北林区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

北林区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 四面体ABCD 中,截面 PQMN是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）

A．ACBD B．ACBD

C.ACPQMN D．异面直线PM与BD所成的角为45 2． 已知集合A{1i,(1i2311),i,i}（其中为虚数单位），B{xx21}，则AB（ ） 1i2222} D．{} 22A．{1} B．{1} C．{1,3． 复数z=

（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4． 双曲线A．

的渐近线方程是（ ） B．

C．

D．

5． 已知复数z满足：zi=1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（ ） A．﹣i B．i C．1

D．﹣1

6． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．

7． 已知函数f（x）=2ax3﹣3x2+1，若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（ ） A．（1，+∞）

B．（0，1） C．（﹣1，0）

D．（﹣∞，﹣1）

第 1 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

8． 已知a(2,1)，b(k,3)，c(1,2)c(k,2)，若(a2b)c，则|b|（ ） A．35 B．32 C．25 D．10 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．

9． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A、2865 B、3065

C、56125 D、 60125

10．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A．y=x﹣1 A．0

B．y=lnx

C．2

C．y=x3 D．y=|x| D．3

C．（4，+∞）

D．（0，4）

11．已知集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则b的最小值等于（ ）

B．1

12．若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（ ） A．（2，+∞）

B．（0，2）

二、填空题

13．已知数列{an}中，2an，an+1是方程x2﹣3x+bn=0的两根，a1=2，则b5= ．

14．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示． x 0 4 5 ﹣1 f（x） 1 2

2

1 下列关于f（x）的命题： ①函数f（x）的极大值点为0，4； ②函数f（x）在[0，2]上是减函数；

③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；

⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．

第 2 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

15．（x﹣）6的展开式的常数项是 （应用数字作答）． 16．命题“x(0,)，sinx1”的否定是 ▲ ．

217．已知向量a,b满足a4，|b|2，(ab)(3ab)4，则a与b的夹角为 .

【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 18．B，C的对边分别为a，b，c，在△ABC中，角A，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=

，则= ．

2三、解答题

19．（本题满分14分）已知函数f(x)x2alnx.

（1）若f(x)在[3,5]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；

（2）记g(x)f(x)(2a)lnx2(b1)x，并设x1,x2(x1x2)是函数g(x)的两个极值点，若b求g(x1)g(x2)的最小值.

20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|2x1|．

（1）若不等式f(x)2m1(m0)的解集为,2（2）若不等式f(x)2y7， 2122,，求实数m的值；

a|2x3|，对任意的实数x,yR恒成立，求实数a的最小值． 2y【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．

第 3 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

21．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点． （1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；

（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．

22．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，

G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC． （1）求证：FG∥面BCD；

（2）设四棱锥D﹣ABCE的体积为V，其外接球体积为V′，求V：V′的值．

，过A作AE⊥CD，垂足为E，

23．

第 4 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

24．（本小题满分14分）

设函数f(x)ax2bx1cosx，x0,（其中a，bR）.

21，求f(x)的单调区间； 2（2）若b0，讨论函数f(x)在0,上零点的个数.

2（1）若a0，b【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.

第 5 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

北林区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为截面PQMN是正方形，所以PQ//MN,QM//PN，则PQ//平面ACD,QM//平面BDA，所以PQ//AC,QM//BD,由PQQM可得ACBD，所以A正确；由于PQ//AC可得AC//截面所以C正确；因为PNPQ，所以ACBD，由BD//PN，所以MPN是异面直线PM与BDPQMN，

PNANMNDN0,所成的角，且为45，所以D正确；由上面可知BD//PN,PQ//AC，所以，而BDADACADANDN,PNMN，所以BDAC，所以B是错误的，故选B. 1 考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键. 2． 【答案】D 【解析】

考点：1.复数的相关概念；2.集合的运算 3． 【答案】C 【解析】解：z=

=

=

=

+

i，

当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1； 当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1； 当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1； 当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解； 故选：C．

【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．

4． 【答案】B

第 6 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

【解析】解：∵双曲线标准方程为其渐近线方程是整理得y=±x． 故选：B．

=0，

，

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．

5． 【答案】D

【解析】解：由zi=1+i，得，

∴z的虚部为﹣1． 故选：D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

6． 【答案】A

【解析】解：几何体如图所示，则V=

，

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．

7． 【答案】D

【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x2

+1，有两个零点，不满足条件． 若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax2

﹣6x=6ax（x﹣），

若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，

若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，

第 7 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件． 若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增， 由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，

即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（）， 若存在唯一的零点x0，且x0＞0，

32

则f（）＞0，即2a（）﹣3（）+1＞0， 2

（）＜1，即﹣1＜＜0，

解得a＜﹣1， 故选：D

【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．

8． 【答案】A 【

解

析

】

9． 【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥， 所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。

第 8 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：

S底10,S后10,S右10,S左65，

因此该几何体表面积S3065，故选B． 10．【答案】D

【解析】解：选项A：y=

在（0，+∞）上单调递减，不正确；

选项B：定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx为非奇非偶函数，不正确；

3333

选项C：记f（x）=x，∵f（﹣x）=（﹣x）=﹣x，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数，又∵y=x区间

（0，+∞）上单调递增，符合条件，正确；

选项D：记f（x）=|x|，∵f（﹣x）=|﹣x|=|x|，∴f（x）≠﹣f（x），故y=|x|不是奇函数，不正确． 故选D

11．【答案】C

2

【解析】解：集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x﹣3x＜0，x∈Z}={1，2}，P∩Q≠∅，

可得b的最小值为：2． 故选：C．

【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．

12．【答案】C

2

【解析】解：令f（x）=x﹣mx+3，

2

若方程x﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1， 则f（1）=1﹣m+3＜0， 解得：m∈（4，+∞）， 故选：C．

【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．

二、填空题

13．【答案】 ﹣1054 ．

2

【解析】解：∵2an，an+1是方程x﹣3x+bn=0的两根， ∴2an+an+1=3，2anan+1=bn， 则b5=2×17×（﹣31）=1054． 故答案为：﹣1054．

∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31．

第 9 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．【答案】 ①②⑤ ．

【解析】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；

因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；

由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，

根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，

综上正确的命题序号为①②⑤． 故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．

15．【答案】 ﹣160

【解析】解：由于（x﹣）展开式的通项公式为 Tr+1=

6

•（﹣2）r•x6﹣2r，

=﹣160，

6

令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x﹣）展开式的常数项为﹣8

故答案为：﹣160．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

第 10 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

16．【答案】x0,【解析】

2，sin≥1

试题分析：“x(0,)，sinx1”的否定是x0,，sin≥1

22考点：命题否定

【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p（x0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则就是假命题. 17．【答案】【

2 3解

析

】

18．【答案】=

．

【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，

2

∴sinAsinB+sinBsinC=2sinB．

2

再由正弦定理可得 ab+bc=2b，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列．

C=，由a，b，c成等差数列可得c=2b﹣a，

22222

由余弦定理可得 （2b﹣a）=a+b﹣2abcosC=a+b+ab． 2

化简可得 5ab=3b，∴ =．

故答案为：．

【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题综合考查了利用导数研究函数的单调问题，利用导数研究函数的最值，但本题对函

第 11 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

数的构造能力及运算能力都有很高的要求，判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点，本题综合性很强，难度大，但有梯次感.

（2）∵g(x)xalnx(2a)lnx2(b1)xx2lnx2(b1)x，

22

第 12 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

20．【答案】

【解析】（1）由题意，知不等式|2x|2m1(m0)解集为,22,．

11xm，……………………2分 2213所以，由m2，解得m．……………………4分

22由|2x|2m1，得m第 13 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

aay|2x3||2x1||2x3|2等价于， 2y2yay由题意知(|2x1||2x3|)max2y．……………………6分

2（2）不等式f(x)2y

21．【答案】

【解析】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由

，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，

则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，

=

，

，

所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=， 因为以AB为直径的圆经过原点O， 所以∠AOB=90°， 即所以

解得k=﹣，

即所求直线l的方程为y=﹣

．

，

，

（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0）， 则由（1）得

，

，

第 14 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

所以线段AB的中垂线方程为令y=0，得

=

=或

，

， ，

又由（1）知k＜，且k≠0，得所以所以

=，

，

所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．

【点评】本题考查直线l的方程的求法和求△POQ面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．

22．【答案】

【解析】解：

（1）证明：取AB中点H，连接GH，FH， ∴GH∥BD，FH∥BC， ∴GH∥面BCD，FH∥面BCD ∴面FHG∥面BCD， ∴GF∥面BCD （2）V=又外接球半径R=∴V′=∴V：V′=

π

【点评】本题考查的知识点是直线与平面平等的判定及棱锥和球的体积，其中根据E点三条棱互相垂直，故棱锥的外接球半径与以AE，CD，DE为棱长的长方体的外接球半径相等，求出外接球半径是解答本题的关键点．

23．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），

第 15 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计．

【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20 根据平均数值公式求解即可．

（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=求解数学期望即可．

【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1 解得a=0.03；

又由最高矩形中点的横坐标为20， 可估计盒子中小球重量的众数约为20， 而50个样本小球重量的平均值为：

=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克） 故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．

（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2； 则X～B（3，）， X=0，1，2，3； P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=

×（）3=×（）2×=

； ；

；

，P（X=3），列出分布列，

×（）×（）2=×（）3=

，

∴X的分布列为：

第 16 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

X P 即E（X）=0×

0 1 =．

2 3 【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力

24．【答案】

【解析】（1）∵a0，b∴f(x)1， 211x1cosx，f(x)sinx，x0,. （2分） 222令f(x)0，得x.

6当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，

662所以f(x)的单调增区间是,，单调减区间是0,. （5分）

626第 17 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

若

110，a，10，则f()a又f()f(由零点存在定理，00,，使f(00))0，222所以f(x)在(0,0)上单调增，在0,上单调减.

22a1. 又f(0)0，f()24214a10，此时f(x)在0,上有两个零点； 故当a2时，f()2242241a10，此时f(x)在0,上只有一个零点. 当2a时，f()242第 18 页，共 19 页

精选高中模拟试卷

第 19 页，共 19 页