一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={|﹣2≤3﹣2≤10，∈R}，则A∩B=（ ） A．{1} B．{1，2，3，4} C．{1，3} D．{1，4}
2．（5分）函数f（）=a（a＞0，a≠1）的图象恒过点（ ） A．（0，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（a，0）
3．（5分）圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（ ） A．（﹣1）2+（y﹣2）2=2 （y+2）2=5
4．（5分）直线m﹣y﹣m+2=0恒过定点A，若直线l过点A且与2+y﹣2=0平行，则直线l的方程为（ ）
A．2+y﹣4=0 B．2+y+4=0 C．﹣2y+3=0
D．﹣2y﹣3=0
B．（+1）2+（y+2）2=2 C．（﹣1）2+（y﹣2）2=5
D．（+1）2+
5．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何
体的表面积为（ ）A．8+4
B．8+4
C．8+16
D．8+8
6．（5分）若直线2+y﹣4=0，+y﹣3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则此四边形的面积为（ ） A．
B．
C．
D．5
7．（5分）函数f（）=2|log0.5|﹣1的零点个数为（ ） A．1 B．2
C．3
D．4
的图象大致是（ ）
8．（5分）函数f（）=
A． B． C． D．
9．（5分）已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下面四个命题：
①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n ②若m，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
③若m，n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β ④如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n 上面命题中，正确的序号为（ ） A．①②
B．①③
C．③④
D．②③④
10．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（ ） A．
B．
C．
D．
11．（5分）集合M={（，y）|y=则m的取值范围是（ ） A．（﹣2
，2
） B．[﹣2，2
}，N={（，y）|﹣y+m=0}，若M∩N的子集恰有4个，
） C．（﹣2，﹣2] D．[2，2）
，若函数f（）
12．（5分）已知函数f（）（∈R）满足f（﹣）=8﹣f（4+），函数g（）=
与g（）的图象共有168个交点，记作Pi（i，yi）（i=1，2，…，168），则（1+y1）+（2+y2）+…+（168+y168）的值为（ ） A．2018
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）函数y=ln（2﹣1）的定义域是 ．
14．（5分）已知圆C1：2+y2﹣6﹣7=0与圆C2：2+y2﹣6y﹣27=0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为 ．
15．（5分）若函数f（）=e|﹣a|（a∈R）满足f（1+）=f（﹣），且f（）在区间[m，m+1]上是单调函数，则实数m的取值范围是 ．
16．（5分）点B在y轴上运动，点C在直线l：﹣y﹣2=0上运动，若A（2，3），则△ABC的周长的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知集合A={|﹣2≤≤5}，B={|m+1≤≤2m﹣1} （1）若B=∅，求m的取值范围；
B．2017
C．2016
D．1008
（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．
18．（12分）如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的底边长为6、侧棱长为5．求正四棱锥P﹣ABCD的体积和侧面积．
19．（12分）已知直线l经过直线2+y+5=0与﹣2y=0的交点，圆C1：2+y2﹣2﹣2y﹣4=0与圆C2：2+y2+6+2y﹣6=0相较于A、B两点．
（1）若点P（5，0）到直线l的距离为4，求l的直线方程； （2）若直线l与直线AB垂直，求直线l方程．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （1）证明：MN∥平面PAB； （2）求点M到平面PBC的距离．
21．（12分）已知圆C过两点M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圆心在直线2﹣y﹣2=0上 （1）求圆的方程；
（2）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点A、B，若直线l的斜率大于0，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点P（3，﹣1），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 22．（12分）已知幂函数h（）=2﹣2﹣
（1）求m的值，并确定f（）的解析式；
在（0，+∞）上为增函数，g（）=﹣2+2||+t，
（2）对于任意∈[1，2]，都存在1，2∈[1，2]，使得f（）≤f（1），g（）≤g（2），若f（1）=g（2），求实数t的值；
（3）若2h（2）+λh（）≥0对于一切∈[1，2]成成立，求实数λ的取值范围．
辽宁省葫芦岛市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={|﹣2≤3﹣2≤10，∈R}，则A∩B=（ ） A．{1} B．{1，2，3，4} C．{1，3} D．{1，4} 【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}， B={|﹣2≤3﹣2≤10，∈R}={|0≤≤4}， ∴A∩B={1，2，3，4}． 故选：B．
2．（5分）函数f（）=a（a＞0，a≠1）的图象恒过点（ ） A．（0，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（a，0） 【解答】解：由指数函数的定义和性质可得，
函数f（）=a（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，1）， 故选：B．
3．（5分）圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（ ） A．（﹣1）2+（y﹣2）2=2 （y+2）2=5
【解答】解：由题意可知，圆的半径为r=
．
B．（+1）2+（y+2）2=2 C．（﹣1）2+（y﹣2）2=5
D．（+1）2+
∴圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（﹣1）2+（y﹣2）2=5． 故选：C．
4．（5分）直线m﹣y﹣m+2=0恒过定点A，若直线l过点A且与2+y﹣2=0平行，则直线l的方程为（ ）
A．2+y﹣4=0 B．2+y+4=0 C．﹣2y+3=0
D．﹣2y﹣3=0
【解答】解：由m﹣y﹣m+2=0，得：y﹣2=m（﹣1）， 故直线m﹣y﹣m+2=0恒过定点A（1，2），
直线2+y﹣2=0的斜率是：=﹣2， 故直线l的方程是：y﹣2=﹣2（﹣1）， 整理得：2+y﹣4=0， 故选：A．
5．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何
体的表面积为（ ）A．8+4
B．8+4
C．8+16
D．8+8
【解答】解：根据三视图和题意知几何体是三棱锥P﹣ABC， 直观图如图所示：
D是AC的中点，PB⊥平面ABC，且PD=BD=2， ∴PB⊥AB，PB⊥BC，PB⊥BD，则PB=2∵底面△ABC是等腰三角形，AB=BC=2∴PA=PC=2
，
=8+4
，
， ，AC=4，
∴该几何体的表面积S=故选A．
6．（5分）若直线2+y﹣4=0，+y﹣3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则此四边形的面积为（ ） A．
B．
C．
D．5
【解答】解：圆的内接四边形对角互补，因为轴与y轴垂直，所以2+y﹣4=0与+y﹣3=0垂直 直线A1+B1y+C1=0与直线A2+B2y+C2=0垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0
由2×1+1×=0，解得=﹣2，
直线2+y﹣4=0与坐标轴的交点为（2，0），（0，4），+y﹣3=0与坐标轴的交点为 （0，﹣），（3，0），两直线的交点纵坐标为﹣， ∴四边形的面积为故选C
7．（5分）函数f（）=2|log0.5|﹣1的零点个数为（ ） A．1 B．2
C．3
D．4
=
．
【解答】解：函数f（）=2|log0.5|﹣1，令f（）=0， 在同一坐标系中作出y=（）．与y=|log0.5|，如图， 由图可得零点的个数为2． 故选B．
8．（5分）函数f（）=
的图象大致是（ ）
A． B． C．
，可知函数是奇函数，排除B，
D．
【解答】解：函数f（）=
当=时，f（）=＜0，排除C．
的值比较大时，f（）=可知函数是减函数．
，可得函数的分子是增函数，但是没有分母增加的快，
排除D， 故选：A．
9．（5分）已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下面四个命题： ①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n ②若m，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
③若m，n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β ④如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n 上面命题中，正确的序号为（ ） A．①②
B．①③
C．③④
D．②③④
【解答】解：对于①，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或异面，故错； 对于②，若m，n⊂α，m∥β，n∥β且m、n相交，则α∥β，故错；
对于③，若m，n是两条异面直线，若m∥α，n∥α，在平面α内一定存在两条平行m、n的相交直线，由面面平行的判定可知α∥β，故正确；
对于④，如果m⊥α，m垂直平面α内及与α平行的直线，故m⊥n，故正确； 故选：C
10．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，∵在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形， 侧棱SA⊥底面ABC，三棱锥的外接球的体积为36π， ∴三棱锥的外接球的半径R=OS=OD=3，
过A作AE⊥BC，交BC于E，过球心O作OD⊥ABC于D， 则D∈AE，且E是△ABC的重心， ∴AD=∴OD=
=
=
， ， =
，
O到PA的距离为AD=
∴PA=OD+=2，
∴该三棱锥的体积： V=故选：C．
=
=
．
11．（5分）集合M={（，y）|y=则m的取值范围是（ ） A．（﹣2
，2
） B．[﹣2，2
） C．（﹣2
，﹣2] D．[2，2
）
}，N={（，y）|﹣y+m=0}，若M∩N的子集恰有4个，
【解答】解：根据题意，对于集合M，y=，变形可得2+y2=4，（y≥0），为圆的上半部分，
N={（，y）|﹣y+m=0}，为直线﹣y+m=0上的点，
若M∩N的子集恰有4个，即集合M∩N中有两个元素，则直线与半圆有2个交点， 分析可得：2≤m＜2故选：D．
，
12．（5分）已知函数f（）（∈R）满足f（﹣）=8﹣f（4+），函数g（）=
，若函数f（）
与g（）的图象共有168个交点，记作Pi（i，yi）（i=1，2，…，168），则（1+y1）+（2+y2）+…+（168+y168）的值为（ ） A．2018
B．2017
C．2016
D．1008
【解答】解：函数f（）（∈R）满足f（﹣）=8﹣f（4+）， 可得：f（﹣）+f（4+）=8，即函数f（）关于点（2，4）对称， 函数g（）=
=
=4+
可知图象关于（2，4）对称；
∴函数f（）与g（）的图象共有168个交点即在（2，4）两边各有84个交点． 而每个对称点都有：1+2=4，y1+y2=8， ∵有168个交点，即有84组．
故得：（1+y1）+（2+y2）+…+（168+y168）=（4+8）×84=1008． 故选D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）函数y=ln（2﹣1）的定义域是 {|＞} ． 【解答】解：由对数函数的定义域可得到：2﹣1＞0， 解得：＞，
则函数的定义域为{|＞}． 故答案为：{|＞}．
14．（5分）已知圆C1：+y﹣6﹣7=0与圆C2：+y﹣6y﹣27=0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为 +y﹣3=0 ．
【解答】解：圆C1：2+y2﹣6﹣7=0圆心坐标（3，0）与圆C2：2+y2﹣6y﹣27=0的圆心坐标（0，3），
圆C1：2+y2﹣6﹣7=0与圆C2：2+y2﹣6y﹣27=0相交于A、B两点， 线段AB的中垂线方程就是两个圆的圆心连线方程， 在AB的斜率为：﹣1，所求直线方程为：y=﹣（﹣3）． 即+y﹣3=0．
故答案为：+y﹣3=0．
15．（5分）若函数f（）=e|﹣a|（a∈R）满足f（1+）=f（﹣），且f（）在区间[m，m+1]上是单调函数，则实数m的取值范围是 （﹣∞，﹣]∪[，+∞） ． 【解答】解：函数f（）=e|﹣a|（a∈R）的图象关于直线=a对称， 若函数f（）满足f（1+）=f（﹣）， 则函数f（）的图象关于直线=对称， 即a=，
故函数f（）=e|﹣a|=
2
2
2
2
，
故函数f（）在（﹣∞，]上为减函数，在[，+∞）为增函数， 若f（）在区间[m，m+1]上是单调函数， 则m≥，或m+1≤，
解得：m∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞）， 故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
16．（5分）点B在y轴上运动，点C在直线l：﹣y﹣2=0上运动，若A（2，3），则△ABC的周长的最小值为 3 ．
【解答】解：A关于y轴的对称点M，A关于l：﹣y﹣2=0的对称点D， ∴MB=BA，AC=CD
连接MD交直线l：﹣y﹣2=0与C，交y轴于B，
则此时△ABC的周长的值最小，即DM的长度即为三角形周长的最小值， 由题意及作图知M（2，﹣3）．D（5，0） 由两点距离公式知，DM=故答案为3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知集合A={|﹣2≤≤5}，B={|m+1≤≤2m﹣1} （1）若B=∅，求m的取值范围； （2）若B⊆A，求实数m的取值范围． 【解答】（本小题满分10分）
解：（1）当B=∅时，由题意：m+1＞2m﹣1，解得：m＜2， （2）（i）当B=∅时，由题意：m+1＞2m﹣1， 解得：m＜2，此时B⊆A成立；
（ii）当B≠∅时，由题意：m+1≤2m﹣1， 解得：m≥2，若使B⊆A成立，
应有：m+1≥﹣2，且2m﹣1≤5，解得：﹣3≤m≤3，此时2≤m≤3， 综上，实数m的范围为（﹣∞，3]．
18．（12分）如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的底边长为6、侧棱长为5．求正四棱锥P﹣ABCD的体积和侧面积．
．
=3
．
【解答】解：设底面ABCD的中心为O，边BC中点为E， 连接PO，PE，OE（1分）
在Rt△PEB 中，PB=5，
BE=3，则斜高PE=4 （2分） 在Rt△POE 中，PE=4， OE=3，则高PO=所以S侧面积=
19．（12分）已知直线l经过直线2+y+5=0与﹣2y=0的交点，圆C1：2+y2﹣2﹣2y﹣4=0与圆C2：2+y2+6+2y﹣6=0相较于A、B两点．
（1）若点P（5，0）到直线l的距离为4，求l的直线方程； （2）若直线l与直线AB垂直，求直线l方程． 【解答】（本小题满分12分）
解：（1）设直线l的方程为：2+y﹣5+λ（﹣2y）=0 即：（2+λ）+（1﹣2λ）y﹣5=0 由题意：
整理得：2λ2﹣5λ+2=0 （2λ﹣1）（ λ﹣2）=0 ∴λ=或λ=2
∴直线l的方程为：2+y﹣5+（﹣2y）=0或2+y﹣5+2（﹣2y）=0 即：=2或4﹣3y﹣5=0…（6分）
（2）圆C1：2+y2﹣2﹣4y﹣4=0，即（﹣1）2+（y﹣2）2=9， 故圆心坐标为：C1（1，2）
圆C2：2+y2+6+2y﹣6=0 即（+3）2+（y+1）2=16， 故圆心坐标为：C2（﹣3，﹣1）
直线C1C2与AB垂直，所以直线l与C1C2平行，可知：l的斜率为=
=
=3
（4分）
（6分）
=×4×6×4=48（8分）
由题意：= 解得：λ=
∴直线l的方程为：2+y﹣5+即：3﹣4y﹣2=0．…（12分）
（﹣2y）=0
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （1）证明：MN∥平面PAB； （2）求点M到平面PBC的距离．
【解答】（1）证明：设PB的中点为Q，连接AQ，NQ； ∵N为PC的中点，Q为PB的中点，∴QN∥BC且QN=BC=2， 又∵AM=2MD，AD=3，∴AM=AD=2 且AM∥BC， ∴QN∥AM且QN=AM，
∴四边形AMNQ为平行四边形， ∴MN∥AQ．
又∵AQ⊂平面PAB，MN⊄平面PAB， ∴MN∥平面PAB；
（2）解：在Rt△PAB，Rt△PAC中，PA=4，AB=AC=3，
∴PB=PC=5，又BC=4，取BC中点E，连接PE，则PE⊥BC，且PE=∴S△PBC=×BC×PE=×4×
=2
．
h． ，
=
，
设点M到平面PBC的距离为h，则VM﹣PBC=×S△PBC×h=又VM﹣PBC=VP﹣MBC=VP﹣DBC×S△ABC×PA=××4×
×4=
即h=，得h=．
．
∴点M到平面PBC的距离为为
21．（12分）已知圆C过两点M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圆心在直线2﹣y﹣2=0上 （1）求圆的方程；
（2）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点A、B，若直线l的斜率大于0，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点P（3，﹣1），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【解答】（本小题满分12分）
解：（1）MN的垂直平分线方程为：﹣2y﹣1=0与2﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C（1，0） R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25 ∴圆C的方程为：（﹣1）2+y2=25…（4分）
（2）设直线l的方程为：y﹣5=（+2）即﹣y+2+5=0，设C到直线l的距离为d， 则d=
由题意：d＜5 即：82﹣15＞0 ∴＜0或＞又因为＞0 ∴的取值范围是（
，+∞） …（8分）
（3）设符合条件的直线存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（﹣3）即：+y+﹣3=0 ∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴﹣2=0 即=2 ∵=2＞
故符合条件的直线存在，l的方程：+2y﹣1=0…（12分）
22．（12分）已知幂函数h（）=2﹣2﹣
（1）求m的值，并确定f（）的解析式；
（2）对于任意∈[1，2]，都存在1，2∈[1，2]，使得f（）≤f（1），g（）≤g（2），若f（1）=g（2），求实数t的值；
（3）若2h（2）+λh（）≥0对于一切∈[1，2]成成立，求实数λ的取值范围． 【解答】（本小题满分10分）
解：（1）由幂函数的定义可知：m2+m﹣1=1 即m2+m﹣2=0， 解得：m=﹣2，或m=1，
∵f（）在（0，+∞）上为增函数，∴﹣2m2+m+3＞0，解得﹣1＜m＜ 综上：m=1
∴f（）=2…（4分） （2）g（）=﹣2+2||+t
据题意知，当∈[1，2]时，fma（）=f（1），gma（）=g（2） ∵f（）=2在区间[1，2]上单调递增， ∴fma（）=f（2）=4，即f（1）=4
又∵g（）=﹣2+2||+t=﹣2+2+t=﹣（﹣1）2+1+t
∴函数g（）的对称轴为=1，∴函数y=g（）在区间[1，2]上单调递减， ∴gma（）=g（1）=1+t，即g（2）=1+t， 由f（1）=g（2），得1+t=4，∴t=3…（8分）
（3）当∈[1，2]时，2h（2）+λh（）≥0等价于2（2﹣2）+λ（2﹣2）≥0 即λ（22﹣1）≥﹣（24﹣1），∵22﹣1＞0，∴λ≥﹣（22+1） 令（）=﹣（22+1），∈[1，2]，下面求（）的最大值； ∵∈[1，2]∴﹣（22+1）∈[﹣17，﹣5∴ma（）=﹣5 故λ的取值范围是[﹣5，+∞） …（12分）
2
﹣2
﹣
在（0，+∞）上为增函数，g（）=﹣2+2||+t，
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