一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把答案填在答题卷相应位置。
1．设集合A＝{x|x2+4x﹣5≤0}，B＝{x|lnx＜1}，则A∩B＝（ ） A．（0，5]
B．（0，e）
C．（0，1]
D．（﹣1，5）
2．1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ） A．充分条件 C．充要条件
B．必要条件
D．既不充分也不必要条件
＝（ ）
3．已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）﹣g（x）＝ex，则
A． B． C． D．
4．M是边CD的中点，N是AM的一个三等分点如图，在平行四边形ABCD中，（|AN|＜|NM|），若存在实数λ和μ，使得
，则λ+μ＝（ ）
A． B． C． D．
5．若单调递减的等差数列{an}中的两项a3，a9是方程x2﹣10x+9＝0的两个根，设数列{an}的前n项和为Sn，则使得Sn＜0的最小n的值为（ ） A．10
6．已知锐角α，β满足A．4
B．
B．18
，则
C．8 C．19
D．20
的最小值为（ ） D．
7．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2021年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自已经营的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求．据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底交完房租800元和水电费400元后，余款（贷款额+利润﹣房租﹣水电费）作为资金全部用于下一个月再进货，
如此继续，预计2021年小王的农产品加工厂到12月月底的净余款（扣除贷款额）为（ ）（参考数据：1.211＝7.5，1.212＝9） A．36000 8．已知函数
b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
B．32000
，设
C．26000 ，
D．25000 ，
，则a，
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分；部分选对的得2分；有选错的得0分，把答案填在答题卷相应位置，
9．已知向量＝（﹣3，2），＝（﹣1，0），则下列选项正确的有（ ） A．C．10．已知函数移
＝4
B．D．
的最小正周期为
，将f（x）的图象向左平
个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ） A．g（0）＝0 B．g（x）在
上单调递减
C．g（x）的图象关于x＝﹣D．g（x）在
对称
上的最大值是1
11．已知数列{an}满足2a1+22a2+•••+2nan＝n（n∈N*），bn＝，Sn为数
列{bn}的前n项和．若对任意实数λ，都有Sn＜λ成立，则实数λ的可能取值为（ ）A．1
B．2
C．3
D．4
12．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD上一个动点，设正确的有（ ）
，
＝y，对于函数y＝f（x），下列四个结论
A．当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4] B．∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立
C．∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4 D．∃a∈（0，+∞），使得函数f（x）的最小值为负数
三、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷相应位置. 13．函数f（x）＝x﹣3+lgx的零点所在区间为（n，n+1）（n∈N*），则n＝ ． 14．已知复数z1＝1﹣i，|z2|＝3，那么|z1﹣z2|的最大值是 ． 15．若对任意的非零实数a，均有直线l：y＝ax+b与曲线点 ．
16．拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若∠BAC＝60°，DF＝2破仑定理可求得AB+AC的最大值 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卷相应位置。
17．已知递增等比数列{an}中，a1＝a，a2＝b，a3＝c，其中a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且cosB＝． （1）求数列{an}的公比q；
（2）若数列{an}首项a1＝tan67.5°﹣
，求数列{a2n﹣1}的前n项和Sn．
，利用拿
相切，则直线l必过定
18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分期付款期数ξ的分布列为
ξ P
1 0.3
2 0.15
3 0.15
4 0.2
5 0.2
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为150元；分2期或3期付款，其利润为
200元；分A期或5期付款，其利润为250元，设η表示经销一件该商品的利润． （1）记事件A为“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，求P（A）；（2）求η的分布列及期望Eη．
19．已知数列{an}和{bn}均为正项数列，数列{an}的前n项和为Sn，且满足6Sn＝an2+3an，an＝6log3bn．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）将{an}，{bn}中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，求数列{cn}的前100项和．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为△ABC的内心，延长线段AI交BC于点D，此时（2）若∠ADB＝
．（1）求，求
．
；
21．已知椭圆C：的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定
点C（0，2），△ABC的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点． （1）求椭圆C的方程；
（2）试探究M，N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．
22．已知函数f（x）＝lnx+ax+（1）求函数f（x）的单调区间；
．
（2）当a＝﹣1时，g（x）＝f（x）+（x﹣2）ex﹣，记函数y＝g（x）在最大值为m，证明：（m+4）（m+3）＜0．
上的
参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把答案填在答题卷相应位置。
1．设集合A＝{x|x2+4x﹣5≤0}，B＝{x|lnx＜1}，则A∩B＝（ ） A．（0，5]
B．（0，e）
C．（0，1]
D．（﹣1，5）
【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合A，由对数不等式的解法求出集合B，再由集合交集的定义求解即可．
解：因为集合A＝{x|x2+4x﹣5≤0}＝{x|﹣5≤x≤1}，B＝{x|lnx＜1}＝{x|0＜x＜e}， 则A∩B＝（0，1]． 故选：C．
2．1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ） A．充分条件 C．充要条件
B．必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】利用逆否命题与原命题的关系，先写出“没有共产党就没有新中国”的逆否命题，结合充分条件与必要条件的定义，从而得到答案．
解：“没有共产党就没有新中国”，故它的逆否命题为“有新中国就有共产党”， 故“有共产党”是“有新中国”的必要条件． 故选：B．
3．已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）﹣g（x）＝ex，则
＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，运用特殊值法以及函数奇偶性的性质可得关于f（1）、g（1）的关系式，解可得f（1）、g（1）的值，计算可得答案．
解：根据题意，f（x）﹣g（x）＝ex，则f（1）﹣g（1）＝e，①，
f（﹣1）﹣g（﹣1）＝﹣f（1）﹣g（1）＝e﹣1＝，变形可得f（1）+g（1）＝﹣，②
联立①②可得：f（1）＝，g（1）＝﹣，
则有＝﹣＝，
故选：C．
4．M是边CD的中点，N是AM的一个三等分点如图，在平行四边形ABCD中，（|AN|＜|NM|），若存在实数λ和μ，使得
，则λ+μ＝（ ）
A． B．
＝
﹣
＝
C．﹣
＝（
+
D．）﹣
+
）
【分析】根据题意，有﹣
＝﹣
+
＝（
，从而可确定λ与μ的值，可由计算出λ+μ． ﹣
，又N是AM的一个三等分点（|AN|＜|NM|），所以+
）﹣
＝
，
解：根据题意，＝则
＝
＝＝（
﹣
＝（， +
；由于在平行四边形ABCD中，M是边CD的中
点，有所以
）﹣＝﹣+，所以λ+μ＝﹣+＝﹣．
故选：C．
5．若单调递减的等差数列{an}中的两项a3，a9是方程x2﹣10x+9＝0的两个根，设数列{an}的前n项和为Sn，则使得Sn＜0的最小n的值为（ ） A．10
B．18
C．19
D．20
，
【分析】根据题意可得，结合{an}是单调递减的等差数列可得以
从而求解出数列{an}的首项a1与d即可得到Sn，进一步利用Sn＜0即可求出使得Sn＜0
的最小值n． 解：根据题意，
，又{an}是单调递减的等差数列，
所以，设等差数列{an}的公差为d，则，解得，
所以an＝+（n﹣1）×（﹣）＝﹣n+13，
﹣n+13）＝n（﹣n+
），令Sn＜0，得n（4n﹣74）
Sn＝（a1+an）＝n（＞0， 解得n＞故选：C． 6．已知锐角α，β满足A．4
B．
或n＜0（舍去），又n∈N*，所以使得Sn＜0的最小值n为19．
，则
C．8
的最小值为（ ） D．
【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行换元，然后结合基本不等式即可求解． 解：因为锐角α，β满足
，
所以cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝， 令x＝cosαcosβ，y＝sinαsinβ， 则x+y＝，
由题意得x＞0，y＞0， 则
＝8，
当且仅当x＝y时取等号，此时故选：C．
7．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2021年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自已经营的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求．据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底交完房租800元和水电费400元后，余款（贷款额+利润﹣房租﹣水电费）作为资金全部用于下一个月再进货，
的最小值8．
＝
＝2（x+y）（
）＝2（2+
）
如此继续，预计2021年小王的农产品加工厂到12月月底的净余款（扣除贷款额）为（ ）（参考数据：1.211＝7.5，1.212＝9） A．36000
B．32000
C．26000
D．25000
【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式，即可求解． 解：1月月底小王手中现款为（1+20%）×10000﹣800﹣400＝10800， 设n月月底小王手中现款为an，n+1月月底小王手中现款为an+1， 则an+1＝1.2an﹣1200，即an+1﹣6000＝1.2（an﹣6000）， 则a1﹣6000＝10800﹣6000＝4800，
所以数列{an﹣6000}是首项为4800，公比为1.2的等比数列， 故
，即a12＝42000，
所以年利润为42000﹣10000＝32000元． 故选：B． 8．已知函数
b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c ），由偶函数的定义可
，设
，
，
，则a，
【分析】根据题意，函数的解析式变形可得f（x）＝log3（3x+
得f（x）为偶函数，利用复合函数的单调性判断方法可得f（x）在区间（﹣∞，0]上为增函数，设g（x）＝ex﹣x﹣1，求出其导数，分析其单调性，由此可得g（﹣﹣
＞g（0）＝0，即
＞
＞ln
＞
；同理：设h（x）＝x﹣ln（x+1），分析可得
）＝＞ln
，
即可得，结合f（x）的奇偶性和单调性分析可得答案．
＝log3（9x+1）﹣log33x＝log3（3x+）＝f（x），则函数f（x）为偶函数， ，则y＝log3t，
），
解：根据题意，函数
其定义域为R，且f（﹣x）＝log3（3x+对于f（x）＝log3（3x+
），设t＝3x+
t＝3x+≥2＝2，
在区间[0，+∞）上，t′＝（3x﹣）ln3＞0，则t＝3x+ 在区间[0，+∞）上为增函数，
又由t≥2，在区间[2，+∞）上，y＝log3t为增函数， 故f（x）＝log3（3x+
＝f（
）在区间[0，+∞）上为增函数， ），
设g（x）＝ex﹣x﹣1，有g′（x）＝ex﹣1，
在区间（﹣∞，0）上，有g′（x）≤0，则g（x）在区间（﹣∞，0]上为减函数， 则有g（﹣
）＝
﹣
＞g（0）＝0，即
＝
＞， ；
设h（x）＝x﹣ln（x+1），有h′（x）＝1﹣
在区间[0，+∞）上，有h′（x）≥0，则h（x）在区间[0，+∞）上为增函数， 则h（
）＝
﹣ln＞，
＞h（0）＝0，即有＞ln
， ＝f（
），
，
＞ln
；
综合可得：而
则有c＜a＜b， 故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分；部分选对的得2分；有选错的得0分，把答案填在答题卷相应位置，
9．已知向量＝（﹣3，2），＝（﹣1，0），则下列选项正确的有（ ） A．C．
＝4
B．D．
【分析】利用向量数量积的坐标运算以及向量的模，平行，垂直关系进行运算检验即可．解：对于A，+＝（﹣4，2），所以（对于B，﹣3＝（0，2），所以（对于C，
＝（﹣2，2），所以|
）|＝2
）
＝﹣4×（﹣1）+0＝4，故A正确；
）
，故B正确；
＝0，所以（，
又||＝1，故C错误；
对于D，因为+＝（﹣4，2），
，所以（
故选：AB．
）∥（
＝（﹣2，2）， ）不成立，故D错误；
10．已知函数移
的最小正周期为，将f（x）的图象向左平
个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（ ） A．g（0）＝0 B．g（x）在
上单调递减
C．g（x）的图象关于x＝﹣D．g（x）在
对称
上的最大值是1
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论． 解：∵函数
将f（x）的图象向左平移
的最小正周期为
个单位长度，可得y＝cos（4x+
＝
，∴ω＝2，
）＝﹣sin4x的图象；
再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数g（x）＝﹣sin2x的图象． 由于g（0）＝﹣sin0＝0，故A正确； 在令x＝﹣确； 在
上，2x∈[﹣
，
]，故当x+
＝﹣
时，g（x）取得最小为值﹣
上，2x∈[0，π]，g（x）没有单调性，故B错误； ，求得g（x）＝1，是最大值，故g（x）的图象关于x＝﹣
对称，故C正
，故D错误， 故选：AC．
11．已知数列{an}满足2a1+22a2+•••+2nan＝n（n∈N*），bn＝
，Sn为数
列{bn}的前n项和．若对任意实数λ，都有Sn＜λ成立，则实数λ的可能取值为（ ）A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由2a1+22a2++2nan＝n可得2a1+22a2+…+2n﹣1an﹣1＝n﹣1（n≥2），两式相减得
2nan＝1，则an＝，从而bn＝＝＝
＝
并确定λ的取值范围．
＝2（﹣），进一步利用裂项相消求和法即可求出Sn
﹣
解：由2a1+22a2++2nan＝n，得2a1+22a2+…+2n1an﹣1＝n﹣1（n≥2），
两式相减得2nan＝1，则an＝，
又当n＝1时，2a1＝1，解得a1＝，满足上式，
所以an＝，故bn＝＝＝
＝＝2（﹣），
所以Sn＝2（1﹣+﹣+…+﹣以λ≥2． 故选：BC．
）＝2（1﹣）＝2﹣＜2，又Sn＜λ，所
12．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a（a＞0），P为线段AD上一个动点，设正确的有（ ）
，
＝y，对于函数y＝f（x），下列四个结论
A．当a＝2时，函数f（x）的值域为[1，4] B．∀a∈（0，+∞），都有f（1）＝1成立
C．∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4 D．∃a∈（0，+∞），使得函数f（x）的最小值为负数
【分析】先利用垂直关系建立直角坐标系，根据长度求出点的坐标，再化简函数f（x），利用二次函数的性质依次判断四个选项的正误即可．
解：建立如图坐标系，
则A（2，0），B（0，0），C（0，a），D（1，a）， 所以
＝（﹣1，a），
＝x
＝（﹣x，ax），0≤x≤1，
故P（2﹣x，ax）， 则
＝（2﹣x，ax），
＝（2﹣x，ax﹣a）， ＝
＝（1+a2）x2﹣（4+a2）x+4，
所以y＝f（x）＝
当a＝2时，f（x）＝5x2﹣8x+4，
当x∈[0，1]时，f（x）的最小值为，最大值为4， 所以f（x）值域[，4]，故A错误；
va∈（0，+∞）时，f（1）＝（1+a2）﹣（4+a2）+4＝1，故B正确； f（x）＝（1+a2）x2﹣（4+a2）x+4， 对称轴为x＝
＝
∈（，2），
当+≥1，即0时，
函数f（x）在[0，1]上单调递减，
故当x＝0时，f（x）取得最大值为f（0）＝4， 当×＝1时，f（x）取得最小值为f（1）＝1， 当a
时，
，
根据抛物线的对称性可知，
当x＝0时，函数f（x）取得最大值f（0）＝4， 当x＝
时，f（x）取得最小值为4﹣
，
综上所述，∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4，故C正确；
取a＝3＞确； 故选：BC．
时，f（x）取得最小值为4﹣＝4﹣＝﹣＜0，故D正
三、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷相应位置. 13．函数f（x）＝x﹣3+lgx的零点所在区间为（n，n+1）（n∈N*），则n＝ 2 ． 【分析】根据函数零点的判断方法即可得到结论．
解：∵f（x）＝x﹣3+lgx，定义域（0，+∞），函数是连续增函数， ∴f（1）＝1﹣3＝﹣2＜0， f（2）＝lg2+2﹣3＝lg2﹣1＜0， f（3）＝3+lg3﹣3＞0，
∴f（2）f（3）＜0，由函数的零点判定定理可知，函数的零点在区间为（2，3）， ∴函数的零点的所在区间为（2，3），即n＝2． 故答案为：2．
14．已知复数z1＝1﹣i，|z2|＝3，那么|z1﹣z2|的最大值是
．
【分析】根据题意，易得z2表示的点为以原点为圆心，r＝3的圆，再分析|z1﹣z2|的几何意义，由点与圆的位置关系，分析可得|z1﹣z2|的最大值，即可得答案． 解：根据题意，有|z2|＝3，
则z2表示的点为距离原点距离为3的点， 即以原点为圆心，r＝3的圆，
那么|z1﹣z2|的几何意义为圆上的点与点（﹣1，1）的距离， 设A（﹣1，﹣1）
由点与圆的位置关系，分析可得|z1﹣z2|的最大值是OC+r， 即3+
，
．
故答案为3+
15．若对任意的非零实数a，均有直线l：y＝ax+b与曲线
．
【分析】设切点横坐标为m，根据导数的几何意义可得切点为方程，可得
相切，则直线l必过定点
，代入直线l的
，再将直线的方程整理成关于a的方程，得解．
解：设切点横坐标为m， 因为
又a≠0，所以
，所以
，
， ，
，所以切点为
将其代入y＝ax+b，有＝a•+b，解得所以
所以直线l必过定点故答案为：
．
， ．
16．拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若∠BAC＝60°，DF＝2破仑定理可求得AB+AC的最大值 4
．
，利用拿
【分析】在△DAB中，设AD＝BD＝x，∠ABD＝∠BAD＝30°⇒∠ADB＝120°，由余弦定理可求得x与c的关系；同理可得AF与b的关系，由余弦定理可求得AB与AC的关系，再由基本不等式即可求出AB+AC的最大值．
解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图所示，连接AD，AF，BD，
由拿破仑定理可知，△DEF为等边三角形． 因为D为等边三角形的中心，
所以在△DAB中，∠ABD＝∠BAD＝30°，∠ADB＝120°， 设AD＝BD＝x，由余弦定理得：c2＝x2+x2﹣2x2cos120°， 即c2＝3x2，即＝同理AF＝
b；
⇒x＝
c，即AD＝
c，
又因为∠BAC＝60°，∠CAF＝30°， 所以∠DAF＝∠BAD+∠BAC+∠CAF＝120°，
在△ADF中，由余弦定理可得DF2＝AD2+AF2﹣2AD•AF•cos120°，即12＝c2+b2﹣2×
×（﹣），
化简得：（b+c）2＝bc+36， 由基本不等式得：（b+c）2≤解得b+c≤4
，当且仅当b＝c＝2
．
+36， 时等号成立，
所以AB+AC的最大值为4故答案为：4
．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卷相应位置。
17．已知递增等比数列{an}中，a1＝a，a2＝b，a3＝c，其中a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且cosB＝．
（1）求数列{an}的公比q；
（2）若数列{an}首项a1＝tan67.5°﹣
，求数列{a2n﹣1}的前n项和Sn．
【分析】（1）直接利用等比数列的性质的应用和余弦定理的应用求出数列的公比； （2）利用（1）的结论，求出新数列的公比，进一步求出数列的和．
解：（1）设公比为q的递增等比数列{an}中，a1＝a，a2＝b，a3＝c，其中a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且cosB＝． 所以公比q＞1； 由于cosB＝
＝，
所以，
解得q＝故q＝
或．
（舍去），
（2）由于首项a1＝tan67.5°﹣＝＝
，
所以数列{a2n﹣1}的公比为q2＝2， 故
＝2×（2n﹣1）＝2n+1﹣2．
18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分期付款期数ξ的分布列为
ξ P
1 0.3
2 0.15
3 0.15
4 0.2
5 0.2
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为150元；分2期或3期付款，其利润为200元；分A期或5期付款，其利润为250元，设η表示经销一件该商品的利润． （1）记事件A为“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，求P（A）；（2）求η的分布列及期望Eη．
【分析】（1）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，则
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，利用对立事件概率计算公式能求出P（A）＝1﹣）＝1﹣0.216＝0.784．
（2）η的可能取值为150元，200元，250元，分别求出相应的概率，由此能求出η的分布列和E（η）．
解：（1）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”， 则表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”， P（）＝（1﹣0.4）3＝0.216， ∴P（A）＝1﹣）＝1﹣0.216＝0.784． （2）η的可能取值为150元，200元，250元， P（η＝150）＝P（ξ＝1）＝0.4，
P（η＝200）＝P（ξ＝2）+P（ξ＝3）＝0.2+0.2＝0.4，
P（η＝250）＝1﹣P（η＝200）﹣P（η＝150）＝1﹣0.4﹣0.4＝0.2． ∴η的分布列为
η P
150 0.4
200 0.4
250 0.2
E（η）＝150×0.4+200×0.4+250×0.2＝190（元）．
19．已知数列{an}和{bn}均为正项数列，数列{an}的前n项和为Sn，且满足6Sn＝an2+3an，an＝6log3bn．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）将{an}，{bn}中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，求数列{cn}的前100项和．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式和对数的运算求出数列的通项公式； （2）利用分组法的应用求出数列的和．
解：（1）数列{an}和{bn}均为正项数列，数列{an}的前n项和为Sn，且满足6Sn＝an2+3an，①
当n＝1时，
解得a1＝3或0（0舍去），
当n≥2时，6Sn﹣1＝an﹣12+3an﹣1，②，
，
①﹣②得：
整理得an＝an﹣1+3，
，
故数列{an}是以3为首项，3为公差的等差数列； 所以an＝3n． 由于an＝6log3bn， 所以3n＝6log3bn， 故
，
，3
，9，9
，27，......，243，共10项，
（2）数列{bn}为
数列{an}为3，6，9，......294，297，300共100项， 相同的项有5项：3，9，27，81，243； 故数列{cn}的前110项的和为：＝
．
两个数列的相同10项的和为2×3+2×9+2×27+2×81+2×243＝726． 故新数列的前100项的和为
．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为△ABC的内心，延长线段AI交BC于点D，此时（2）若∠ADB＝
．（1）求，求
．
；
【分析】（1）根据内心得到∠CAD＝∠BAD，根据正弦定理计算得到答案； （2）设∠CAD＝∠BAD＝α，则∠B＝角函数恒等变换得到角度，解得答案．
解：（1）因为I为△ABC的内心，所以∠CAD＝∠BAD， 根据正弦定理：
sin∠ADC＝sin∠ADB，故所以由正弦定理可得
＝＝＝．
，＝，
＝
﹣α，∠C＝
﹣α，根据
＝，结合三
（2）设∠CAD＝∠BAD＝α，则∠B＝
＝，故2sin（化简得到tanα＝
﹣α）＝sin（
﹣α，∠C＝﹣α），
，∠C＝
﹣α，
，α∈（0，），故α＝，∠B＝，∠A＝，
故＝＝＝．
21．已知椭圆C：的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定
点C（0，2），△ABC的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点． （1）求椭圆C的方程；
（2）试探究M，N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．
【分析】（1）利用三角形面积公式结合离心率列出方程，求解即可；
（2）利用点斜式写出直线PQ，BP，BQ的方程，令y＝0，得点M，N的横坐标，求出xM•xN，把直线y＝kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理求出x1+x2，x1x2，代入化简即可判断xM•xN 为定值．
解：（1）由题意可知：点A（a，0），B（0，﹣b）， ∵△ABC的面积为3，∴又∴∴
∴椭圆C的方程为：
，∴a＝2b，
，解得b＝1，∴a＝2，
；
，
y1）（2）由题意可知，直线PQ的斜率存在，故设直线PQ的方程为y＝kx+2，点P（x1，，Q（x2，y2），
则直线BP的方程为y＝，令y＝0，得点M的横坐标x，
直线BQ的方程为y＝，令y＝0，得点N的横坐标x，
∴＝，
把直线y＝kx+2代入椭圆∴
得：（1+4k2）x2+16kx+12＝0， ，
∴＝，
22．已知函数f（x）＝lnx+ax+（1）求函数f（x）的单调区间；
．
（2）当a＝﹣1时，g（x）＝f（x）+（x﹣2）ex﹣，记函数y＝g（x）在最大值为m，证明：（m+4）（m+3）＜0．
上的
【分析】（1）首先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后对a进行分类讨论，并利用导数研究函数的单调性即可得出其单调区间；（2）代入a的值求出函数的导数，并令h（x）1）＝ex﹣，利用零点的存在性定理可知：存在x0∈（，，使得h（x0）＝0，即
，
即lnx0＝﹣x0，求出m＝g（x）min，根据函数的单调性即可求出m的取值范围，从而得出证明．
解：（1）由函数f（x）＝lnx+ax+
的定义域为（0，+∞），
则f'（x）＝+a﹣＝．
当Δ＝1+4a≤0，即a≤﹣时，ax2+x﹣1≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立， 即f'（x）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，且不恒为0， 故函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当﹣＜a＜0时，方程ax2+x﹣1＝0的两根分别为＜x1＜x2），
，（0
此时在区间（0，x1），（x2，+∞）上，f'（x）＜0；在区间x1，x2）上，f'（x）＞0． 故函数f（x）的单调递减区间为（0，区间为（
，
）；
，
（x2＜0
），（
，+∞）；单调递增
当a＞0时，方程ax2+x﹣1＝0的两根分别为＜x1），
此时在区间（0，x1）上，f'（x）＜0；在区间x1，+∞）上，f'（x）＞0． 故函数f（x）的单调递减区间为（0，∞）；
当a＝0时，f'（x）＝f'（x）＞0．
故函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（2）证明：当a＝﹣1时，g（x）＝f（x）+（x﹣2）ex﹣＝lnx﹣x++（x﹣2）ex﹣＝lnx﹣x+（x﹣2）ex，
则g'（x）＝（x﹣1）ex﹣1+＝（x﹣1）（ex﹣）， 当＜x＜1时，x﹣1＜0，令h（x）＝ex﹣，则h'（x）＝ex+1]上单调递增． 因为h（）＝0，即
﹣2＜0，h（1）＝e﹣1＞0，所以存在x0∈（，1），使得h（x0）＝
＞0，所以h（x）在[，
，此时在区间（0，1）上，f'（x）＜0；在区间（1，+∞）上，
），单调递增区间为（
，+
，即lnx0＝﹣x0．
故当x∈（，x0）时，h（x）＜0，g'（x）＞0；当x∈（x0，1）时，h（x）＞0，g'（x）＜0；
即g（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减． 所以m＝g（x）min＝g（（x0）＝（x0﹣2）
﹣x0+lnx0＝（x0﹣2）
﹣x0﹣x0＝（x0﹣
2）﹣2x0＝1﹣（+2x0）．
令G（x）＝1﹣﹣2x，x∈（，1），则G'（x）＝﹣2＝，
所以G（x）在（，1）上单调递增，所以G（x）＞G（）＝﹣4，G（x）＜G（1）＝﹣3，所以﹣4＜m＜﹣3， 所以（m+4）（m+3）＜0．
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