一、选择题
1．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
2．已知x=﹣1是一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个解，则方程的另一个解是（ ） A．1
B．﹣5 C．5
D．﹣4
3．小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你的给我，我就有10颗”，如果设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，则列出的方程组正确的是（ ） A．C．5．已知A．﹣1 B．1
B． D． 是二元一次方程组C．2
D．3
的解，则a﹣b的值为（ ）
6．一元二次方程5x2﹣2x=0的解是（ ） A．x1=0，x2= B．x1=0，x2=7．一元一次方程A． B．x=﹣1
C．x1=0，x2= D．x1=0，x2= 的解是（ ）
C．x=1 D．x=﹣2
的值是（ ）
8．b是关于x的一元二次方程x2+nx﹣1=0的两实数根，已知a，则式子A．n2+2 B．﹣n2+2 C．n2﹣2
D．﹣n2﹣2
9．已知方程|x|=2，那么方程的解是（ ） A．x=2 B．x=﹣2
C．x1=2，x2=﹣2
D．x=4
10．设α，β是方程x2+9x+1=0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000
11．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A．C． B． D． 12．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系x1+x2=﹣，x1•x2=．x2是方程x2+6x+3=0数之间有如下关系：根据该材料填空：已知x1，的两实数根，则A．4
B．6
+的值为（ ） D．10
C．8
13．右边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ ）
A．69 B．54 C．27 D．40
14．方程（x﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是（ ） A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．0，﹣2 D．1 15．方程x2﹣2x=0的解是（ ） A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣2
D．x1=0，x2=2
16．服装店同时销售两种商品，销售价都是100元，结果一种赔了20%，另一种赚了20%，那么在这次销售中，该服装店（ ）
A．总体上是赚了 B．总体上是赔了
C．总体上不赔不赚 D．没法判断是赚了还是赔了 17．解分式方程A．解为x=2
二、填空题
18．方程：（2x﹣1）2﹣25=0的解为 ． 19．定义新运算“*”，规则：a*b=的两根为x1，x2，则x1*x2= ． 20．方程x3﹣x=0的解为 ． 21．方程x2﹣2x﹣3=0的解是 ．
22．设a和β是方程x2﹣4x﹣5=0的二根，则α+β的值为 ．
23．已知关于x的一元二次方程m2x2+（2m﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
24．方程2x2﹣x﹣5m=0有一个根为0，则它的另一个根是 ，m= ． 25．若2x﹣3与﹣互为倒数，则x= ．
26．若a是方程x2﹣x+5=0的一个根，则代数式a2﹣a的值是 ． 27．方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 28．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．
，如1*2=2， *．若x2+x﹣1=0
，可知方程（ ）
B．解为x=4 C．解为x=3 D．无解
29．一元二次方程2x2=x的解是 ．
30．某列从永川到重庆的火车，包括起始和终点在内共有5个停靠站，小王乘坐这趟列车从永川到重庆，一路上小王在他乘坐的车厢内观测到下列情况：①在起始站（第一站）以后每一站都有车厢内人数（包括小王）的一半人下车；②又有下车人数的一半人上这
节车厢；③到第五站（终点站）包括小王在内还有27人．那么起始站上车的人数是 ．
31．家家乐奥运福娃专卖店今年3月份售出福娃3600个，5月份售出4900个，设每月平均增长率为x，根据题意，列出关于x的方程为 ． 32．方程x2﹣3x=0的解是 ．
33．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为 ．
34．计算2x2•（﹣3x3）的结果是 ． 35．已知实数a、b（a≠b）分别满足
三、解答题
36．解方程：4x2﹣3x﹣1=0 37．解方程：x2﹣3x﹣1=0．
38．已知x1，x2是方程x2﹣2x+a=0的两个实数根，且值．
39．小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈，如图所示，现在已备足可以砌12米长的墙的材料．
（1）如果小亮家想围成面积为16m2的矩形猪圈，你能够教他们怎么围吗？ （2）如果小亮家想围成面积为20m2的矩形猪圈，你认为可能吗？说明理由．
，求x1，x2及a的
，，试求 的值 ．
40．宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：
体积（m3/件）
质量（吨/件）
A型商品 B型商品
0.8 2
0.5 1
（1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是20m3，质量一共是10.5吨，求A、B两种型号商品各有几件？
（2）物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为6m3，其收费方式有以下两种：
①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．
要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少并求出该方式下的运费是多少元？ 41．解方程组：．
的解相同．
42．已知关于x的方程2x2﹣kx+1=0的一个解与方程（1）求k的值；
（2）求方程2x2﹣kx+1=0的另一个解．
43．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．
44．解方程：x2﹣6x﹣16=0． 45．解方程：．
《方程》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴，即，
解得k＞﹣1且k≠0． 故选B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．
2．已知x=﹣1是一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个解，则方程的另一个解是（ ） A．1
B．﹣5 C．5
D．﹣4
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解． 【专题】计算题．
【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．
【解答】解：设方程的另一根为x1，
由根据根与系数的关系可得：x1•（﹣1）=﹣5， ∴x1=5； 故本题选C．
【点评】注意该方程的常数项为﹣5，而不是5；代入公式时一定要注意常数项的正负．
3．小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你的给我，我就有10颗”，如果设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，则列出的方程组正确的是（ ） A．C． B． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【专题】应用题．
【分析】此题中的等量关系有：
①把小刚的珠子的一半给小龙，小龙就有10颗珠子； ②把小龙的给小刚，小刚就有10颗．
【解答】解：根据把小刚的珠子的一半给小龙，小龙就有10颗珠子，可表示为y+=10，化简得2y+x=20；
根据把小龙的给小刚，小刚就有10颗．可表示为x+=10，化简得3x+y=30． 列方程组为故选：A．
【点评】此题要能够首先根据题意中的等量关系直接表示出方程，再结合答案中的系数都是整数，运用等式的性质进行整理化简． 5．已知A．﹣1 B．1
是二元一次方程组C．2
D．3
的解，则a﹣b的值为（ ）
．
【考点】二元一次方程的解． 【专题】计算题．
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将然后再来求a﹣b的值． 【解答】解：∵已知是二元一次方程组的解，
代入原方程组，分别求得a、b的值，
∴ 由①+②，得a=2， 由①﹣②，得b=3， ∴a﹣b=﹣1； 故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解法．二元一次方程组的解法有两种：代入法和加减法，不管哪种方法，目的都是“消元”．
6．一元二次方程5x2﹣2x=0的解是（ ） A．x1=0，x2= B．x1=0，x2= C．x1=0，x2= D．x1=0，x2= 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题．
【分析】本题可对方程提取公因式x，得到两个相乘的单项式，因为方程的值为0，所以两个相乘的式子至少有一个为0，由此可解出此题．
【解答】解：5x2﹣2x=x（5x﹣2）=0，∴方程的解为x1=0，x2=．故选A．
【点评】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．
7．一元一次方程A． B．x=﹣1
的解是（ ）
C．x=1 D．x=﹣2
【考点】解一元一次方程． 【专题】计算题．
【分析】方程中含有分母，可以根据等式性质，方程两边同乘各分母的最小公倍数，就可以去掉原方程的分母．
【解答】解：去分母得：6x﹣3（x﹣1）=12﹣2（x+2）， 去括号得：6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4， 移项得：6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3，
合并得：5x=5， 系数化为1得：x=1． 故选C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法．
解一元一次方程的一般步骤是：去分母；去括号；移项；合并；系数化为1． 注意，去分母时，要用最小公倍数乘方程两边的每一项，不要漏乘不含分母的项．
8．b是关于x的一元二次方程x2+nx﹣1=0的两实数根，已知a，则式子A．n2+2 B．﹣n2+2 C．n2﹣2 【考点】根与系数的关系． 【专题】压轴题． 【分析】欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，然后利用D．﹣n2﹣2
的值是（ ）
一元二次方程根与系数的关系代入数值计算即可． 【解答】解：由题意知， a+b=﹣n，ab=﹣1， ∴= ==﹣n2﹣2．
故选D．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合是一种经常使用的解题方法．
9．已知方程|x|=2，那么方程的解是（ ） A．x=2 B．x=﹣2
C．x1=2，x2=﹣2
D．x=4
【考点】含绝对值符号的一元一次方程． 【专题】计算题．
【分析】绝对值方程要转化为整式方程，因为|x|=±x，所以得方程x=±2，解即可． 【解答】解：因为|x|=±x，所以方程|x|=2化为整式方程为：x=2和﹣x=2，
解得x1=2，x2=﹣2， 故选C．
【点评】考查绝对值方程的解法，绝对值方程要转化为整式方程来求解．要注意|x|=±x，所以方程有两个解．
10．设α，β是方程x2+9x+1=0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解． 【专题】压轴题．
【分析】欲求（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）=（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β），再利用根与系数的关系代入数值计算即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2+9x+1=0的两个实数根， ∴α+β=﹣9，α•β=1．
（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）
=（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β） 又∵α，β是方程x2+9x+1=0的两个实数根， ∴α2+9α+1=0，β2+9β+1=0．
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β） =2000α•2000β =2000×2000αβ， 而α•β=1，
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）=4 000 000． 故选D．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
11．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A．C． B． D． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）． 【专题】数形结合．
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．
【解答】解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，﹣1）、（1，1）、（0，2）； 分别求出图中两条直线的解析式为y=2x﹣1，y=﹣x+2， 因此所解的二元一次方程组是故选：D．
【点评】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
12．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系x1+x2=﹣，x1•x2=．x2是方程x2+6x+3=0数之间有如下关系：根据该材料填空：已知x1，的两实数根，则A．4
B．6
+的值为（ ） D．10
．
C．8
【考点】根与系数的关系． 【专题】压轴题；阅读型．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根， ∴x1+x2=﹣=﹣6， x1•x2==3， 则+====10．
故本题选D．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会将代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．
13．右边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ ）
A．69 B．54 C．27 D．40 【考点】一元一次方程的应用． 【专题】图表型．
【分析】一竖列上相邻的三个数的关系是：上面的数总是比下面的数小7．可设中间的数是x，则上面的数是x﹣7，下面的数是x+7．则这三个数的和是3x，因而这三个数的和一定是3的倍数．
【解答】解：设中间的数是x，则上面的数是x﹣7，下面的数是x+7． 则这三个数的和是（x﹣7）+x+（x+7）=3x，
因而这三个数的和一定是3的倍数． 则，这三个数的和不可能是40． 故选D．
【点评】本题解决的关键是观察图形找出数之间的关系，从而找到三个数的和的特点．
14．方程（x﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是（ ） A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．0，﹣2 D．1 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题．
【分析】因为方程两边都有x+2，所以运用分解因式法求解即可． 【解答】解：原方程变形为：（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）=0， ∴（x+2）（x﹣3）=0， ∴x1=3，x2=﹣2．故选B．
【点评】方程整理后，容易分解因式的，用分解因式法求解一元二次方程简单．
15．方程x2﹣2x=0的解是（ ） A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣2
D．x1=0，x2=2
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【分析】方程右边为0，左边分解因式即可． 【解答】解：原方程化为x（x﹣2）=0， x1=0，x2=2；故选D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
16．服装店同时销售两种商品，销售价都是100元，结果一种赔了20%，另一种赚了20%，那么在这次销售中，该服装店（ ） A．总体上是赚了 B．总体上是赔了
C．总体上不赔不赚 D．没法判断是赚了还是赔了
【考点】一元一次方程的应用． 【专题】销售问题．
【分析】由已知可分别列一元一次方程求出盈利和亏本商品的成本价，然后计算出赚或亏多少．盈利20%就是相当于成本价的1+20%，亏本20%就是相当于成本价的1﹣20%，由此可列方程求解．
【解答】解：设盈利商品的成本价为x元，亏本的成本价为y元，根据题意得： （1+20%）x=100，（1﹣20%）y=100， 解得：x≈83，y=125， 100﹣83+（100﹣125）=﹣8， 所以赔8元． 故选：B．
【点评】此题考查的知识点一元一次方程的应用﹣销售问题，解题的关键是先由已知列一元一次方程求出两种商品的成本价．
17．解分式方程A．解为x=2
，可知方程（ ）
B．解为x=4 C．解为x=3 D．无解
【考点】解分式方程． 【专题】计算题．
【分析】本题考查分式方程的解法．母为（x﹣2）．
【解答】解：原方程可变形为﹣2）=﹣1．
解之得x=2．代入最简公分母x﹣2=0，因此原分式方程无解．故选D．
【点评】本题考查分式方程的解法，此题两个分母互为相反数，因此去分母化为整式方
程时要注意符号变化．同时要注意去分母时会出现增根，要检验的环节，否则容易出错．
，可变形为，可确定公分，两边都乘以（x﹣2），得（1﹣x）+2（x
二、填空题
18．方程：（2x﹣1）2﹣25=0的解为 3或﹣2 ． 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】计算题．
【分析】把原式变形为（x+a）2=b的形式，用直接开平方法求出2x﹣1，然后进一步求x．
【解答】解：∵（2x﹣1）2﹣25=0， ∴（2x﹣1）2=25， ∴2x﹣1=±5， ∴x1=3，x2=﹣2．
【点评】法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
19．定义新运算“*”，规则：a*b=的两根为x1，x2，则x1*x2= 【考点】根与系数的关系． 【专题】压轴题；新定义．
【分析】根据公式法求得一元二次方程的两个根，然后根据新运算规则计算x1*x2的值则可．
【解答】解：在x2+x﹣1=0中， a=1，b=1，c=﹣1， ∴b2﹣4ac=5＞0， 所以x1=∴x1*x2=，x2=*=或x1=．
，x2=．
．
，如1*2=2， *．若x2+x﹣1=0
【点评】本题考查了运用公式法解一元二次方程，注意定义运算规则里的两种情况．
20．方程x3﹣x=0的解为 0，1，﹣1 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】首先对方程的左边进行因式分解，然后再解方程即可求出解． 【解答】解：∵x3﹣x=0 ∴x（x+1）（x﹣1）=0
∴x=0，x+1=0，x﹣1=0， ∴x1=0，x2=1，x3=﹣1，
∴x1=0，x2=1，x3=﹣1都为原方程得解． 故答案为：0，﹣1，1．
【点评】本题主要考查用因式分法解一元二次方程，关键在于对方程的左边进行正确的因式分解．
21．方程x2﹣2x﹣3=0的解是 x1=3，x2=﹣1 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
”【分析】先方程左边因式分解，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．进行求解．
【解答】解：方程x2﹣2x﹣3=0左边因式分解，得 （x﹣3）（x+1）=0 解得x1=3，x2=﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
22．设a和β是方程x2﹣4x﹣5=0的二根，则α+β的值为 4 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】压轴题．
【分析】由题意a和β是方程x2﹣4x﹣5=0的二根，根据方程根与系数的关系可以求解．
【解答】解：∵a和β是方程x2﹣4x﹣5=0的二根， ∴α+β=4．
【点评】此题是一道典型的考查方程根与系数关系的题，比较简单．
23．已知关于x的一元二次方程m2x2+（2m﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜且m≠0 ． 【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵a=m，b=2m﹣1，c=1，方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（2m﹣1）2﹣4m2=1﹣4m＞0， ∴m＜．
又∵二次项系数不为0， ∴m≠0
即m＜且m≠0．
【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系： ①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； ②△=0⇔方程有两个相等的实数根； ③△＜0⇔方程没有实数根．
（2）一元二次方程的二次项系数不为0．
24．方程2x2﹣x﹣5m=0有一个根为0，则它的另一个根是 【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系． 【专题】方程思想．
【分析】把一个根0代入方程可以求出m的值，再根据根与系数的关系，由两根之和求出另一个根．
【解答】解：把x=0代入方程有：﹣5m=0 ∴m=0．
设另一个根是x1，则：x1+0= ∴x1= 故答案分别是：，0．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把已知根代入方程，可以求出字母系数的值，根据根与系数的关系可以求出方程的另一个根．
25．若2x﹣3与﹣互为倒数，则x= 0 ．
，m= 0 ．
【考点】解一元一次方程；倒数． 【专题】计算题．
【分析】根据互为倒数的两数之积为1可得出方程，解出即可． 【解答】解：﹣的倒数是﹣3， ∵2x﹣3与﹣互为倒数， ∴2x﹣3=3， 解得：x=0． 故填0．
【点评】本题的关键在于根据题意列出方程，属于比较简单的题目．
26．若a是方程x2﹣x+5=0的一个根，则代数式a2﹣a的值是 ﹣5 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】整体思想．
【分析】把a代入方程x2﹣x+5=0，得a的代数式的值，从而求得代数式a2﹣a的值． 【解答】解：把x=a代入方程x2﹣x+5=0，得 a2﹣a+5=0， ∴a2﹣a=﹣5．
【点评】此题主要考查了方程解的定义和整体思想的运用．
27．方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜1 ． 【考点】根的判别式．
【分析】一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．
【解答】解：∵a=1，b=2，c=k
∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×k=4﹣4k＞0， ∴k＜1．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
28．若关于x的分式方程【考点】分式方程的增根． 【专题】计算题．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，
最简公分母x﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
有增根，则m的值为 ± ．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，得 x﹣2（x﹣3）=m2， ∵原方程增根为x=3，
∴把x=3代入整式方程，得m=±【点评】解决增根问题的步骤： ①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
29．一元二次方程2x2=x的解是 x1=0，【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】由于方程左右两边都含有因式x，所以看把右边的项移到左边后，利用因式分解法解方程． 【解答】解：2x2=x， 2x2﹣x=0， x（2x﹣1）=0， x1=0，x2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
．
．
30．某列从永川到重庆的火车，包括起始和终点在内共有5个停靠站，小王乘坐这趟列车从永川到重庆，一路上小王在他乘坐的车厢内观测到下列情况：①在起始站（第一站）以后每一站都有车厢内人数（包括小王）的一半人下车；②又有下车人数的一半人上这
节车厢；③到第五站（终点站）包括小王在内还有27人．那么起始站上车的人数是 64 ．
【考点】一元一次方程的应用． 【专题】应用题；压轴题．
【分析】设起始站上车的人数是x人．根据题意，知第二站后车内人数是x﹣x+x=x；第三站后车内人数是x﹣x+x=x=（）2x，依此类推，第四站剩下（）3x人，
根据第四站（终点站）包括小王在内还有27人列方程求解． 【解答】解：设起始站上车的人数是x人． 根据题意得：（）3x=27， 解得：x=64．
则起始站上车的人数是64人．
【点评】此题能够正确理解题意，根据题意找到规律是解决问题的关键．
31．家家乐奥运福娃专卖店今年3月份售出福娃3600个，5月份售出4900个，设每月平均增长率为x，根据题意，列出关于x的方程为 3600（1+x）2=4900 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】增长率问题．
【分析】本题应先用x表示出4月份售出的个数，再表示出5月份售出的福娃个数，令其等于4900即可列出方程．
【解答】解：4月份售出的福娃个数为：3600（1+x）， 则5月份售出的福娃个数为：3600（1+x）2=4900． 故填空答案为3600（1+x）2=4900．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要先解出前一个月份的个数，再列出所求月份的个数的方程，令其等于已知的条件即可．
32．方程x2﹣3x=0的解是 x1=0，x2=3 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题．
【分析】x2﹣3x有公因式x可以提取，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：原式为x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，x=0或x﹣3=0，x1=0，x2=3． ∴方程x2﹣3x=0的解是x1=0，x2=3．
【点评】本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．
33．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为 10% ． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题．
【分析】此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可． 【解答】解：降价的百分率为x，根据题意列方程得 100×（1﹣x）2=81
解得x1=0.1，x2=1.9（不符合题意，舍去）． 所以降价的百分率为0.1，即10%． 故答案为：10%．
【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
34．计算2x2•（﹣3x3）的结果是 ﹣6x5 ． 【考点】同底数幂的乘法． 【专题】计算题．
【分析】先把常数相乘，再根据同底数幂的乘法性质：底数不变指数相加，进行计算即可．
【解答】解：2x2•（﹣3x3）=﹣6x5． 故答案填：﹣6x5．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，牢记同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题
的关键．
35．已知实数a、b（a≠b）分别满足 ．
【考点】根与系数的关系． 【专题】压轴题．
【分析】由题意实数a、b分别满足﹣3x+=0的两根，可得a+b=3，ab=，，然后再代入，，可知a，b是方程x2
求解．
，
，，试求的值
【解答】解：∵实数a、b分别满足∴a，b是方程x2﹣3x+∴a+b=3，ab=∴=， =．
===0的两根，
；
故答案为【点评】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，关键是要根据题意找到这个方程，此题是一道很好的题．
三、解答题
36．解方程：4x2﹣3x﹣1=0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】把方程4x2﹣3x﹣1=0进行因式分解，可得（x﹣1）（4x+1）=0，即可解出． 【解答】解：4x2﹣3x﹣1=0， （x﹣1）（4x+1）=0， x1=1，x2=﹣．
【点评】运用二次三项式的因式分解法进行因式分解，可提高解题效率．
37．解方程：x2﹣3x﹣1=0．
【考点】解一元二次方程﹣公式法． 【专题】计算题．
【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解． 【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1， ∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13， ∴x1=，x2=．
【点评】此题考查了学生的计算能力，解题的关键是准确应用公式．
38．已知x1，x2是方程x2﹣2x+a=0的两个实数根，且值．
【考点】根与系数的关系．
x1x2=a，【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2，而x1+2x2=3﹣根据前面的等式可以分别求出x2、x1及a的值．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x+a=0的两个实数根， ∴x1+x2=2 ①x1x2=a ② 而x1+2x2=3﹣∴③﹣①得代入①得∴a=﹣1．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过利用根与系数的关系可以得到关于待定系数的方程解决问题．
39．小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈，如图所示，现在已备足可以砌12米长的墙的材料．
（1）如果小亮家想围成面积为16m2的矩形猪圈，你能够教他们怎么围吗？ （2）如果小亮家想围成面积为20m2的矩形猪圈，你认为可能吗？说明理由．
③
， ，
，，求x1，x2及a的
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题．
【分析】（1）根据长方形的面积公式列方程求解即可； （2）同（1）一样列方程，看方程是否有解即可． 【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为xm， 则x（12﹣2x）=16， 解得x1=2，x2=4， 当x=2时，12﹣2x=8， 当x=4时，12﹣2x=4，
所以垂直于墙的边长为2米或4米；
（2）设垂直于墙的边长为ym， 则y（12﹣2y）=20， 整理得，﹣2y2+12y﹣20=0，
△=144﹣4×（﹣2）×（﹣20）=﹣16＜0， ∴此方程无解，
所以不能够围成．（本题也可以用二次函数说明，面积的最大值为18）（7分） 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．注意根据根的判别式来判断方程是否有解．
40．宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：
体积（m3/件）
质量（吨/件）
A型商品 B型商品
0.8 2
0.5 1
（1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是20m3，质量一共是10.5吨，求A、B
两种型号商品各有几件？
（2）物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为6m3，其收费方式有以下两种：
①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．
要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少并求出该方式下的运费是多少元？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】阅读型．
【分析】（1）等量关系式为：0.8×A型商品件数+2×B型商品件数=20，0.5×A型商品件数+1×B型商品件数=10.5．
（2）①付费=车辆总数×600；②付费=10.5×200；③按车付费之所以收费高，是因为一辆车不满．∴由于3辆车是满的，可按车付费，剩下的可按吨付费，三种方案进行比较．
【解答】解：（1）设A型商品x件，B型商品y件． 由题意可得解之得． ．
答：A型商品5件，B型商品8件．
（2）①若按车收费：10.5÷3.5=3（辆），
但车辆的容积6×3=18＜20，所以3辆汽车不够，需要4辆车． 4×600=2400（元）．
②若按吨收费：200×10.5=2100（元）．
③先用3辆车运送18m3，剩余1件B型产品，付费3×600=1800（元）． 再运送1件B型产品，付费200×1=200（元）． 共需付1800+200=2000（元）． ∵2400＞2100＞2000
∴先按车收费用3辆车运送18m3，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为2000元．
答：先按车收费用3辆车运送18m3，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为2000
元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
41．解方程组：．
【考点】解二元一次方程组． 【专题】计算题．
【分析】由于方程组两方程中x的系数相同，故可先用加减消元法再用代入消元法求解．
【解答】解：①﹣②得3y=3，y=1 将y=1代入①得x=5， ∴原方程组的解是．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
42．已知关于x的方程2x2﹣kx+1=0的一个解与方程（1）求k的值；
（2）求方程2x2﹣kx+1=0的另一个解．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；解分式方程．
【分析】（1）分式方程较完整，可先求出分式方程的解，代入整式方程即可求得k的值．
（2）根据两根之和=﹣即可求得另一根的解． 【解答】解：（1）解方程：2x+1=4﹣4x． ∴．
是原方程的解．
，得
的解相同．
经检验把代入方程2x2﹣kx+1=0．
解得k=3．
（2）当k=3时，方程为2x2﹣3x+1=0．
由根与系数关系得方程另一个解为：x=﹣=1．
【点评】此题主要考查方程解的意义，及同解方程、解方程等知识．注意运用根与系数的关系使运算简便．
43．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】（1）已知顶点坐标，设抛物线解析式的顶点式y=a（x﹣2）2+1，把O（0，0）代入即可；
（2）∵△MOB与△AOB公共底边OB，最高点A的纵坐标为1，只需要点M的纵坐标为﹣3即可，将y=﹣3，代入解析式可求M点坐标；
（3）由已知△OAB为等腰三角形，点N在抛物线上，只可能OB=BN，即要求∠AOB=∠BON，A、A'要关于x轴对称，通过计算，不存在．
【解答】解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1， ∵抛物线过原点，
∴a（0﹣2）2+1=0，a=﹣．
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+x． （2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S△MOB=3S△AOB， ∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是﹣3．
∴﹣3=﹣x2+x，即x2﹣4x﹣12=0． 解之，得x1=6，x2=﹣2．
∴满足条件的点有两个：M1（6，﹣3），M2（﹣2，﹣3）
（3）不存在．
由抛物线的对称性，知AO=AB，∠AOB=∠ABO． 若△OBN与△OAB相似，必有∠BON=∠BOA=∠BNO， 即OB平分∠AON，
设ON交抛物线的对称轴于A'点，则A、A′关于x轴对称， ∴A'（2，﹣1）．
∴直线ON的解析式为y=﹣x． 由﹣x=﹣x2+x，得x1=0，x2=6． ∴N（6，﹣3）．
过N作NE⊥x轴，垂足为E．在Rt△BEN中，BE=2，NE=3， ∴NB=又∵OB=4，
∴NB≠OB，∠BON≠∠BNO，△OBN与△OAB不相似． 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点． 所以在该抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．
=．
【点评】本题考查了抛物线解析式的求法，坐标系里的面积问题，探求相似三角形的存在性问题，具有一定的综合性．
44．解方程：x2﹣6x﹣16=0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因为﹣16=﹣8×2，﹣6=﹣8+2，所以x2﹣6x﹣16=（x﹣8）（x+2），这样即达到了降次的目的． 【解答】解：原方程变形为（x﹣8）（x+2）=0 x﹣8=0或x+2=0 ∴x1=8，x2=﹣2．
【点评】一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要注意选择合适的解题方法．
45．解方程：【考点】解分式方程． 【专题】计算题．
【分析】∵x2﹣1=（x﹣1）（x+1），∴本题的最简公分母是（x﹣1）（x+1）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解． 【解答】解：方程两边同乘（x﹣1）（x+1），得 2（x﹣1）﹣x=0， 解这个方程，得x=2．
检验：当x=2时，（x﹣1）（x+1）≠0． ∴x=2是原方程的解．
【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
．
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