18．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%． （1）请分析函数y=
+1是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
（2）若该公司采用函数模型y=
19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1． （1）求f（x）的函数解析式；
（2）作出函数f（x）的简图，写出函数f（x）的单调减区间及最值． （3）若关于x的方程f（x）=m有两个解，试说出实数m的取值范围．（只要写出结果，不用给出证明过程）
20．已知函数f（x）=x2+．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）当a=16时，判断f（x）在x∈（0，2]上的单调性并用定义证明；
（3）试判断方程x3﹣2016x+16=0在区间（0，+∞）上解的个数并证明你的结论．
2016-2017学年江苏省常州市奔牛高中、田家炳高中、二
中等学校联考高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=x+1，x∈A}，则A∩B= {2，3，4} ． 【考点】交集及其运算．
【分析】利用已知条件求出集合B，然后求解交集即可．
【解答】解：集合A={1，2，3，4}，B={y|y=x+1，x∈A}={2，3，4，5}， 则A∩B={2，3，4}． 故答案为：{2，3，4}． 2．lg
+lg的值是 1 ．
【考点】对数的运算性质．
【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．
==1． 【解答】解：
故答案为：1．
3．函数y=+lg（4﹣x）的定义域为 {x|﹣2≤x＜4} ． 【考点】对数函数的定义域． 【分析】由
即可求得函数y=
+lg（4﹣x）的定义域．
【解答】解：依题意得，解得﹣2≤x＜4．
故函数y=+lg（4﹣x）的定义域为{x|﹣2≤x＜4}． 故答案为：{x|﹣2≤x＜4}．
4．已知幂函数的图象过点（2，
），则幂函数的解析式f（x）= ．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】用待定系数法，设出幂函数的解析式，求出α的值即可． 【解答】解：设幂函数的解析式为y=xα，（α∈R）； ∵函数的图象过点（2，）， ∴2α=， ∴α=； ∴y=
，
．
故答案为：
5．函数y=loga（x﹣1）﹣1（a＞0且a≠1）必过定点 （2，﹣1） ． 【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】根据对数函数的图象恒过（1，0）点，然后利用函数图象的平移即可得到答案． 【解答】解：因为y=logax的图象恒过（1，0）点，
又y=loga（x﹣1）﹣1的图象是把y=logax的图象右移1个单位，下移1个单位得到的， 所以y=loga（x﹣1）﹣1的图象必过定点（2，﹣1）． 故答案为：（2，﹣1）．
6．已知函数f（x）=【考点】分段函数的应用． 【分析】由函数f（x）=
，分类讨论可得满足条件的a值． ．若f（a）=2，则a= 4 ．
【解答】解：f（x）=当x≤0时，f（x）=2x=2， 解得：x=1（舍去）；
当x＞0时，f（x）=log2x=2， 解得：x=4； 综上可得：x=4， 故答案为：4；
．
7．函数f（x）=x|x﹣1|的单调减区间为 ．
【考点】函数的单调性及单调区间．
【分析】根据所给的带有绝对值的函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，在同一坐标系中画出函数的图象或者是利用二次函数的性质来解题． 【解答】解：当x＞1时，f（x）=x2﹣x， 当x≤1时，f（x）=﹣x2+x， 这样就得到一个分段函数，
在同一坐标系中画出函数的图象或者利用二次函数的性质， 有单调减区间是（，1） 故答案为：（，1）
8．函数y=x+
的值域为 [2，+∞） ．
【考点】函数的值域．
【分析】利用单调性法求函数的值域．注意定义域范围． 【解答】解：由题意：函数y=x+是一个复合函数，其定义域为{x|x≥2} 将函数y看成两个函数y1=x，
复合而成，
∵函数y1=x，
在x∈[2，+∞）都是单调增函数，
根据单调性的在同一定义域的性质：增函数+增函数=增函数， ∴当x=2时，函数y取得最小值，即ymin=2， 可得函数y=x+的值域为[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）．
9．已知函数f（x）=2x+log3x的零点在区间（k，k+1）上，则整数k的值为 0 ． 【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】确定函数的定义域为（0，+∞）与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论． 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增， ∵f（1）=2+0＞0，
当x=0时，20=1，当→0+时，log3x→﹣∞， ∴f（0）＜0
∴函数f（x）=2x+log3x的零点一定在区间（0，1）， ∴k=0， 故答案为：0
10．已知集合A={x|x2﹣9x﹣10=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A，则m的取值集合是
．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】集合A={x|x2﹣9x﹣10=0}={﹣1，10}，由A∪B=A，可得B⊆A．分类讨论：m=0时，B=∅．m≠0，B={﹣}，进而得出．
【解答】解：集合A={x|x2﹣9x﹣10=0}={﹣1，10}， ∵A∪B=A，∴B⊆A．
∵B={x|mx+1=0}，m=0时，B=∅． m≠0，B={﹣}，
∴﹣=﹣1或10，解得m=1，m=可得：m的取值集合是故答案为：
11．已知函数y=
的定义域为R，则m的取值范围是 [0，8] ． ．
． ．
【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】把函数y=后对m分类讨论得答案． 【解答】解：∵函数y=
的定义域为R，
的定义域为R，转化为mx2﹣mx+2≥0对任意实数x恒成立．然
∴mx2﹣mx+2≥0对任意实数x恒成立． 若m=0，不等式化为2≥0，恒成立； 若m≠0，则
，解得0＜m≤8．
综上，m的取值范围是[0，8]． 故答案为：[0，8]．
12．已知定义在[﹣2，2]上的函数f（x），当x∈[﹣2，2]都满足f（﹣x）=f（x），且对于任意的a，b∈[0，2]，都有范围为 ﹣1≤m＜ ．
【考点】函数的周期性．
【分析】由题意，函数f（x）在[﹣2，2]上是偶函数，且单调递减，由f（1﹣m）＜f（m），得f（|1﹣m|）＜f（|m|），从而﹣2≤|m|＜|1﹣m|≤2，即可求出实数m的取值范围． 【解答】解：由题意，函数f（x）在[﹣2，2]上是偶函数，且单调递减， ∵f（1﹣m）＜f（m）， ∴f（|1﹣m|）＜f（|m|）， ∴﹣2≤|m|＜|1﹣m|≤2， ∴﹣1≤m＜， 故答案为﹣1≤m＜．
＜0（a≠b），若f（1﹣m）＜f（m），则实数m的取值
13．已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是 [﹣，﹣2] ．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】根据二次函数的性质以及反比例函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可． 【解答】解：由题意得：
，
解得：﹣≤a≤﹣2， 故答案为：[﹣，﹣2]．
14．已知函数f（x）=x2﹣4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为 [﹣0]∪{} ．
【考点】二次函数在闭区间上的最值． 【分析】f（x）=
，令f（x）=1可得 x=﹣4，或x=0，或 x=4．当
﹣1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得a的取值范围，当a＞0时，应有2a+1=4，由此求得a的值，综合可得a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣4|x|+1是偶函数，图象关于y轴对称． 且f（x）=
，令f（x）=1可得 x=﹣4，或x=0，或 x=4．
若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，∴a＜2a+1，解得a＞﹣1． 当﹣1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得﹣≤a≤0． 当a＞0时，应有2a+1=4，解得 a=． 综上可得，a的取值范围为[﹣0]∪{}， 故答案为[﹣0]∪{}．
二．解答题，共6题，共58分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．求解下列各式的值： （1）（2）（2）
+（﹣2017）0+（3）
+lg6﹣lg0.02．
；
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可． （2）根据对数的运算性质计算即可． 【解答】解：（1）
（2）原式=|lg3﹣2|+lg300=2﹣lg3+lg3+2=4．
16．已知函数f（x）=
﹣
的定义域为集合A，B={x∈Z|3＜x＜11}，C={x∈R|x
；
＜a或x＞a+1}． （1）求A，（∁RA）∩B；
（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算． 【分析】（1）根据函数成立的条件即可求A，（∁RA）∩B；
（2）根据A∪C=R，建立条件关系即可求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）∵
，
解得5≤x＜8，
∴A=[5，8）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
B={4，5，6，7，8，9，10}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴（∁RA）∩B={4，8，9，10}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）∵A∪C=R， ∴
，
解得5≤a＜7﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
17．已知函数f（x）=2x﹣
（x∈R）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）若2xf（2x）+mf（x）≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围． 【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．
【分析】（1）求出函数的定义域为R，再由f（﹣x）=﹣f（x）可得函数f（x）=2x﹣
为奇
函数；
（2）由2xf（2x）+mf（x）≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，可得m≥﹣（22x+1），求出22x+1的最大值得答案．
【解答】解 （1）由题意，x∈R， 由f（﹣x）=2﹣x﹣
=
﹣2x=﹣f（x），知f（x）是奇函数；
（2）当x=0时，m∈R． x∈（0，+∞）时，要使即
∵x＞0时，2x﹣
≥0恒成立，
＞0恒成立，
≥0，
∴22x+1+m≥0，即m≥﹣（22x+1），
∴m≥﹣（20+1）=﹣2． 综上，m∈[﹣2，+∞）．
18．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）请分析函数y=+1是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
（2）若该公司采用函数模型y=
【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（1）设奖励函数模型为y=f（x），根据“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）≤9，同时奖金不超过投资收益的20%．即f（x）≤．
（2）先将函数解析式进行化简，然后根据函数的单调性，以及使g（x）≤9对x∈[10，1000] 恒成立以及使g（x）≤对x∈[10，1000]恒成立，建立不等式，求出相应的a的取值范围．【解答】解：（1）对于函数模型y=f（x）=
+1，
当x∈[10，1 000]时，f（x）为增函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣
f（x）max=f（1 000）=
+1=
+1＜9，所以f（x）≤9恒成立，﹣﹣﹣
+1≤f（10）=﹣
＜0，
又因为当x∈[10，1 000]时f（x）﹣=﹣
所以f（x）≤恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 故函数模型y=﹣﹣﹣
（2）对于函数模型y=g（x）=当3a+20＞0，即a＞﹣
，即g（x）=10﹣
，
+1符合公司要求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
时递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣
为使g（x）≤9对于x∈[10，1 000]恒成立， 即要g（1 000）≤9，3a+18≥1 000，即a≥为使g（x）≤对于x∈[10，1 000]恒成立， 即要
≤5，即x2﹣48x+15a≥0恒成立，
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即（x﹣24）2+15a﹣576≥0（x∈[10，1 000]）恒成立，又24∈[10，1 000]， 故只需15a﹣576≥0即可， 所以a≥
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
综上，a≥，故最小的正整数a的值为328．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣
19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1． （1）求f（x）的函数解析式；
（2）作出函数f（x）的简图，写出函数f（x）的单调减区间及最值． （3）若关于x的方程f（x）=m有两个解，试说出实数m的取值范围．（只要写出结果，不用给出证明过程）
【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，由已知中当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1，及函数f（x）是定义在R上的偶函数，可求出当x＜0时函数的解析式，进而得到答案，
（2）由二次函数的图象画法可得到函数的草图；根据图象下降对应函数的单调递减区间，分析出函数值的取值范围后可得到答案； （3）由图象可得结论．
【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=x2+2x﹣1． ∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x）
∴f（x）=x2+2x﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴f（x）=
﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分
（2）函数图象如图所示
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
单调减区间为（﹣∞，﹣1]，[0，1]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
f（x）min=﹣2，函数没有最大值（注：不说明最大值情况扣1分）﹣﹣
（3）m∈{﹣2}∪（﹣1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20．已知函数f（x）=x2+．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）当a=16时，判断f（x）在x∈（0，2]上的单调性并用定义证明；
（3）试判断方程x3﹣2016x+16=0在区间（0，+∞）上解的个数并证明你的结论． 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【分析】（1）对a分类讨论，计算f（﹣x）与±f（x）的关系即可判断出奇偶性． （2）当a=16时，f（x）=x2+
，任取0＜x1＜x2≤2，作差f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）
，判断符号即可证明．
（3）利用函数的单调性、函数零点判定定理即可得出． 【解答】解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称． ①a=0时，f（﹣x）=x2=f（x），∴f（x）是偶函数． ②a≠0时，f（﹣x）≠±f（x），∴f（x）是非奇非偶函数． （2）当a=16时，f（x）=x2+
，任取0＜x1＜x2≤2， ﹣
=（x1﹣x2）
，
则f（x1）﹣f（x2）=
∵0＜x1＜x2≤2，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，0＜x1+x2＜4． ∴（x1﹣x2）
＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在x∈（0，2]上是单调递减函数． （3）结论：方程在（0，+∞）上共有两个解．
证明：当a=16时，任取2≤x1＜x2，则同理可证f（x1）＜f（x2）． ∴f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数． ∴x3﹣2016x+16=0在的解即为方程x2+令g（x）=f（x）﹣2016， ∴当x∈（0，2）时，由
=16000+
＞2016得
＞0．
﹣2016=0，x∈（0，+∞）的解．
且f（2）=12＜2016得g（2）＜0，
又g（x）的图象在x∈（0，2]的解上是不间断的曲线，由零点存在定理知函数在x∈[0，2]上有一个零点，又由g（x）在x∈（0，2]上是单调递减函数，所以函数在[0，2]上只有一个零点．
当x∈（2，+∞）时，由f（2）=12＜2016，且f在x∈[2，+∞）上是单调递增函数得g（2）＜0，
g的图象在（2，+∞）上是不间断的曲线，
由零点存在定理知函数在x∈[2，+∞）有一个零点，又由g（x）在x∈（2，+∞）调递增知函数在x∈（2，+∞）只有一个零点．
2016年12月1日
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