牛吃草问题经典例题

牛吃草问题经典例题

Revised by Hanlin on 10 January 2021

英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？ 解题关键：

牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：

1、求出每天长草量； 2、求出牧场原有草量；

3、求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量--生长的草量=消耗原有草量)； 4、最后求出可吃天数

想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。

解：新长出的草供几头牛吃1天： （10×22-16×1O）÷(22-1O） =（220-160）÷12 =60÷12

=5（头）

这片草供25头牛吃的天数： （10-5）×22÷（25-5） =5×22÷20 =5.5（天）

答：供25头牛可以吃5.5天。

---------------------------------------------------------------- “一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天”

这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。

例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？

分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。

设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。 200－150＝50（份），20—10＝10（天），

说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草 （l0—5）×20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。

现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。 所以，这片草地可供25头牛吃5天。 在例1的解法中要注意三点：

（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。

（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。

（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。

例2一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？

分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草” 进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似。

出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。

设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在8-5=3（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是 (16-15)/3=1/3(份)

假设让1/3个出水管专门排进水管新进得水,两相抵消,其余得出水管排原有得水,可以求出原有水得水量为:(2-1/3)×8=40/3(份)或(3-1/3)×5=40/3(份)

解:设出水管每分钟排出得水为1份,每分钟进水量(2×8-3×5)/(8-5)=1/3(份) 进水管提前开了(2-1/3)×8÷1/3=40(分) 答：出水管比进水管晚开40分钟。

例3由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。

设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草

（20＋10）×5＝150（份）。

由150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。

例4自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？

分析：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。

上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5＝100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（级），女孩比男

孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有 （20＋10）×5＝150（级）。 解：自动扶梯每分钟走

（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级）， 自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。 答：扶梯共有150级。

例5某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。

旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。

设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客

（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。

假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为

（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。

同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要

60÷（7-2）=12（分）。

例6有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

分析与解：例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。 ［5，6，8］＝120。

因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天。

因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。

120÷8＝15，问题变为：120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？ 因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：

“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天”

这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有

（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草（264—180）×10＝840（份）。可供285头牛吃 840÷（285—180）＝8（天）。 所以，第三块草地可供19头牛吃8天。

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牛顿在其着作《普遍的算术》(1707年出版)中提出如下问题：＂12条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草；21条公牛在9星期吃掉10由格尔的牧草，问多少条公牛在18个星期内吃掉20由格尔的牧草＂

（由格尔是古罗马的面积单位，1由格尔约等于2,500平方米）。这个着名的公牛问题叫做“牛顿问题”。

牛顿的解法是这样的：在牧草不生产的条件下，如果12条公牛在四星期内吃掉三又三分之一由格尔的牧草、则按比例63头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内吃掉10由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以21头公牛９星期只吃掉10由格尔牧草，即在随后的五周内，在10由格尔的草地上新长的牧草足够21-16=5头公牛吃9星期，或足够5/2头公牛吃18个星期，由此推得，14个星期（即18个星期减去初的

四个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14=5/2：7。前已算出，如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供八头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长，故应加上7头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由此按比例可算出。24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期。

牛顿还给出代数解法：他设1由格尔草地一个星期内新长的牧草相当于面积为y由格尔，由于每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积看成是相等的， 根据题意，设若所求的公牛头数为x，则（10/3+10/3）*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x

解得x=36即36条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。

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有一片牧场，已知饲牛27头，6天把草吃尽。饲牛23头，则9天吃尽。如果饲牛21头，问几天吃尽？

解：假设1头牛1天吃的草为1.

⑴每天新长的草：（23×9-27×6）÷（9-6）=15 ⑵牧场原有的牧草：27×6-15×6=72 ⑵21头牛几天把草吃尽：72÷（21-15）=12

计算这种牛顿问题，必须明确一个道理，就是牧场上的草不是固定不变的，而是在不断地生长，计算时要把这一点考虑进去。（江苏人民出版社《小学数学袖珍手册》） 牛顿问题是牛顿在1707年提出的着名命题，其思想方法在实践中有重要的应用。

没看吧主的解，试做了一下：

设原有草X，每天长草Y，每天每牛吃草Z， 得方程组：1、X+6Y=Z*27*6 2、X+9Y=Z*23*9 3、X+Y=Z*21*

由1、2得Y=15Z，X=72Z，代入3， 得到:72Z+15Z=21Z 得到: =12.

小明步行从甲地出发到乙地，李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48分钟后两人相遇，李刚到达甲地后马上返回乙地，在第一次相遇后16分钟追上小明.如果李刚不停地往返于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时，李刚共追上小明几次？

试解：根据题意，设李速度为X，小明速度为Y，得到：

16*（X-Y）=2*48Y，得：X=7Y，即李的速度是小明的7倍，换句话说，小明走完全程时，李刚走完了七个全程的距离，到达甲地，可知，中途和小明相会7次，其中“追上”3次，

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牛吃草问题

1.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？

解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：某个时间期限前草场上原有的草量；这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。 假设一头牛一周吃草一份

则23头牛9周吃的总草量：1×23×9=207份 27头牛6周吃的总草量：1×27×6=162份

所以每周新生长的草量：（207-162）÷（9-6）=15份

牧场上原有草量：1×27×6-15×6=72份，（或1×23×9-15×9=72份）

牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分：一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草.

假设有15头牛专吃新生长的草，另一部分21-15=6头牛专去吃原有的草 则牧场上原有的的草够吃72÷6=12周 即这个牧场上的草够21头牛吃12周.

2.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。已知某草地上的草可供20头牛吃5天，或供15头牛吃6天。那么它可供多少头牛吃10天？

假设一头牛一天吃草一份

则20头牛5天吃的总草量：1×20×5=100份 15头牛6天吃的总草量：1×15×6=90份 所以每天枯草量：（100-90）÷（6-5）=10份 牧场上原有草量：1×20×5+10×5=150份 牧场上的草可供多少头牛吃10天？ （150-10×10）÷10=5头牛

3.一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15头牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量与20头牛每天吃草量相等。

所以问题可转化为：这片牧草可供16头牛吃20天，或者供20头牛吃12天.那么（10+15）=25头牛可以吃多少天 设一牛一天吃草一份

则每天长草（1×16×20-1×20×12）÷（20-12）=10份 原有草1×16×20-10×20=120份

假设25头牛中，10头牛专吃每天新长的10份草，另外的25-10=15头牛专吃原有草

则120÷15=8天

即这块草场可供10头牛和60只羊吃8天。

4.一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果12人淘水，3小时淘完；如5人淘水，10小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？ 设1人1小时的淘水量为“1份” 则12人3小时淘水：1×12×3=36份 5人10小时淘水：1×5×10=50份

所以每小时漏进水：（50-36）÷（10-3）=2份 淘水时已漏进的水：36-2×3=30份

所以如果要求2小时淘完，要安排（30+2×2）÷2=17人淘水

5.一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？ 设1台抽水机连1天抽水1份

则5台抽水机连续20天抽水5×20=100份 6台抽水机连续15天抽水6×15=90份 每天进水（100-90）÷（20-15）=2份 原有的水100-2×20=60份

6台同样的所以若6天抽完，共需抽水机（60+2×6）÷6=12台

6.有三块草地，面积分别为5、6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？

将三块草地的面积统一起来： 即[5，6，8]=120

第一块草地可供11头牛吃10天，120/5=24，变为120公顷草地可供11×24=264头牛吃10天

第二块草地可供12头牛吃14天，120/6=20，变为120公顷草地可供12×20=240头牛吃14天

120/8=15，问题变为120公顷草地可供19×15=285头牛吃多少天 于是，假设一头牛一天吃草一份

所以120公顷草地每天新生长的草：（240×14-264×10）÷（14-10）=180份 120公顷草地原有草：264×10-180×10=840份 所以可供285头牛吃840÷（285-180）=8天 即第三块草地可供19头牛吃8天

7.经测算，地球上资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生资源速度一定，那么为满足人类不断发展需要，地球最多能养活多少亿人？

设1亿人1年消费资源1份

则100亿人生活100年消费资源100*100=10000份 80亿人生活300年消费资源80*300=24000份

所以每年新生资源（24000-10000）÷（300-100）=70份

为满足人类不断发展需要，应使每年消费的总资源不超过每年新生资源 所以地球最多能养活70÷1=70亿人

8.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟，如果同时开7个检票口，那么需多少分钟？ 假设1个检票口1分钟检票1组 则4个检票口30分钟检票4*30=120组 5个检票口20分钟检票5*20=100组

所以每分钟来的旅客：（120-100）÷（30-20）=2组 开始检票前已来旅客：120-2×30=60组

所以如果同时开7个检票口，那么需60÷（7-2）=12分钟

9.画展9点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个检票口，9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达时间是8点多少分？

假设1个入口1分钟进入人数为1组 则3个入口9分钟进入人数3*9=27组 5个入口5分钟进入人数5*5=25组

所以每分钟来的观众人数：（27-25）÷（9-5）=0.5组 开门前已来的观众：25-0.5*5=22.5组

所以第一个观众到达时间是9点-（22.5÷0.5）分=8点15分

10.牧场上有一片匀速生长的草地，可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头？ 设1头牛1天吃草1份

则17头牛30天吃草：1×17×30=510份 19头牛24天吃草：1×19×24=456份

所以每天新生草：（510-456）÷（30-24）=9份 牧场上原有草：510-9×30=240份

假设那4头牛不卖掉，必须另备两天的草1×4×2=8份 所以这群牛原来有：[240+9×（6+2）+8]÷（6+2）=40头

11.自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？

男孩5分钟走了20×5=100级 女孩6分钟走了15×6=90级

女孩比男孩少走了100-90=10级，多用了6-5=1分钟，说明扶梯1分钟走10级 因为男孩用了5分钟到达楼上 该扶梯共有20×5+10×5=150级台阶