中考几何证明之四边形
一．解答题（共18小题）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，延长BE至F，使EF＝BE，连接AF，CF，BF与AC交于点G，连接DG． （1）求证：四边形ADCF是矩形． （2）若AB＝5，BC＝6，求线段DG的长．
2．如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论． （2）连接DF，若BC＝
，求DF的长．
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3．（1）如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，点F为边CD上一动点，作∠FOE＝90°OE交BC于点E，若正方形ABCD的面积为16，则四边形ECFO的面积为 ；
（2）若将正方形改为矩形，且AB＝4，BC＝6，其他条件不变，试探究OE：OF的值是否发生改变，若不变，请求出该值，若变化，请说明理由；
（3）若将正方形改为菱形，且∠BAD＝60°，∠EOF＝120°，其他条件不变，试探究CE、CF与BC之间的数量关系，请写出你的结论并证明．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝
，BD＝2，求OE的长．
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6．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN． （1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
7．已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD． （1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形； （2）求四边形ACDB的面积．
，
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8．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
9．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC； （2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝
AG．
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10．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求
的值．
11．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
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12．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F． （1）求证：CM＝EM；
（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．
13．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF+OB＝9，求PQ的长．
14．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的
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相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形． （1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形； （2）若菱形ABEF的周长为16，AE＝4
，求∠C的大小．
15．如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G． （1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK＝BG； （2）若KD＝KG，BC＝4﹣①求KD的长度；
②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD＝m，当S△PMN＝
时，求m的值．
．
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16．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF； （2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2＝ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
17．如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF＝AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G． （1）求证：FG＝BE；
（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG； （3）当
＝时，求sin∠CFE的值．
18．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，
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分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF． （1）求证：△OAE≌△OBG；
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）试求：
的值（结果保留根号）．
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中考几何证明之四边形
参考答案与试题解析
一．解答题（共18小题）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，延长BE至F，使EF＝BE，连接AF，CF，BF与AC交于点G，连接DG． （1）求证：四边形ADCF是矩形． （2）若AB＝5，BC＝6，求线段DG的长． 【解答】（1）证明：∵点E是AD中点， ∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（SAS）， ∴AF＝DB，∠AFE＝∠DBE， ∴AF∥DB，
∵AB＝AC，点D是BC中点， ∴DB＝DC，AD⊥BC， ∴AF＝DC，∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形；
（2）解：过G作GH⊥CD于H，如图所示： 则GH∥AD，
∵AB＝AC＝5，点D是BC中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3， ∴AD＝
＝
＝4，
由（1）得：AF＝DC＝BD＝3＝BC，AF∥BC， ∴△AGF∽△CGB，
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∴＝＝，
∴AG＝CG， ∴AG＝AC＝， ∴CG＝AC﹣CG＝∵GH∥AD， ∴△CGH∽△CAD， ∴
＝
＝
＝，
，
∴GH＝AD＝，CH＝CD＝2， ∴DH＝CD﹣CH＝1， ∴DG＝
＝
＝
．
2．如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论． （2）连接DF，若BC＝
，求DF的长．
【解答】解：（1）四边形CEDG是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点， ∴GB＝GC＝GD， ∵CF＝GC，
∴GB＝GC＝GD＝CF， ∵四边形DCFE是菱形， ∴CD＝CF＝DE，DE∥CG，
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∴DE＝GC，
∴四边形CEDG是平行四边形， ∵GD＝GC，
∴四边形CEDG是菱形； （2）如图所示：
方法1：∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF， ∴△CDG是等边三角形，
∴CD＝BG，GCD＝∠DGC＝60°， ∴∠DCF＝∠BGC＝120°， ∴△BGC≌△DCF（SAS）， ∴DF＝BC＝
．
方法：2：过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，如图所示：
∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF， ∴CH＝BH＝BC＝∴∠GCD＝60°，
∴∠DCF＝180°﹣∠GCD＝180°﹣60°＝120°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD＝90°，
∴∠GCH＝90°﹣60°＝30°，
，△CDG是等边三角形，
∴CG＝＝＝1，
∴CD＝1，
∵四边形DCFE是菱形，
∴DN＝FN，CN⊥DF，∠DCE＝∠FCE＝∠DCF＝×120°＝60°， 在Rt△CND中，DN＝CD•sin∠DCE＝1×sin60°＝1×
＝
，
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∴DF＝2DN＝2×＝．
方法3：过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，如图所示；
∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF， ∴CH＝BH＝BC＝
，△CDG是等边三角形，
∴∠GDC＝60°，GD＝CD， 在Rt△BCD中，∵BC＝∴CD＝
BC＝1，
，∠GDC＝60°，
∴GD＝1， ∵GD＝GC＝CF， ∴CD＝GF，
∴△GDF是直角三角形， ∴DF＝GD×tan∠DGC＝1×
＝
．
3．（1）如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，点F为边CD上一动点，作∠FOE＝90°OE交BC于点E，若正方形ABCD的面积为16，则四边形ECFO的面积为 4 ；
（2）若将正方形改为矩形，且AB＝4，BC＝6，其他条件不变，试探究OE：OF的值是否发生改变，若不变，请求出该值，若变化，请说明理由；
（3）若将正方形改为菱形，且∠BAD＝60°，∠EOF＝120°，其他条件不变，试探究CE、CF与BC之间的数量
关
系
，
请
写
出
你
的
结
论
并
证
明．
【解答】解：（1）∵正方形的对角线AC，BD相交于点O，
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∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°， ∵∠FOE＝90°＝∠BOC，
∴∠FOE﹣∠COE＝∠BOC﹣∠COE， ∴∠BOE＝∠COF， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴S△BOE＝S△COF，
∵正方形的对角线AC，BD相交于点O， ∴S△BOC＝S正方形ABCD， ∵正方形ABCD的面积为16， ∴S△BOC＝4，
∴S四边形ECFO＝S△COF+S△COE＝S△BOE+S△COE＝S△BOC＝4， 故答案为4；
（2）OE：OF的值是不发生改变，其值为2：3， 理由：如图1，过点O作OM⊥BC于M，ON⊥CD于N， ∴∠OME＝∠ONF＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°＝∠OME＝∠ONF， ∴四边形OMCN是矩形， ∴∠MON＝90°， ∵∠FOE＝90°， ∴∠MON＝∠FOE， ∴∠MOE＝∠NOF， ∴△MOE∽△NOF， ∴
，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵∠OMC＝90°， ∴∠ABC＝∠OMC， ∴OM∥AB，
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∵O是矩形ABCD的对角线的交点， ∴OC＝OA，
∴OM是△ABC的中位线， ∴OM＝AB＝2， 同理：ON＝3， ∴
（3）CE+CF＝2CG＝BC，
证明：如图2，过点O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠BCD＝60°，
∵AC是菱形ABCD的对角线， ∴∠ACB＝∠ACD＝30°， ∴OG＝OH，
∵OG⊥BC，OH⊥CD， ∴∠OGC＝∠OHC＝90°，
在四边形OGCH中，∠GOH＝360°﹣∠OGC﹣∠OHC﹣∠BCD＝120°， ∵∠EOF＝120°， ∴∠EOF＝∠GOH，
∴∠EOF﹣∠EOH＝∠GOH﹣∠EOH， ∴∠GOE＝∠HOF， ∴△OGE≌△OHF（ASA）， ∴EG＝FH，
∴CE+CF＝CG﹣EG+CH+FH＝CG+CH， 在Rt△OCG和Rt△COH中，
，
∴Rt△OCG≌Rt△COH（HL）， ∴CG＝CH， ∴CE+CF＝2CG，
＝；
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在Rt△BOC中，OC＝BC•cos∠ACB＝BC•cos30°＝在Rt△OGC中，CG＝OC•cos30°＝∴CG＝
×
BC＝BC，
OC，
BC，
∴CE+CF＝2CG＝BC．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝
，BD＝2，求OE的长．
【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC，
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∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴▱ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝2， ∴OB＝BD＝1， 在Rt△AOB中，AB＝∴OA＝
∴OE＝OA＝2．
6．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN． （1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°， ∴∠OAM＝∠OBN＝135°， ∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠AOM＝∠BON， ∴△OAM≌△OBN（ASA）， ∴OM＝ON；
（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，
，OB＝1，
＝2，
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∵正方形的边长为4， ∴OH＝HA＝2， ∵E为OM的中点， ∴HM＝4， 则OM＝∴MN＝
＝2OM＝2
， ．
7．已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD． （1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形； （2）求四边形ACDB的面积．
【解答】（1）证明：∵由已知得：AC＝CD，AB＝DB， 由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线， ∴∠ACB＝∠DCB， 又∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠DCB， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴AC＝AB，
又∵AC＝CD，AB＝DB， ∴AC＝CD＝DB＝BA， ∴四边形ACDB是菱形，
∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上， ∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）解：设菱形ACDB的边长为x，
第18页（共35页）
，
∵四边形ACDB是菱形， ∴AB∥CE，
∴∠FAB＝∠FCE，∠FBA＝∠E， ∴△FAB∽△FCE ∴即
， ，
解得：x＝4，
过A点作AH⊥CD于H点，
∵在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，sin∠ACE＝∴AH＝AC×sin∠ACE＝4×
＝2
，
．
，AC＝4，
∴四边形ACDB的面积为：CD×AH＝
8．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，E是BC的中点， ∴AE＝CE＝BC， ∴四边形AECD是菱形；
（2）过A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴AC＝∵∴AH＝
，
，
，
第19页（共35页）
∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形， ∴CD＝CE＝5，
∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF， ∴EF＝AH＝
．
法二：连接ED交AC于O， 由题意得：AC＝8，计算得ED＝6．
．
计算得5EF＝6×4， EF＝
．
9．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC； （2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝
AG．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ∴∠EAF＝∠DAB＝90°， 又∵AE＝AD，AF＝AB， ∴△AEF≌△ADB（SAS）， ∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°， 即∠EGB＝90°， 故BD⊥EC，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF， ∴△AEF∽△DCF， ∴
，
即AE•DF＝AF•DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，
第20页（共35页）
解得∴AE＝
或．
（舍去），
（3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG， ∴△AEP≌△ADG（SAS）， ∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°， ∴△PAG为等腰直角三角形， ∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝
AG．
10．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求
的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处， ∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°， ∵BC＝2AB，
第21页（共35页）
∴BF＝2AB， ∴∠AFB＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°， ∴∠CBE＝∠FBC＝15°；
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处， ∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF， 又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF， ∴△FAB∽△EDF， ∴
，
∴AF•DF＝AB•DE， ∵AF•DF＝10，AB＝5， ∴DE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3， ∴EF＝3， ∴DF＝∴AF＝
＝2
＝，
＝3
． ＝
，
∴BC＝AD＝AF+DF＝2
（3）过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF＝AN+FD， ∴NF＝AD＝BC， ∵BC＝BF，
第22页（共35页）
∴NF＝BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°， ∴△NFG∽△BFA， ∴
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF， ∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x， 设FG＝y，则AF＝2y， ∵AB2+AF2＝BF2，
∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2， 解得y＝x．
∴BF＝BG+GF＝2x+x＝∴
＝．
x．
，
11．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB＝AF；
（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFC＝∠DCG，
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD， ∴△AGF≌△DGC， ∴AF＝CD， ∴AB＝AF．
第23页（共35页）
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形． 理由：∵AF＝CD，AF∥CD， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD＝120°， ∴∠FAG＝60°， ∵AB＝AG＝AF， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG＝GF， ∵△AGF≌△DGC， ∴FG＝CG，∵AG＝GD， ∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
12．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F． （1）求证：CM＝EM；
（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM． 【解答】（1）证明：如图1中，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DCB＝90°， ∵DM＝MB，
∴CM＝DB，EM＝DB， ∴CM＝EM．
（2）解：∵∠AED＝90°，∠A＝50°，
第24页（共35页）
∴∠ADE＝40°，∠CDE＝140°， ∵CM＝DM＝ME，
∴∠MCD＝∠MDC，∠MDE＝∠MED， ∴∠CME＝360°﹣2×140°＝80°， ∴∠EMF＝180°﹣∠CME＝100°．
（3）证明：如图2中，设FM＝a．
∵△DAE≌△CEM，CM＝EM，
∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，∠AED＝∠CME＝90° ∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形， ∴∠DEM＝60°，∠MEF＝30°， ∴AE＝CM＝EM＝∵CN＝NM， ∴MN＝∴∴
＝＝
a， ，，
＝
， a，EF＝2a，
∴EM∥AN．
（也可以连接AM利用等腰三角形的三线合一的性质证明）
13．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF+OB＝9，求PQ的长．
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【解答】（1）证明：∵PQ垂直平分BE， ∴PB＝PE，OB＝OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠PEO＝∠QBO， 在△BOQ与△EOP中，
，
∴△BOQ≌△EOP（ASA）， ∴PE＝QB， 又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形， 又∵QB＝QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点， ∴AE+BE＝2OF+2OB＝18， 设AE＝x，则BE＝18﹣x，
在Rt△ABE中，62+x2＝（18﹣x）2， 解得x＝8， BE＝18﹣x＝10， ∴OB＝BE＝5，
设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y， 在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2，解得y＝在Rt△BOP中，PO＝∴PQ＝2PO＝
．
＝
，
，
14．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形． （1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
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（2）若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．
【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF， ∴EB＝EF， ∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB， ∴BE＝AB＝AF． ∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图，连接BF，交AE于G． ∵菱形ABEF的周长为16，AE＝4
，
，∠BAF＝2∠BAE，AE⊥BF．
∴AB＝BE＝EF＝AF＝4，AG＝AE＝2在直角△ABG中，∵∠AGB＝90°， ∴cos∠BAG＝
＝
＝
，
∴∠BAG＝30°，
∴∠BAF＝2∠BAE＝60°． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠BAF＝60°．
15．如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，
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直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G． （1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK＝BG； （2）若KD＝KG，BC＝4﹣①求KD的长度；
②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD＝m，当S△PMN＝
时，求m的值．
．
【解答】解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC ∴∠KDO＝∠GBO，∠DKO＝∠BGO ∵点O是BD的中点 ∴DO＝BO
∴△DOK≌△BOG（AAS）
②∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC 又∵AF平分∠BAD ∴∠BAF＝∠BFA＝45° ∴AB＝BF
∵OK∥AF，AK∥FG ∴四边形AFGK是平行四边形 ∴AK＝FG ∵BG＝BF+FG ∴BG＝AB+AK
（2）①由（1）得，四边形AFGK是平行四边形 ∴AK＝FG，AF＝KG
又∵△DOK≌△BOG，且KD＝KG
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∴AF＝KG＝KD＝BG
设AB＝a，则AF＝KG＝KD＝BG＝∴AK＝4﹣∴4﹣解得a＝∴KD＝
②解法一：过点G作GI⊥KD于点I 由（2）①可知KD＝AF＝2 ∴GI＝AB＝
＝
﹣ a＝2 ﹣a＝
a a﹣a
a，FG＝BG﹣BF＝a﹣a
∴S△DKG＝×2×∵PD＝m ∴PK＝2﹣m
∵PM∥DG，PN∥KG
∴四边形PMGN是平行四边形，△DKG∽△PKM∽△DPN ∴
，即S△DPN＝（）2）2
同理S△PKM＝（∵S△PMN＝
∴S平行四边形PMGN＝2S△PMN＝2×
又∵S平行四边形PMGN＝S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM ∴2×
＝
﹣（）2
﹣（
）2
，即m2﹣2m+1＝0
解得m1＝m2＝1 ∴当S△PMN＝
时，m的值为1
解法二：如图，过P作PH⊥KG于H，则△PKH为等腰直角三角形 ∵KP＝DK﹣DP＝2﹣m ∴PH＝sin45°×KP＝∵PN∥KG ∴∠PND＝∠KGD
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×（2﹣m）
又∵KD＝KG ∴∠KGD＝∠PDN ∴∠PND＝∠PDN ∴PN＝PD＝m ∴当S△PMN＝即m×解得m＝1 即当S△PMN＝
时，m的值为1 时，PN×PH＝
×（2﹣m）＝
16．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF； （2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2＝ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
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【解答】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG， ∴AF＝AG，∠FAG＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠GAE＝45°， 在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；
（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接GM． 则△ADF≌△ABG，DF＝BG． 由（1）知△AEG≌△AEF， ∴EG＝EF． ∵∠CEF＝45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形， ∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝∴a﹣BE＝a﹣DF， ∴BE＝DF，
∴BE＝BM＝DF＝BG， ∴∠BMG＝45°，
∴∠GME＝45°+45°＝90°， ∴EG2＝ME2+MG2， ∵EG＝EF，MG＝∴EF2＝ME2+NF2；
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DF，
BM＝DF＝NF，
（3）解：EF2＝2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点， 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连接HM，HE． 由（1）知△AEH≌△AEF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2＝EH2， 即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2＝EH2
又∴EF＝HE，DF＝GH＝GM，BE＝BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2＝EF2， 即2（DF2+BE2）＝EF2
17．如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF＝AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G． （1）求证：FG＝BE；
（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG； （3）当
＝时，求sin∠CFE的值．
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【解答】（1）证明：∵EP⊥AE， ∴∠AEB+∠GEF＝90°， 又∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠GEF＝∠BAE， 又∵FG⊥BC，
∴∠ABE＝∠EGF＝90°， 在△ABE与△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS）， ∴FG＝BE；
（2）证明：由（1）知：BC＝AB＝EG， ∴BC﹣EC＝EG﹣EC， ∴BE＝CG， 又∵FG＝BE， ∴FG＝CG， 又∵∠CGF＝90°，
∴∠FCG＝45°＝∠DCG， ∴CF平分∠DCG；
（3）解：如图，作CH⊥EF于H，
∵∠HEC＝∠GEF，∠CHE＝∠FGE＝90°，∴△EHC∽△EGF， ∴
＝
，
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根据＝，设BE＝3a，则EC＝a，EG＝4a，FG＝CG＝3a，
a，
∴EF＝5a，CF＝3∴
＝
，HC＝a，
＝
．
∴sin∠CFE＝
18．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF． （1）求证：△OAE≌△OBG；
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）试求：
的值（结果保留根号）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠AOE＝∠BOG＝90°． ∵BH⊥AF， ∴∠AHG＝90°，
∴∠GAH+∠AGH＝90°＝∠OBG+∠AGH， ∴∠GAH＝∠OBG，即∠OAE＝∠OBG． ∴在△OAE与△OBG中，∴△OAE≌△OBG（ASA）；
（2）四边形BFGE是菱形，理由如下：
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，
∵在△AHG与△AHB中，
∴△AHG≌△AHB（ASA）， ∴GH＝BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线， ∴EG＝EB，FG＝FB．
∵∠BEF＝∠BAE+∠ABE＝67.5°，∠BFE＝90°﹣∠BAF＝67.5° ∴∠BEF＝∠BFE ∴EB＝FB，
∴EG＝EB＝FB＝FG， ∴四边形BFGE是菱形；
（3）设OA＝OB＝OC＝a，菱形GEBF的边长为b． ∵四边形BFGE是菱形， ∴GF∥OB，
∴∠CGF＝∠COB＝90°， ∴∠GFC＝∠GCF＝45°， ∴CG＝GF＝b，
（也可由△OAE≌△OBG得OG＝OE＝a﹣b，OC﹣CG＝a﹣b，得CG＝b） ∴OG＝OE＝a﹣b，在Rt△GOE中，由勾股定理可得：2（a﹣b）2＝b2，求得 a＝∴AC＝2a＝（2+∵PC∥AB， ∴△CGP∽△AGB， ∴
＝
＝
＝
﹣1，
）b，AG＝AC﹣CG＝（1+
）b
b
由（1）△OAE≌△OBG得 AE＝GB， ∴
＝
＝
﹣1，即
＝
﹣1．
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