初中数学竞赛趣题：求证任意四边形外接正方形中心线段垂直
以任意四边形ABCD四条边为基础向外做正方形，连接相对两正方形的中心。
求证：这两条线段NP、MO垂直且相等
分析：这题是全国初中数学竞赛真题，题目较为新颖，其中四边形的任意性也能具有中心垂直相等的结论，也是非常具有数学的美感。
此题主要考察全等三角形的手拉手模型，通过构造手拉手来证明线段的关系。
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解答：很明显，这是一道手位手模型题，准确一点说，应该是手位手拉手拉手模型……
普通手拉手的基本思路是，寻找一个含有两个基础正方形的图形，旋转到合适角度，构造全等形。对于本题这个DOUBLE手拉手的情况，求证的两条线段长度位置明显是由四个正方形共同决定的，只含有两个正方形元素的图形旋转不能直接搞定。猜测方向应该是构造两个含有求证线段的全等三角形，含有两个基础正方形的图形旋转各自搞定一条边。
按下图做辅助线，其中Q为AC中点：
其中两组紫色和绿色的三角形是我们构造的手拉手三角形。
易证紫色一对三角形EBC与三角形ABH全等，所以AH=EC，且AH垂直于EC。
由中位线定理，OQ平行且等于AH，且OQ=AH/2, QN平行EC，且QN等于EC/2
从而OQ垂直且等于QN
同理可证PQ垂直且等于MQ
所以∠OQM=∠PQN， 一对绿色三角形OQM和NQP全等，结论成立。
你想到了吗？
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