高中新课标数学必修

高中新课标数学必修④模块 基础题型归类

1、运用诱导公式化简与求值： 要求：掌握2k,,,,

2,

2等诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.

例1. （1）求值：cos600； （2）化简： cos2(

练1 （1）若cos(π+α)=，

4－α)+cos2(

4+α)

3<α<2π, 则sin(2π－α)等于 . 2（2）若f(cosx)cos3x，那么f(sin30)的值为 .

17（3）sin(π)的值为 .

6122、运用同角关系化简与求值：

sin），并能灵活运用. 方法：平方法、切弦互化. cossinx1sinx1例2 （1）化简； （2）已知sinx+cosx=, 且01＜α＜，则cosα－sinα的值为 .

84212sincos（2）已知tanα=3, 计算：（i）； （ii）sin2α-3sinαcosα+4cos2α. 22sincos练2 （1）已知sinα·cosα＝，且

3、运用和差角、倍角公式化简与求值：

要求：掌握和差角公式、倍角公式，能够顺用、逆用、活用，掌握基本方法（平方、1的妙用、变角、切弦互化、方程思想）.

π例3 （1）已知tan（+α）=2，求sin2α+sin2α+cos2α的值.

4

（2）已知0

43335,cos(),sin()，求cos(22)的值 445413亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载

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练3 （1）若sin（（2）已知tan(2－α）＝

3，则cos2α＝ . 5)tan()4, 且,则sin= . 44221（3）如果tan(),tan()，那么tan()= .

54443（4）如果cos2x，那么sin4x＋cos4x= . 535（5）△ABC中，已知sinA=, cosB=, 则sin(A+B)的值为 .

51311（6）已知α,β∈（0,π）且tan(),tan，则2的值为 . 2734（7）已知coscos,sinsin，则cos-的值为 .

55tan21（8）已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值.

tan35

4、结合三角变换研究三角函数性质：

要求：熟练进行三角变换，将asinxbcosx化为一个三角函数后研究性质. 方法：降次、化一、整体. 例4 已知函数f(x)2sin2x2sinxcosx1,xR..

（i）求f(x)的最小正周期及f(x)取得最小值时x的集合； （ii）在平面直角坐标系中画出函数f(x)在一个周期内的图象； （iii）说明f(x)的图象如何由ysinx变换得到； （iv）求f(x)的单调区间、对称轴方程.

练4 （1）若函数y=2sinx＋acosx＋4的最小值为1，则a= .

1tan22xxx（2）函数的最小正周期为 ；函数ysinsin(60)的最大值是 .

1tan22x22（3）已知函数f(x)5sinxcosx53cos2x的对称轴，对称中心.

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53(xR). 求f(x)的最小正周期、单调区间、图象2亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载

5、运用单位圆及三角函数线：

要求：掌握三角函数线，利用它解简单的三角方程与三角不等式. 方法：数形结合. ，则sin、cos、tan的大小顺序为 . 42（2）函数f(x)log1(sinxcosx)的定义域为 . 例5 （1）已知

2练5 （1）若cos, 则角α的取值集合为____________.

（2）在区间（0，2）内，使sinx要求：掌握扇形的弧长与面积计算公式，掌握弧度制. 方法：方程思想.

例6 某扇形的面积为1cm，它的周长为4cm，那么该扇形圆心角的弧度数为 .

练6 （1）终边在直线y3x上的所有角的集合为 ，其中在－2π～2π间的角有 . （2）若α为第三象限角，那么－α，

2122、2α为第几象限的角?

7、三角函数的定义、定义域与值域：

要求：掌握三角函数定义（单位圆、终边上点），能求定义域与值域. 方法：定义法、数形结合、整体.

4例7 （1）角α的终边过点P（－8m，－6cos60°）且cosα=－，则m的值是 .

5

（2）当x[,]时，函数f(x)sinx3cosx的值域为 .

22练7 （1）函数f(x)tan(2x)1的定义域为____________.

3（2）函数y42sinxcosxcos2x的值域为 .

1（3）把函数y＝sin(2x＋)的图像上各点的横坐标变为原来的，再把所得图像向右平移，得到 .

3388、 三角函数的图象与性质：

要求：掌握五点法作图、给图求式，由图象研究性质. 方法：五点法、待定系数法、数形结合、整体. 例8 （1）已知函数f(x)tan(2x

（2）已知函数y3sin(2x6)2.求f(x)的最小正周期、定义域、单调区间.

). （i）求此函数的周期，用“五点法”作出其在长度为一个周期的闭区4间上的简图. （ii）求此函数的最小值及取最小值时相应的x值的集合

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亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载

练8 （1）函数yAsin(x)(A0,0,)最高点D的坐标是(2,2)，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x轴的交点坐标是(4，0)，则函数的表达式是 .

（2）如图，它表示电流IAsin(t)(A0,0)在一个周期内的图象. 则其解析式为 . （3）函数ylog1sin(2x24)的单调减区间为 .

（4）函数y2cosx,x[0,2]的图象和直线y=2所围成的封闭图形的面积为 . （5）画出函数y3sin(2x3)，x∈R的简图. 并有图象研究单调区间、对称轴、对称中心.

9、向量基本运算（加减法、数乘、数量积、坐标运算）：

要求：掌握向量加减法几何意义，能熟练进行向量运算，运用向量的运算研究向量平行与垂直.

例9 （1）已知|a|4,|b|3,a,b的夹角为120°，且ca2b，d2akb，当cd时，k= .

（2）若a=（1，2），b=（3，2）， k为何值时:（i）ka+b与a－3b垂直；（2）ka+b与a－3b平行？

练9 （1）若|ab|41203，|a|4,|b|5，则a与b的数量积为 .

rr（2）向量a(x,1)与b(4,x)共线且方向相同，则x= . （3）已知A（3，y），B（5，2），C（6，9）三点共线，则y=_________.

（4）已知 a =(－3，4)，若|b|＝1，b⊥a，则b= . 10、向量的模与夹角：

要求：能运用向量运算研究向量的模与夹角问题.

例10 （1）已知|a|=4，|b|=3，（2a－3b）·（2a+b）=61，求：(i)a与b的夹角θ; (ii) |a2b|.

（2）已知ABC的顶点坐标分别为A（1,2），B（2,3），C（－2,5），求cosA.

aba练10 （1）非零向量和满足：|a||b||ab|，则与ab的夹角等于 . 1（2）已知|a|=10，|b|=12，且（3a）·（b）=－36，则a与b的夹角是 .

5（3）如果|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则|ab|等于 .

4亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载

亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载

11、向量与三角函数的交汇考查：

要求：掌握向量与三角函数的交汇. 向量坐标运算是交汇点.

22例11 （1）设a=（sinx－1，cosx－1），b=（，）. （i）若a为单位向量，求x的值；

22（ii）设f（x）=a·b，则函数y=f（x）的图象是由y=sinx的图象如何平移得到？（变式：研究性质）

33xx（2）已知a(cosx,sinx),b(cos,sin),且x[0,].

22222（i）求 ab及ab; （ii）求函数f(x)ababsinx的最小值.

25. 练11 已知向量a(cos,sin),b(cos,sin),|ab|5（i）求cos()的值； （ii）若02,20,且sin

12、向量与三角的应用模型

要求：掌握向量在物理、几何中的应用. 掌握三角模型在实践中的运用.

例12 （1）已知平行四边形ABCD，AB＝a，ADb.

（i）若向量a与b的夹角为60°，|a|2，|b|1，求|BD|，|AC|的长.

5,求sin的值. 13（ii）如果|ab||ab|，求证四边形ABCD为矩形.

（2）某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）函数，记为y=f(t)，下面是某日水深数据：

3 6 9 12 15 18 21 24 t（时） 0 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经过长期观察，y=f(t)的曲线可以近似看成y=Asint+b的图象. （i）根据以上数据求出y=f(t)的近似表达式；

（ii）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？（忽略进出时间）.

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练12 （1）一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小为 ，其方向与水流方向的夹角为 . （2）已知ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(2,1)、(1,3)、(3,4)，则顶点D的坐标为 .

（3）如图，表示电流强度I与时间t的关系式IAsin(t)(A0,0),(t的)一个解析式在一个周期内的图象.根据图象得到IAsin是 .

（4）已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，经过长期的观察，该函数的图象可以近似地看成yAsin(t)b. 下表是测得的某日各时的浪高数据：

0 3 6 9 12 15 18 21 24 t(时) 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 y（米） 1.5 依规定，当浪高不低于1米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段.

高中新课标数学必修③模块 基础题型归类

1、算法框图与语句：

要求：理解算法基本思想，掌握算法三种逻辑结构与五种基本语句（输入、输出、赋值、条件、循环）. 例1. （1）若输入8时，则右边程序执行后输出的结果是 .

（2）右图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是 .

（3）对任意正整数n，设计一个求Ｓ＝

INPUT t IF t<= 4 THEN c=0.2 ELES c=0.2+0.1(t－3) END IF PRINT c END 1

练1 （1）右边程序为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 . （2）右图输出的是的结果是 . （3）编写程序，计算12+22+32+„„+1002

111的程序框图，并编写出程序. 23nS=0 i=1 DO INPUT x S=S+x i=i+1 LOOP UNTIL _____ a=S/20 PRINT a END 亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载

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2、经典算法案例：

要求：掌握进位制转化、辗转相除法与更相减损术求最大公约数、秦九韶算法.

例2. （1）将二进制数10101（2）化为十进制数为 ，再化为八进制数为 .

（2）用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果.

（3）已知一个4次多项式g(x)6x43x35x4, 试用秦九韶算法求这个多项式在x=2的值.

练2 （1）下列各数中最小的数是（ ）. A. 85(9) B. 210(6) C. 1000(4) D. 111111(2) （2）1001101（2）= （10），318（10）= （5）

3、抽样方法与频率分布：

要求：掌握简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 能运用频率分布直方图.

例3. （1）某校1000名学生中，O型血有400人，A型血有250人，B型血有250人，AB型血有100人，为了研究血型与血弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O型血，A型血，B型血，AB型血的人要分别抽取人数为 .

（2） 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图频率/所示，则时速在50,60的汽车大约有____________辆

0.04

0.03

练3 （1）某单位有技工18人、技术员12人、工程师6人，需

0.02 要从这些人中抽取一个容量为n的样本；如果采用系统抽样和

分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果容量增加一个，则

0.01 在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，则样本容量n

为 . 40 50 60 70 80

0 （2）某公司生产三种型号的轿车, 产量分别为1200辆,6000辆

和2000辆, 为检验该公司的产品质量, 现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验, 这三种型号的轿车依次应抽取 辆.

4、样本数字特征：

要求：掌握样本中心位置特征数（平均数、中位数、众数）与离散程度特征数（标准差、方差）的计算. 例4. 给出下列四种说法：

① 3，3，4，4，5，5，5的众数是5； ② 3，3，4，4，5，5，5的中位数是4.5；

③ 频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率； ④ 频率分布表中各小组的频数之和等于1

其中说法正确的序号依次是 .

练4甲乙两种棉花苗中各抽10株, 测得它们的株高分别如下(单位:cm)

甲: 25,41,40,37,22,14,19,39,21,42 乙: 27,16,44,27,44,16,40,40,16,40

（1）估计两种棉花苗总体的长势:哪种长的高一些? （2）哪种棉花的苗长得整齐一些?

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5、概率基本性质：

要求：掌握概率基本性质0P(A)1等，能运用互斥事件的概率加法公式P(AB)P(A)P(B)，对立事件的概率减法公式P(A)1P(A).

例5. 一枚五分硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为

)间的正确关系式“至少二次正面向上”. 写出一个事件A、B、C的概率P(A),P(B),P(C之

是 .

练5 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成和棋的概率为 ；乙获胜的概率为 .

6、古典概型与几何概型

要求：掌握两种概率模型的特征，能运用概率模型解决实际问题.

例6. （1）玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿. （i）从中取1个球, 求取得红或白的概率. （ii）若从中取2个球，求至少一个红球的概率.

（2）甲乙两人相约某天在某地点见面，甲计划在上午8：30至9：30之间到达，乙计划在上午9：00至10：00之间到达. （i）求甲比乙提前到达的概率； （ii）如果其中一人先到达后最多等候另一人15分钟，然后离去. 求两人能够会面的概率.

练6 （1）某人一次掷出两枚骰子,点数和为5的概率是 .

（2）将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有两面涂色的概率是 .

（3）从一副扑克牌（没有大小王）的52张牌中任取2张，求： （i）2张是不同花色牌的概率； （iii）至少有一张是红心的概率.

（4）在10件产品中，有8件是合格的，2件是次品，从中任意抽2件进行检验，计算：（i）两件都是次品的概率；（ii）2件中恰好有一件是合格品的概率；（iii）至多有一件是合格品的概率

（5）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标(m,n)，则点P在圆x2y225外的概率是 .

（6）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人会面的概率.

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