函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且yfx的图象关于直线x1对称，则f (1)+

2

f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【考点分析】本题考查函数的周期性

解析：f0f0得f00，假设fn0

因为点（n，0）和点（n1,0）关于x对称，所以fn1fnfn0 因此，对一切正整数n都有：fn0

从而：f1f2f3f4f50。本题答案填写：0

例2、（2006福建卷）已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx.

635设af(),bf(),cf(),则

522（A）abc （B）bac （C）cba （D）cab

12解：已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx.

64431151设af()f()f()，bf()f()f()，cf()f()<0，∴

55522222cab，选D.

例3、（安徽卷理）函数fx对于任意实数x满足条件fx21，若fxf15,则ff5__________。

【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。

11f(x)，所以f(5)f(1)5，则解析：由fx2得fx4fxfx2ff5f(5)f(1)11。

f(12)5【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一

1般都比较灵活。本题应直观理解fx2 “只要加2，则变倒数，加两次

fx则回原位” 则一通尽通也。

例4、设fx是,上的奇函数，fx2fx，当0≤x≤1时，fxx，则f（7.5）等于（ ）

A.0.5 B.－0.5 C.1.5

D.－1.5

解析：由fx2fxf7.5f5.5f3.5f1.5f0.5，又fx是奇函数，故f0.5f0.50.5，故选择B。

- 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

例5、（福建卷）f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0，则方程

f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ）

A．5 B．4 C．3 D．2

解析：由f(x)的周期性知，f(2)f5f1f1f40

即至少有根1，2，4，5。故选择B。

例6、（广东卷）设函数f(x)在(,)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)f(3)0． （Ⅰ）试判断函数yf(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． 解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数yf(x)的对称轴为x2和x7, 从而知函数yf(x)不是奇函数,

f(2x)f(2x)f(x)f(4x)由f(4x)f(14x)

f(7x)f(7x)f(x)f(14x)f(x)f(x10),从而知函数yf(x)的周期为T10

又f(3)f(0)0,而f(7)0,故函数yf(x)是非奇非偶函数;

f(2x)f(2x)f(x)f(4x)(II)由f(4x)f(14x)

f(7x)f(7x)f(x)f(14x)(II) 又f(3)f(0)0,f(11)f(13)f(7)f(9)0

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数yf(x)在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数yf(x)在[-2005,2005]上有802个解.

例7、 若f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，它们有相同的定义域，且

1f(x)g(x)，求f（x），g（x）的表达式。

x111解：∵f(x)g(x)①，∴f(x)g(x)①′，

x1x1∵f（x）是偶函数f(x)f(x)，g（x）是奇函数g(x)g(x)，

- 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

1②， x11①+②得：f(x)2，

x1x①-②得：g(x)2。

x1∴①′f(x)g(x)例8、已知函数f(x)x3x,xR

（1）指出f（x）在定义域R的奇偶性与单调性；（只须写出结论，无须证明） （2）若a，b，c∈R，且a+b>0，b+c>0，c+a>0， 证明：f（a）+f（b）+f（c）>0。（12分） 解：（1）f（x）是定义域R上的奇函数且为增函数。

（2）由a+b>0得a>-b，由增函数f(a)>f(-b)，且奇函数f（-b）=-f（b），得f（a）+f（b）>0。同理可得f（b）+f（c）>0，f（c）+f（a）>0。

相加得：f（a）+f（b）+f（c）>0。

例9、．设函数f（x）的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的x1x2，有

f(x1x2)1f(x1)f(x2)，试判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论。（12分）

f(x2)f(x1)1f(x1)f(x2)f(x2x1)

f(x2)f(x1)解：∵f(x1x2)1f(x1)f(x2)1f(x1)f(x2)f(x1x2)，

f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)设xx1x2，则xx2x1，∴f（-x）=-f（x）； 又∵f（x）的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数。

x例10、．设（fx）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，f()f(x)f(y)

y（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；

1)2。（2）设f（2）=1，解不等式f(x)f(（12分） x3x证明：（1）f()f(x)f(y)，令x=y=1，

y则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，

- 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

x1f(xy)f()f(x)f()f(x)[f(1)f(y)]f(x)f(y)。

1yy（2）解：∵f(x)f(1)f(x)[f(1)f(x3)] x3f(x)f(x3)f(x23x)，

∵2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4）， ∴f(x)f(1)2等价于：f(x23x)f(4)①， x3且x>0，x-3>0[由f（x）定义域为（0，+∞）可得]。

∵x(x3)x23x0，4>0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数， ∴①x23x41x4。又x>3， ∴原不等式解集为：{x|3例11、．如图1-3-1由A城运物到B城，先走一段水路AD，再走一段公路DB，已知水路运费是公路运费的一半，AC=40公里，BC=30公里，问码头D建在何处才能使运费最省？（12分）

解：设AD=x公里，则CD=40-x公里，BD(40x)2302公里。设每公里的水路费用m，则每公里的路费为2m，由A城到B城的货物的总运费为：

Mmx2m(40x)2302①。令yM显然要求M最小值，只要求y最小值m即可。把①整理得：3x22(160y)x(10000y2)0①′，对方程①′

04(16y)212(10000y)20y40303或y403030（舍

去）。把y40303代入①′解得x10(43)23（公里）。

答：将码头建在离A城约23公里处，运费最省。 例12、．已知f(x)x2c，且f[f(x)]f(x21)。

（1）设g（x）=f[f（x）]，求g（x）的解析式；

（2）设(x)g(x)f(x)，试问是否存在实数λ，使(x)在（-∞，-1）递减，且在（-1，0）上递增？

解：（1）∵f(x)x2c，∴f(x21)(x21)2c，

- 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

∴g(x)f[f(x)]f(x2c)(x2c)2c。

又f[f(x)]f(x21)(x21)2c(x2c)2cc1， ∴g(x)(x21)21。

（2）(x)g(x)f(x)(x21)21(x2c)x4(2)x22， 任取x1x2，

4222(2)x2(x12x2)(x12x22)①。 则(x1)(x2)x14(2)x12x222x12x20，x1x2且(x)(x)在(,1)上递减x2x11x12x220， 递减①<0，又x12x22220恒成立x12x22， 则：x12x222x2x111x12x2x12x2244①′。

22x12x20。 (x)在（-1，0）上递增1x2x10x12x220， x1x2且(x)递增①>0，又x12x2220恒成立 则x12x2222x12x22,1x2x100x1221xx212244

②′，由①′、②′知4。

[解题点拨] 本题综合性较强，考查的是复合函数解析式求法、恒等式成立的条件、复合函数单调性等知识点。

对于第（2）问，通常可用函数单调性定义来求解，也可以从复合函数角度结合二次函数性质来求解。 作业：

1、f(x)为(,)上的减函数，aR，则 （ ）

（A）f(a)f(2a)（B）f(a2)f(a)（C）f(a21)f(a)（D）f(a2a)f(a) 2、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5， 那么在区间[－7，－3]上是（ ） A．增函数且最小值为－5

- 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5

3、定义在[1，1]上的函数yf(x)是减函数，且是奇函数，若

f(a2a1)f(4a5)0，求实数a的范围。

4、已知二次函数f(x)ax2bx满足f(1x)f(1x)，且方程f(x)x有两个相等实根，若函数f(x)在定义域为[m,n]上对应的值域为[2m,2n]，求m,n的值。 5、已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为(1,3)。 （Ⅰ）若方程f(x)6a0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （Ⅱ）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。

设f(x)x22ax,(0x1)的最大值M(a)，最小值试求M(a),m(a)的表达式， 并求出函数M(a)的最值。

m(a)。

- 1 -文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.