二次函数与几何综合(辅助圆)

二次函数背景下辅助圆的作用

【题型特点】

代几综合题命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等。它的解法多种多样，所涉及的重要知识一般有：一元二次方程根的判别式和求解方法；一次函数和二次函数的图象及其性质；圆的有关性质和相似形；解直角三角形等。解题中用到的数学思想方法主要有：方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想及待定系数法、配方法等。

从题型上看，大致有两类：是以代数知识为主要背景，结合函数图象及某些几何条件，求函数解析式、一元二次方程或它们中的字母系数的范围，以及一些相关的问题；二是以几何图形为主要背景，求一个几何量与另一个几何量之间的函数关系及相关问题。这些综合题需要有较强的阅读理解能力以及获取有效信息的能力。复习时首先要打好基础，熟悉基本图形和基本方法是解好综合题的前提，要注意知识的前后联系，其次要注重对同一问题的通法和巧解的理解。

在某些数学习题中，借助辅助圆解（证）题是比较生疏的一种解题方法，但同时又是一种行之有效的解题方法。解（证）平面几何题，最棘手的莫过于添加辅助线。常用添辅助线的方法，有连结、延长、平移或旋转，这些都是对直线而言的。至于利用辅助圆解（证）平面几何题，虽远不如直线那么为人所熟知，但如果辅助圆添加合理，同样可以使分散的条件集中，隐蔽的条件明显；同样为沟通条件与结论之间的内在联系而起到事半功倍的作用；同样可以沟通数学知识之间的联系。因此，在平时的学习中，将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面去认真分析、思考，即可发现，适当添加辅助圆，并利用圆的有关性质以及定理，就能巧妙地找到解决问题的途径。

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【真题剖析】

例1（2012朝阳一模） 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的 直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF． （1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；

（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这 个过程中，请你观察、探究并解答：∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由。

例2（2011绍兴）抛物线y=交于点C．

（1）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；

（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ。

①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D

APDAEPDB(E)C(F)BFC1(x1)23与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴4 在BQ上，另一 个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；

②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶 点E在PQ上，求点P的坐标。

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例3平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax4ac与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1，0)，OB=OC，抛物线的顶点为D。 （1） 求此抛物线的解析式；

（2） 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标； （3）变式：若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APD=∠ACB，求点P的坐标。

例4如图抛物线yx2383x3与x轴交于A、B两点（点A在4点B的左侧），与y轴交于点C 。 （1）求点A、B的坐标；

（2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、

M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式 。

【专题归纳】

我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来。

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（一）构造辅助圆可提供思路方向的基本题型和基本图形： 1、确定直角顶点或等腰三角形顶点的题 2、含共点相等线段的图形 3、一组对角互补的四边形

4、一个外角等于它的内对角的四边形 5、同底同侧顶角相等的两个三角形 6、同底同侧顶角存在2倍关系的三角形 7、有公共斜边的两个直角三角形 （二）添补辅助圆的常见方法有：

1．利用圆的定义构造辅助圆：题目中含有共点的等线段时，由圆的定义，便可以共同的端点为圆心，以等线段的长为半径构造辅助圆。

2．利用圆周角的性质构造辅助圆：题目中确定直角三角形直角顶点的位置时，常利用圆周角的性质：直径所对的圆周角为直角。由此构造以斜边为直径的圆。 3.直接作三角形的外接圆（通过作两边垂直平分线的交点确定外接圆圆心）。 （三）画出辅助圆就可以应用圆的有关性质。 常用的有： 1、同弧所对的圆周角相等。

2、圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 3、圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系。

恰当地构造辅助圆，巧妙地运用圆的有关知识找到解题捷径， 往往可化难为易， 化繁为简。构造辅助圆解题的关键是要善于发现隐含于题中与圆有关的信息，抓住题目的特征，从复杂图形中提炼出构造辅助圆的基本图形，从而拓宽解题思路。因此，构造辅助圆在二次函数背景下的代几综合题中具有不可忽视的作用。

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