陕西省西安中学2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.抛物线x=-8y的准线方程是（ ） A. 【答案】B 【】 【分析】
先根据题意，求得抛物线x2=-8y的p，即可求出准线方程. 【详解】抛物线x=-8y可得2p=8 所以
2
2
B. C. D.
故准线方程为y=2 故选B
【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题. 2.已知向量=（1，1，0），则与共线的单位向量=（ ） A. 【答案】C 【】 【分析】
先根据题意，设出与共线的单位向量可为即可得出答案.
【详解】因为向量=（1，1，0） 所以与共线的单位向量可为解得
或
且
，再利用单位向量的模长为1，求得a的值
B.
1，
C.
D.
1，
所以可得与共线的单位向量为故选C
【点睛】本题主要考查了向量共线的单位向量，属于基础题. 3.下列说法中正确的是( )
A. 若B. 若
，
，则，则
四点构成一个平行四边形
C. 若和都是单位向量，则D. 零向量与任何向量都共线 【答案】D 【】 【分析】
结合向量的性质，对选项逐个分析即可选出答案。 【详解】对于选项A，
四点可能共线，故A不正确；对于选项B，若是零向量，则
方向不同，则
，故C错误；对于D，零向
不一定成立，故B错误；对于选项C，若量与任何向量都共线，正确。 故答案为D.
【点睛】本题考查了零向量、平行向量、相等向量、单位向量等知识，考查了学生对基础知识的掌握情况。 4.给出如下三个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2＞2-1”的否命题为“若a≤b，则2≤2-1”； ③“∀x∈R，x+1≥1”的否定是“∃x∈R，x+1≤1”． 正确的个数是（ ） A. 0 【答案】B 【】 【分析】
①根据真值表可得p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题．②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．③全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题；③“∀x∈R，x2+1≥1”，易得到答案．
【详解】①根据真值表可得：若p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题，所以①
B. 1
C. 2
D. 3
2
2
abab
错误．
②根据命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”． 是真命题，所以②正确．
③若原命题“∀x∈R，都有x+1≥1” ∴命题“∀x∈R，都有x+1≥2x”的否定是： ∃x∈R，有x+1＜1，所以③不正确．
2
2
2
故选：B．
【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握真值表、特称命题、命题的否定以及其他的有关基础知识，属于基础题.
5.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. 【答案】A 【】 【分析】
根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出
即可.
【详解】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形， 即
，然后求得离心率
B.
C.
D.
所以离心率故选A
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题. 6.“
”是“
的最小正周期为”的（ ）
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】A 【】 当
时，
，所以周期为
的最小正周期为时，
，所以
，因此“
，当”是
“7.若曲线A.
或
【答案】D 【】 【分析】
的最小正周期为”的充分不必要条件.故选A. 表示椭圆，则的取值范围是( )
B.
C.
D.
根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.
【详解】曲线表示椭圆，
，
解得
的取值范围是
，且
， 或
，故选D．
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.
8.已知平面α内有一点M（1，-1，2），平面α的一个法向量=（2，-1，2），则下列点P在平面α内的是（ ） A.
4，
【答案】C 【】 【分析】
由题意，点P在平面内，可得此时
，得出答案.
，然后再验证答案，易知C选项可得
，
B.
0，
C.
3，
D.
【详解】因为点M、P是平面内的点，平面的一个法向量=（2，-1，2）， 所以对于答案C，
此时故选C
【点睛】本题主要考查了用空间向量取解决立体几何中的垂直问题，属于较为基础题. 9.若点O和点F（-2，0）分别为双曲线焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则A. [3-[,
,）
）
B. [3+
,
）
（a>0）的中心和左 的取值范围为
C. [
,
）
D.
【答案】B 【】
试题分析： 因为F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a+1=4，即a=3，所以双曲线方程为
设点P（x0，y0），则有
因为
=(x0+2，y0)，
=(x0，y0)，所以
(x0≥
)，解得y02=
(x0≥
)， =
+2x0-1，
2
2
=x0(x0+2)+y02=x0（x0+2）+
，
，故
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-，因为x0≥所以当x0=
时，
取得最小值，+∞)，选B
=
的取值范围是[
考点：本题主要考查了待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
点评：解决该试题的关键是先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出
的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则
【此处有视频，请去附件查看】
10.已知动圆P与定圆C：（x-2）2+y2=1相外切，又与定直线l：x=-1相切，那么动圆的圆心
，进而求得
的取值范围可得．
P的轨迹方程是（ ）
A.
B. C. D.
【答案】C 【】 【分析】
令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，PA-d=1，化简可求．
【详解】令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r， 则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r， P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1， 所以PA-d=1，即化简得：y=8x． 故选C．
【点睛】本题主要考查了点的轨迹方程的求解，解题的关键是由根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得PA-d=1，属于中档题. 11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，A. 1 【答案】B 【】 【分析】 先根据题意，易知答案即可.
【详解】在平行六面体中，所以所以故选B
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题. 12.方程
与
的曲线在同一坐标系中的示意图应是
解得
，再分别求得
的值，然后求得
B.
=x+2y+3z，则x+y+z=（ ） C.
D.
2
-（x+1）=1，
（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A 【】 方程方程
即
，表示抛物线，
表示椭圆或双曲线，
当和同号时，抛物线开口向左， 方程
当和异号时，抛物线方程
本题选择A选项.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.过抛物线y=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8，则|AB|=______； 【答案】10 【】 【分析】 先根据题意求出
，再利用抛物线的焦点弦
代入得出答案即可.
2
表示焦点在轴的椭圆，无符合条件的选项； 开口向右， 表示双曲线，
【详解】抛物线y2=4x中，
过焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8， 则焦点弦
故答案为10
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质以及焦点弦，属于基础题. 14.已知【答案】【】 【分析】 先求出
，
，
，然后利用
，
，展开计算即可。 ，
，
，且
，
，
，则
=______；
【详解】由题意，则
，
则.
【点睛】本题考查了向量的数量积，向量的平方等于模的平方，考查了计算能力，属于基础题。 15.已知【答案】【】
试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0， 代入椭圆的方程化简得 （1+4k）x+（16k-32 k）x+64 k-64k-20=0， ∴
，解得 k=-，故直线l的方程为 x+2y-8=0
2
2
2
2
是直线被椭圆
所截得的线段的中点，则的方程是_________.
考点：直线与圆锥曲线的关系 16.如图，四棱锥
， 的底面是边长为2的正方形，侧面分别为棱
的中点，则点到平面
底面
,且
的距离为______.
【答案】 【】 【分析】 由题意，过点作为，则
【详解】由题意，为为棱因为则因为因为为棱设点到平面
的中点，所以
，所以
，，所以
的中点，所以
的距离为，则
，
， ，即
,则
的垂线，垂足为，可证明
，即，侧面
底面
，
为正三角形，分别过点
，
作
，故平面
，设点到平面,求解即可。 侧面
，则，
的垂线，垂足为
，，又因的距离
.
故点到平面的距离为.
【点睛】本题考查了空间几何中点到平面的距离的求法，利用等体积法是解决此类问题的常见的方法，属于中档题。
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
【答案】（1）焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.（2）∠F1PF2＝90°. 【】 【分析】
（1）将双曲线方程化为标准方程，即可求出程；（2）由双曲线的性质可得
，即可求出
【详解】（1）将双曲线方程化为标准方程渐近线方程是（2）
且
则因为所以故
. ， . ，
,
, ，
. ，则
，长轴长为6，
，从而可求出双曲线的实轴长和渐近线方
，结合余弦定理
【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的长轴及渐近线等基础知识，考查了双曲线中焦点三角形，属于基础题。
18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B1C；
（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小； （3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值． 【答案】（1）见；（2）；（3）
【】 【分析】
（1）由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C；
（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案．
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
【详解】
证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1 由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC ∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C ∴AE⊥B1C 解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C， 则AE∥A1E1，
∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角． 设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°， 可得A1E1=AE=∴E1C=
，A1C=2
=
=
，E1C1=EC=BC=
∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C=
所以异面直线AE与A1C所成的角为．
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC 又∵平面ABC⊥平面ACC1A1 ∴EP⊥平面ACC1A1 而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角． 由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==所以二面角C-AG-E的平面角正切值是
【点睛】本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键．
19.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，
（1）求证：CF∥平面A1DE；
（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值． 【答案】（1）见；（2） 【】 【分析】
（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CF∥平面A1DE．
（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．
【详解】证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐
标系，
则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2）， 则
设平面A1DE的法向量是
，
则，取，
∴
所以CF∥平面A1DE． 解：（2）∴
是面A1DA的法向量，
即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为．
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20.已知抛物线
（1）求抛物线的方程； （2）已知抛物线与直线总有【答案】（1）【】 【分析】
？说明理由. ；（2）存在.
交于
两点，轴上是否存在点，使得当变动时，
的焦点，抛物线上一点点纵坐标为2，
.
（1）由抛物线性质可知为符合题意的点，设
，
，计算可求出，设直线
，即可得到抛物线方程；（2）设的斜率分别为
, 将
代
入抛物线的方程可得关于的一元二次方程，结合斜率表达式及根与系数关系可得
,从而可求出
【详解】（1）故抛物线的方程为（2）设设直线将故
.
，
，
即
，即可说明存在点。
，
为符合题意的点，设的斜率分别为
,
代入抛物线的方程得
,
,
，
当故存在点
时，有.
，使得当变动时，总有
.
【点睛】本题考查了抛物线的性质，考查了抛物线方程的求法，考查了直线的斜率，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题。
21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，
E、F分别为CD、PB的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB； （2）设
，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．
【答案】（1）见；（2） 【】 【分析】
（1）求出直线EF所在的向量，再求出平面内两条相交直线所在的向量，然后利用向量的数量积为0，根据线面垂直的判定定理得到线面垂直．
（2）求出平面的法向量以及直线所在的向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角，即可解决问题．
【详解】解：以D为从标原点，DC、DA、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．设AB=a，
则A（0，2，0），B（a，2，0），C（a，0，0），D（0，0，0，），p（0，0，2），
（1）由题意可得：∴EF⊥PA，EF⊥PB． ∴EF⊥平面PAB． （2）AB=2
设平面AEF的法向量
，
=（0，1，1）．
=0×0+1×2+1×（-2）=0，
=0×a+1×2+1×（-2）=0
则
令y=1，则x=又
所以sinθ=
，所以
．
．
【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题． 22.已知椭圆圆交于
两点，且
的两个焦点分别为的周长为8．
，离心率为，过
的直线与椭
（1）求椭圆的方程； （2）直线过点【答案】（1）
，且与椭圆交于；（2）3.
两点，求
面积的最大值.
【】 【分析】 （1）由
的周长为8，可知
,结合离心率为，可求出
，
，
，从，
而可得到椭圆的标准方程；（2）由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为
，
面积公式可知大值即可。
【详解】（1）由题意知, 由椭圆离心率则椭圆的方程
,则.
,则,
, ,
，将直线方程与椭圆方程联立可得到关于的一元二次方程，由三角形的
，结合根与系数关系可得到
的表达式，求出最
（2）由题意知直线的斜率不为0， 设直线的方程为
，
，
，
则 ，
所以
，
令而所以当
，则在
，所以上单调递增，则，
，
的最小值为4，
时取等号，即当时，的面积最大值为3.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了三角形的面积公式的运用，属于难题。
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