二项式定理优秀教学设计

【教学目标】

1．掌握二项式定理和二项式系数的性质，

2．能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

【教学重难点】

教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

【授课类型】

新授课

【课时安排】

1课时

【教学准备】

多媒体、实物投影仪

【教学过程】

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

n0n1n（1）(ab)CnaCnabn1（2）(1x)1CnxrnrrCnabnnCnb(nN)，

rrCnxxn。

rnr2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnabr

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

4．二项式系数表（杨辉三角）

(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系

数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

5．二项式系数的性质：

1CnCn2，Cnn。Cnr可以看成以r为自变量的函数f(r)，(ab)n展开式的二项式系数是Cn0，，…，

定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）

mnm（1）对称性。与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵CnCn）。

直线rn是图象的对称轴。 2nn（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C2取得最大值；当n是奇数时，中间两项

Cn12n，Cn12n取得最大值。

（3）各二项式系数和：

n1∵(1x)1CnxrrCnxxn，

rCnnCn

n012令x1，则2CnCnCn二、讲解范例：

例1． 设1x1x1x当a0a1a22321xa0a1xa2xnanxn，

an254时，求n的值

解：令x1得：

a0a1a2an222232(2n1)2254，

21n∴2n128,n7，

nn1点评：对于f(x)a0(xa)a1(xa)an，令xa1,即xa1可得各项系数的和

a0a1a2an的值；令xa1,即xa1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系

nnCnn2n1。

nnCn ①

123例2．求证：Cn2Cn3Cn123证（法一）倒序相加：设SCn2Cn3Cnnn1n2又∵SnCn(n1)Cn(n2)Cn212CnCn ②

rnr0n1n1∵CnCn，∴CnCn,CnCn,012由①+②得：2SnCnCnCn，

nCn，

∴S11232Cn3Cnn2nn2n1，即Cn2nnCnn2n1。

（法二）：左边各组合数的通项为

rCnrrn!n(n1)!r1nCn1，

r!(nr)!(r1)!(nr)!123∴ Cn2Cn3Cnn012nCnnCn1Cn1Cn2n1n1Cn。 1n2例3．已知：(x3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992。 （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n， 又展开式中二项式系数和为2n， ∴22n2n992，n5。

（1）∵n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴T3C52(x3)3(3x2)290x6，T4C53(x3)2(3x2)3270x3， （2）设展开式中第r1项系数最大，则Tr1C(x)r5235r222223(3x)3Cx2rrr5104r3，

rrr1r1793C53C5r∴rr，∴r4， r1r1223C53C5即展开式中第5项系数最大，T5C(x)(3x)405x。

452423263n1n12n2n1例4．已知Sn2Cn2Cn2Cn21(nN)，

求证：当n为偶数时，Sn4n1能被64整除

分析：由二项式定理的逆用化简Sn，再把Sn4n1变形，化为含有因数64的多项式

n1n12n2 ∵Sn2Cn2Cn2n1Cn21(21)n3n，

∴Sn4n13n4n1，∵n为偶数，∴设n2k（kN*）， ∴Sn4n132k8k1(81)k8k1

1k1Ck08kCk81k1(Ck08kC88Ckk1818k1 Ck2)82 ，

当k=1时，Sn4n10显然能被64整除， 当k2时，（）式能被64整除，

所以，当n为偶数时，Sn4n1能被64整除 三、课堂练习：

1．

x14x15展开式中x4的系数为 ，各项系数之和为 。

nCn(x1)n（n6）的展开式中，x6的

122332．多项式f(x)Cn(x1)Cn(x1)Cn(x1)系数为

23．若二项式(3x1n)（nN）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（ ） 32x A．4 B．5 C．6 D．8

4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）

A．低于5％ B．在5％～6％之间 C．在6％～8％之间 D．在8％以上

5．在(1x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1x2)n等于（ ） A．0 B．pq C．p2q2 D．p2q2

1a01a211a321a43CnCnCnCn6．求和：1a1a1a1ann17．求证：当nN且n2时，32n2。

1an1n1Cn。

1an8．求2x的展开式中系数最大的项

n答案：1． 45， 0 2． 0 。提示：fxx1n6

103． B 4． C 5． D 6． a1a7． （略） 8． T3115360x

四、小结

3n1

二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用

【作业布置】

1161．已知(a21)n展开式中的各项系数的和等于x2的展开式的常数项，而(a21)n x55展开式的系数的最大的项等于54，求a的值(aR)

答案：a3 2．设1x32xa0x1a1x1求：① a0a1答案：①39591413a13x1a14

a14 ②a1a39a13。

319683； ②3529963

01234567893．求值：2C9C92C9C92C9C92C9C92C9C9。

答案：28256

4．设f(x)(x2x1)9(2x1)6，试求f(x)的展开式中： （1）所有项的系数和；

（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案：（1）36729；

361364； （2）所有偶次项的系数和为2361所有奇次项的系数和为365

2【板书设计】