量子力学课后答案

第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射

第七章 自旋和全同粒子

301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：mTb, b2.910mC。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

8h31 dd， h3c ekT1 cc及 、d2d得  8hc1，  5hcekT1

dhc令x ，再由0，得.所满足的超越方程为 d kTxex 5x e1

hc 4.97，将数据代入求得mTb, b2.9103m0C 用图解法求得x4.97，即得mkT

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 0hh107.0910m7.09A 解： p2mE

# 31.3. 氦原子的动能为EkT，求T1K时氦原子的de Broglie波长。

2 h0hh1012.6310m12.63A 解： p2mE3mkT 27231其中m4.0031.6610kg，k1.3810JK

# 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场B10T，玻尔磁子B0.92310JT，求动能的量子化间隔E，并与T4K及T100K 的热运动能量相比较。 p212q2 解：（1）方法1：谐振子的能量E 22

231 绪论 第一章 p2q2可以化为1 22

2E2E 2

2E

的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a2E,b，相空间面积为 2  2EEpdqabnh,n0,1,2,  所以，能量Enh,n0,1,2, q2q0，其解为 方法2：一维谐振子的运动方程为

qAsint

速度为 qAcost，动量为pqAcost，则相积分为 2222TTAAT222pdq Acostdt(1cost)dtnh，n0,1,2, 0022

22Anh Enh，n0,1,2, 2T 2vv evB（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由，得R ReB

2 再由量子化条件pdqnh,n1,2,3,，以,pRvReBR2分别表示广义坐标和相应 的广义动量，所以相积分为 2n2Rpdpd2Rv2eBRnh，，由此得半径为，n1,2,。 n1,2, 0eB 211eBR122n Ev2eBnBB 电子的动能为222eB  EBB91023J 动能间隔为 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为EkT，所以当T4K时，E4.521023J；当T100K 时，E1.381021J。

1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子

波长最大是多少？

hc hec2，其中e为电子的静止质量，而，所以解：转化条件为，即有 ec

0 h6.6261034maxc0.024A（电子的康普顿波长）。 318 c9.110310e



第二章 波函数和薛定谔方程

2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 ( r，t)(r)f(t)

iEt

(r)e

i J(**)2m

iiii EtEtEtEt*i [(r)e（(r)e）*(r)e（(r)e）]

2m

i** [(r)(r)(r)(r)]2m  可见 J与t无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：

1ikr1ikr (1)e (2)e 12rr

从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点) 传播的球面波。 

解：J1和J2只有r分量

11ee 在球坐标中 r0 rrrsin

i** (1) J1(1111) 2m i1ikr1ikr1ikr1ikr [e(e)e(e)]r0

2mrrrrrr

i111111 [(2ik)(2ik)]r02mrrrrrr

kk rr203 mrmr  J1与r同向。表示向外传播的球面波。 i** J(2) (2222)2m

i1ikr1ikr1ikr1ikr (e)e(e)]r0  [e2mrrrrrr

i111111  [(2ik)(2ik)]r02mrrrrrr

kk r3r 20 可见，J2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 mrmr补充：设(x)e，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？

*dxdx 

2 ∴波函数不能按(x)dx1方式归一化。

 其相对位置几率分布函数为 2 1表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3 一粒子在一维势场

，x0  0xa U(x)0，

，xa

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解： U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程 ikx 2d2(x)U(x)(x)E(x)  2mdx2 在各区域的具体形式为

2d21(x)U(x)1(x)E1(x) ① Ⅰ：x0  2mdx2 2d22(x)E2(x) ② Ⅱ： 0xa  2mdx2 22d xa 3(x)U(x)3(x)E3(x) ③ Ⅲ：22mdx

由于(1)、(3)方程中，由于U(x)，要等式成立，必须 1(x)0 2(x)0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

d22(x)2mE 22(x)0 方程(2)可变为2dx

令k22mE，得 2

d22(x)

k22(x)0 2 dx 其解为 2(x)AsinkxBcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得

2(0)1(0) ⑤

2(a)3(a) ⑥ ⑤ B0 A0 ⑥ Asinka0 sinka0kan (n1, 2, 3,)

n ∴2(x)Asinx a 由归一化条件 2 (x)dx1  a22n得 Asin0axdx1 由 absinmnaxsinxdxmn aa2A 2a 2 k

E n

对应于E n的归一化的定态波函数为 i2 nEntsinxe, 0xa n(x ,t)aa 0, xa, xa1

2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A a nAsin(xa), xa a证：n  0, xa 由归一化，得 an21ndxA2sin2(xa)dxa a a1nA2[1cos(xa)]dxa2 aa

A2A2an  xcos(xa)dx2a2aa

a2 A2aAasinn(xa)2na a A2a1

∴归一化常数A a2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

12x2

解：(x) 2xe2 2 2221(x)1(x)42x2ex 2 23222x xe



22d1(x)23 [2x22x3]ex  2(x)2nsinxaa2mE2 222n (n1,2,3,)可见E是量子化的。 2ma2 dx

d1(x)1  令x x 0，得 x0 dx

由1(x)的表达式可知，x0 ， x时，1(x)0。显然不是最大几率的位置。 d21(x)23222232x2 而 [(26x)2x(2x2x)]edx2  3224[(1 52x224x4)]ex

d21(x)4311 ， 可见是所求几率最大的位置。 20x2edx1x2 # 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(x)U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇 称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为

 2d2(x)U(x)(x)E(x) ① 2 dx2 2d2(x)U(x)(x)E(x) ② 将式中的x以(x)代换，得  2dx2

2d2(x)U(x)(x)E(x) ③ 利用U (x)U(x)，得 2dx2

比较①、③式可知，(x)和(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写

的是同一个状态，因此(x)和(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演

(x x)而得其对方，由①经xx反演，可得③， (x)c(x) ④ 由③再经 xx反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。  (x)c(x) ⑤

22 ④乘 ⑤，得 (x)(x)c(x)(x)， 可见，c1，所以 c1

(x)(x)，(x)具有偶宇称， 当c 1时， (x)(x)，(x)具有奇宇称， 当c 1时， U(x)U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 当势场满足

2.7 一粒子在一维势阱中 U00, xa) U(x  0, xa

运动，求束缚态(0EU0)的能级所满足的方程。

解：粒子所满足的S-方程为

2 d2(x)U(x)(x)E(x) 22 dx 按势能U (x)的形式分区域的具体形式为 2 d21(x)U01(x)E1(x) xa ① Ⅰ： dx222 d22(x)E2(x) axa ② Ⅱ： 2dx2 2d23(x)U03(x)E3(x) ax ③ Ⅲ： 22dx

整理后，得

Ⅰ： 12(U0E)210 ④

 Ⅱ： . 2 2E220 ⑤

Ⅲ： 32(U0E)30 ⑥

2 令 k22(U0E)22E12 k22 则 Ⅰ：

k2 Ⅱ： 1110 ⑦

. 22k220 ⑧ Ⅲ：

3k2110 ⑨ 各方程的解为

kxBek1x1 Ae1  2Csink2xDcosk2x  k3 Ee1xFek1x

由波函数的有限性，有

 1()有限 A0 有限 E0 3()因此

1 Bek1x Fek 1x3 由波函数的连续性，有



1

(a)2(a),Bek1aCsink2aDcosk2a 1 (a)2(a),kk1Be1ak2Ccosk2ak2Dsink2a(a)k2aDcosk2aFe1a2 3(a),Csink  (a)3(a),k2Ccosk2ak2Dsinkk22ak1Fe1a 整理 (10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 k1a eBsink2aCcosk2aD00 k1ek1aBk2cosk2aCk2sink2a D00 0sinkcoskka0 2aC2aDe1F 0kcoskaCksinkaDkek 222211aF0

(10)(11)(12)(13) 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须 0 k1a0sink2acosk2ae 0k2cosk2ak2sink2ak1Bek1a

k2cosk2ak2sink2a0 k1a0esink2acosk2aek1a

k2cosk2ak2sink2ak1ek1a sink2acosk2a0 k1ek1asink2acosk2aek1a k1akcoskaksinkake22221

kaka22ka e 1[k1k2e1cosk2ak2e1sink2acosk2ak1a  k1k2ek1asin2k2ak2esink2acosk2a]2

k1ek1a[k1ek1asink2acosk2ak2ek1acos2k2a

 k1ek1asink2acosk2ak2ek1asin2k2a]2 2k1a[2k1k2cos2k2ak2 e2sin2k2ak1sin2k2a] 2 e2k1a[(k22k1)sin2k2a2k1k2cos2k2a] 2ka ∵ e10 22 ∴(k2k1)sin2k2a2k1k2cos2k2a0 22 即 (k2k1)tg2k2a2k1k20为所求束缚态能级所满足的方程。

方法二：接（13）式

k2kCcosk2a2Dsink2a Csink2aDcosk2a 11

kk CsinkaDcoska2Ccoska2Dsinka 2222kk11

k2 k2cosk2asink2asink2acosk2a k1k10k2 k2cosk2asink2a(sink2acosk2a) k1k1 k2k2(coskasinka)(sink2acosk2a) 22k1k1

kk (2cosk2asink2a)(2sink2acosk2a)0k1k1

kk

(2cosk2asink2a)(2sink2acosk2a)0k1k1

k2k2k222 sinkacoskasinkacos2k2asink2acosk2a0222 2k1k1k1 2k2k2 (1 2)sin2k2a 2cos2k2a0k1k1

ek1ak1 ek1asink2acosk2ak2cosk2ak2sink2a00kk2 (k2k12)sin2k2a 2k1k2cos2k2a0另一解法： ka(11)-(13)2k2Dsink2ak1e1(BF) k1a2Dcoskae(BF) (10)+(12)2

(11)(13) k2tgk2ak1 (a) (10)(12) 2k2Ccosk2ak1(FB)eik1a (11)+(13) 2Csink2a(FB)eik1a (12)-(10) 11( )  (13 )  k 2 ctgk 2 a   k 1 （b） (12 )  (10 )

令 k2a，k2a， 则

 tg (c) 或 ctg (d)

2U0a2 2222(k1k2) (f) 2(a)、(b)： 合并 2kk2tgk2atg2k2a2122 利用tg2k2a k2k11tg2k2a

2-7一粒子在一维势阱

U00,xa U(x)

0,xa

中运动，求束缚态(0EU0)的能级所满足的方程。

解：（最简方法-平移坐标轴法）

2U01E1 （χ≤0） 1 Ⅰ： 2

2 E2 （0＜χ＜2a） 2 Ⅱ： 2 2U03E3 （χ≥2a） Ⅲ： 23 2(U0E)10 12

2E20  22

2(U0E) 3032

22k 1110 (1) k12(U0E)22 2k(2) k2束缚态0＜E＜U0 2220 22E 2(3)130 3k

1AekxBekx 2Csink2xDcosk2x 11 3Eek1xFek1x 1()有限 B0

3()有限 E0 因此

1Aek1x k1x3Fe 由波函数的连续性，有

1(0)2(0),AD (4)

(0),k1Ak2C 1(0)2 (5)

2k1a 2(2a)3(2a),k2Ccos2k2ak2Dsin2k2ak1Fe (6)

2(2a)3(2a),Csin2k2aDcos2k2aFe2k1a (7)

(7)代入(6) Csin2kaDcos2kak2Ccos2kak2Dsin2ka 2222kk11

利用 (4)、(5)，得 k1k

Asin2k2aAcos2k2aAcos2k2a2Dsin2k2a k2k1 kkA [(12)sin2k2a2cos2k2a]0k2k1

A0

kk (12)sin2k2a2cos2k2a0 k2k1两边乘上(k1k2)即得 2(k 2k12)sin2k2a2k1k2cos2k2a0

2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为

x0 ， , U, 0xa，0 U( x) U1, axb， bx ，0,

求束缚态的能级所满足的方程。

解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 方程为 定态S- 2d2(x)U(x)(x)E(x)  22dx

对各区域的具体形式为

21U(x)1E1 (x0) Ⅰ： 

2 U02E2 (0xa) 2 Ⅱ： 222U13E3 (axb) 3 Ⅲ：22 0E4 (bx) 4 Ⅳ： 2 对于区域Ⅰ，U(x)，粒子不可能到达此区域，故 1(x)0

2 (U0E)20 ① 而 . 22

2 (U1E) 30 ② 3 2 2E240 ③ 4  对于束缚态来说，有UE0

2 (U0E) k1220 k12 ∴ 2 ④ 2

2 (U1E)

k3230 k32 3 ⑤ 2 2 k440 k422E/2 4 ⑥ 各方程的解分别为 2 Aek1xBek1x sinkxDcoskx 3C22 k3x4EeFek3x E0 由波函数的有限性，得 4()有限， Fek3x ∴4 由波函数及其一阶导数的连续，得 2(0) BA 1(0) A(ek3xek3x) ∴ 2 kxkx 2(a)3(a)A(e3e3)Csink2aDcosk2a ⑦ (a)Ak1(ek3aek3a)Ck2cosk2aDk2sink2a ⑧  3(a)3

kb 3(b) 4(b)Csink2bDcosk2bFe3 ⑨ (b) 4(b)Ck2sink2bDk2cosk2bFk3ek3b ⑩ 3 k1ek1aek1aCcosk2aDcosk2a由⑦、⑧，得 (11)  k1ak1ak2eeCsink2aDcosk2a

由 ⑨、⑩得(k2cosk2b)C(k2sink2b)D(k3sink2b)C(k3cosk2b)D k2 kk2bsink2b)C(2cosk2bsink2b)D0 (12) (cosk3 k3 1aek1ak1ek 令ka，则①式变为 (sink2acosk2a)C(cosk2asink2a)D0 k1a1 k2ee

联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 k2k( cosk2bsink2b)(2sink2bcosk2b) k30 k3

(sink2acosk2a)(cosk2asink2a)

(coskasinka)(k2coskbsinkb)(sinkacoska)即222222k3

k

(2sink2bcosk2b)0 k3 k2k2 coskbcoskasink2bsink2asink2bcosk2a22

k3k3

kk sink2bsink2a2sink2bsink2a2sink2bcosk2a) k3k3 cosk2bsink2acosk2bcosk2a0 kk sink2(ba)(2)cosk2(ba)((21)0 k3k3 k2k2 tgk(ba)(1)() 2k3k3

把代入即得 k2ek1aek1ak2k1ek1aek1a tgk2(ba)(1)() k1ak1ak1ak1a k3eek3k2ee 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 # 附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。

(ek1aek1a)sink2acosk2a0 (ek1aek1a)kk2cosk2ak2sink2a020 k3a0sink2bcosk2be 0k2cosk2bk2sink2bk3ek3a k2cosk2ak2sink2a0

kakacosk2bek3a 0(e1e1)sink2b k2cosk2bk2sink2bk3ek3a

sink2acosk2a0 k3ak1ak1a k(ee)sinkbcoskbe122

k2cosk2bk2sink2bk3ek3a

kaka2k3a (e1e1（ )k2k3ek3acosk2acosk2bk2esink2a 2k3a cosk2bk2k3ek3asink2asink2bk2ecosk2asink2b）

k3bk3bk1bk1b k(ee（)kkesinkacoskbkecosk2a123222

cosk2bk3ek3bcosk2asink2bk2ek3bsink2asink2b））

2(ek1aek1a)[k2k3cosk2(ba)k2sink2(ba)]ek3b

kb2 e [(k1k3)k2cosk2(ba)(k2k1k3)sink2(ba)]e3 ka2 e1[(k1k3)k2cosk2(ba)(k2 k1k3)sink2(ba)]ek3b0

2 [(k1k3)k2(k2k1k3)tgk2(ba)]ek3b 2 [(k1k3)k2(k2k1k3)tgk2(ba)]ek3b0 2k1a2k1a22 (k2k1k3)]tgk2(ba)(k1k3)k2e [(k2k1k3)e (k1k3)k20 此即为所求方程。 第三章 力学量的算符表示

2x2it 22e3.1 一维谐振子处在基态(x)，求：  122Ux； (1)势能的平均值 2

p2 (2)动能的平均值； T

k1a (ek1aek1a)[k1k3sink2(ba)k1k2cosk2(ba)]ek3b

(3)动量的几率分布函数。

1122222x2xedx 解：(1) Ux22

111112 22222222422

 1135(2n1)2nax2xedx  0 a42n1an

p21*ˆ2(x)dx (2) T(x)p

22 1122x22x21d2  e2()e2dx 2dx 22222

(12x2)exdx  2 22222x2[edx2x2exdx]  2

22 [23]

2

22222 2442

1  4

111 或 TEU 244

* (3) c(p)p(x)(x)dx 22 2112 e2x2eiPxdx 212ip2p2 (x)122222  edx 2 p21ip2(x2)21222  e2 edx 2

p2p2 122221222 ee 2 动量几率分布函数为 p21222 (p)c(p) e 

#

1er/a0，求： 3.2. 氢原子处在基态(r,,)3a0

e2 (1)r的平均值； (2)势能的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； r (5) 动量的几率分布函数。  1 e12x22eiPxdx 122r/a022

rersin drd d 解：(1)rr(r,,)d3000a0

432r/a0 n!radr xneaxdxn1 30 a00a 43!3a0 34 2a02 a0

e2e2212r/a02(2)U()3ersin drd d ra0000r

e222r/a03ersin drd d 000a0

2 4e 3e2r/a0r dra00

4e21e232 a02a0 a0

(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 242r/a0222(r)dr[(r,,)]rsin drd derdr 300a0

42r/a02r (r)3e

a0d(r)423(2r)re2r/a0 dra0a0d(r) 令 0，  r10, r2, r3a0 dr 当 r10, r2时，(r)0为几率最小位置 d2(r)48422r/a0 (2rr)e232 a0dra0a0

d2(r)82e0 3dr2ra0a0

∴ r a0是最可几半径。 1222 ˆ111ˆp 22(r2)(sin) (4)Trsinrrsin22 22 221r/a02r/a02 Te(e)rsin drd d 3 2000a0

221r/a01d2dr/a02 e[r(e)]rsin drd d 322000a0drdrr 241r2r/a0 ((2r)e dr 3 0a02a0a0 22a0a0422  (2)4200 (r) (5) c(p )*(r,,)d pi prcos211r/a02erdresin dd c(p )003(2)3/20a0

iprcos22r/a0 redre d(cos) 03/230 (2)a0 iprcos2  r2er/a0dre3/230ipra0 (2)0ii pr2r/a0prn!re(ee)dr xneaxdxn1 3ip00a(2)3/2a0

211

[] i21i2 (2)3/2a3ip10(p)(p) a0a044 a0414ip  2222233332a0a0(a0p)2a0ipa(1p)2 02a02

3/2(2a)0 2222(a0p)

35 8a02动量几率分布函数 (p)c(p)2 224 (a0p)#

3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 JerJe0 2a442a Jee m2nm  rsin 证：电子的电流密度为 i**JeJe(nmn emnmnm) 2

在球极坐标中为

11ee er rrrsin 式中er、e、e为单位矢量 1i1* JeeJe[nm(eree)nm2rrrsin

11 * nee)nm]m(er rrrsin ie*1**[er(nmn)e(nmmnmnmnm 2rrr 11*1** )e(nm)]nmnmnmnmnm

rrsinrsin

nm中的r和部分是实数。

ieem222 (imnmimnm)e nme ∴ Je2rsinrsin

可见，JerJe0 2 Jem enm rsin

3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1) 求一圆周电流的磁矩。 (2) 证明氢原子磁矩为 me(SI)2

 MM zme (CGS)

2c

原子磁矩与角动量之比为

e  (SI)M2 z Lze (CGS) 2c这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为 dMiAJedSA （i为圆周电流，A为圆周所围面积） em2

nmdS(rsin)2  rsin

emrsinnmdS 2 em22rsinnmdrd (dSrdrd)   氢原子的磁矩为 (2) em2nmr2sin drd MdM 00 em222 nmrsin drd 002 em222 nmrsin drdd 2000

em (SI)

2

em 在CGS单位制中 M 2c

原子磁矩与角动量之比为

MzMMee  (SI) z (CGS) LzLz2Lz2c L23.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H，L为角动量，求与此对应的量子体系 2I 在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动：

(2) 转子绕一固定点转动：

22解： (1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 LLZ 22 1d2ˆ与t无关，属定态问题) ˆˆ 哈米顿算符 H, 其本征方程为 (HLZ2 2I2Id 2d2()E()

2Id2 2 2()2d

2IEd2() 2 令 m2，则 m2()0 2 dim 取其解为 ()Ae (m可正可负可为零) im(2)eim 由波函数的单值性，应有 (2)()e

i2me1, ∴m= 0，± 即 1，±2，…

m22 转子的定态能量为Em (m= 0，±1，±2，…) 2I

可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为

mAeim, A为归一化常数，由归一化条件

22* 1mmdA2dA2200 1 A2

d()2IE ∴ 转子的归一化波函数为 m 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 1ime 2ˆˆ (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 HL2I

1ˆ2ˆ与 t无关，属定态问题，其本征方程为 LY(,)EY(,) H2I

ˆ (式中 Y(,)设为H的本征函数，E为其本征值) ˆ2Y(,)2IEY(,) L22ˆ2Y(,)2Y(,) 令 2 IE，则有 L ˆ2的本征方程，其本征值为 此即为角动量L 222 L(1) (0, 1, 2, ) m 其波函数为球谐函数Ym(,)NmP(cos)eim

(1)2

∴ 转子的定态能量为 E 2I 可见，能量是分立的，且是(21)重简并的。

1

3.6 设t=0时，粒子的状态为 2 (x)A[sinkx12coskx]

求此时粒子的平均动量和平均动能。 211解：(x)A[sinkx12coskx]A[2(1cos2kx)2coskx]

A [1cos2kxcoskx] 2

Ai2kxi2kxikxikx1 [11(ee)(ee)] 222

A2i0x1i2kx1i2kx1ikx1ikx1

 [e2e2e2e2e] 22 pn的可能值为0 可见，动量2k 2k k k 2 pn2k222k22k22k22 的可能值为0 动能222

A2A2A2A2A2 n应为 ( )2 对应的几率416161616

11111 ( )A2 28888

上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得

A2A2A2n(4)22 14162n

∴ A1/ ∴ 动量 p的平均值为  p

2222AAAA 02k22k2k2k2016161616

2 p2pn Tn 2n2 2k221k22122 0npnn8285k22  8

3.7 一维运动粒子的状态是

Axex, 当x0 (x) 当x0 0,

其中0，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 (1)先求归一化常数，由 解： 2(x)dxA2x2e2xdx 10

1

A2 34

3/2 ∴ A2   (x0) (x)2xe (x)0 (x0)  111/2eikx(x)dx()23/2xe(ik)x(x)dx c(p) 22 231/2x1(ik)x)[ee(ik)xdx (02ikik

231/2x231/21)() (2p22(ik)(i)2



动量几率分布函数为

23123312(p)c(p)

2p22(22p2)2 (2)

dxˆ(x)dxi43xex *(x)p(e)dx (2) pdx 3i4x(1x)e2xdx  3(xx2)e2xdx i4

11 3) i4(2 442 0

a，如果粒子的状态由波函数 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为

( x)Ax(ax) 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：由波函数 (x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为 3/22x

2nsinx, 0xa (x )a a 0, x0, xa 222n E n (n1， 2， 3， ) 22a

动量的几率分布函数为(E)Cn an Cn *(x)(x)dxsinx(x)dx 0a 先把 (x)归一化，由归一化条件， aa2222222(x)dxAx(ax)dxAx(a2axx)dx 1 00aA2(a2x22ax3x4)dx 

0

5555aaaa22 ()A A 32530

30

∴A a5 a230nsinxx(ax)dx ∴ C n50aaa aa215nnxdxx2sinxdx]  3[axsin00aaa

2 15a2na3na2n 3[xcosx22sinxxcosxnaanaan a232an2an  xsinxcosx]2233aann0

415n 33[1(1)] n 2402n2 ∴ (E)Cn66[1(1)] n 960，n1， 3， 5，  n66 0，n2, 4, 6, 

aˆ2pˆ E(x)H(x)dx(x)(x)dx 02

a302d2 x(xa)[x(xa)]dx 20a52dx 302a302a3a3 x(xa)dx() 550 23aa

52 a2

23.9.设氢原子处于状态 R21(r)Y11(,) (r, ,)R21(r)Y10(,)22

求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

解：在此能量中，氢原子能量有确定值

es2es22 (n2) E 222

角动量平方有确定值为 2 22 L(1)2 (1)

角动量Z分量的可能值为

LZ10LZ2

其相应的几率分别为 13 ，

44 其平均值为 133 LZ 0 444

3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为

, ra; U(r) 0, ra 求粒子的能级和定态函数。 解：据题意，在ra的区域，U(r)，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波 函数 0 (ra) a的区域内，U(r)0。只求角动量为零的情况，即0，这时在各个方向发现粒子的几 由于在r 、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而率是相同的。即粒子的几率分布与角度 (r)，则粒子的能量的本征方程为 与、无关。设为 21dd(r2)E  2rdrdr

2Ek22，得 令 U(r) rE, 132n8d2u k2u0 2dr

其通解为 

AB (r)coskrsinkrrr

波函数的有限性条件知， (0)有限，则

A = 0 B(r)sinkr ∴ 

r B(a)0  sinka0 由波函数的连续性条件，有

a(n1,2,) ∵B 0 ∴kan

n n222 ∴ En k  2 u(r)AcoskrBsinkra2a (r)Bnsinr ra其中B为归一化，由归一化条件得 00

an 2sin24Brdr2 aB20a

1

∴ B 2 a ∴ 归一化的波函数

n

sinr1 a # (r)2 ar

223.11. 求第3.6 题中粒子位置和动量的测不准关系(x)(p)? 1dd(r)r2sin dr0a2 p0 解： 2522 p2 Tk 41 2 xAx[sin2kxcoskx]2dx0  21 2 xA2x2[sin2kxcoskx]2dx  2 (x)2(p)2(x2x2)(p2p2) 3.12.粒子处于状态 11/2ix2 )exp[p0x2] (x)(224

式中 为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系(x)2(p)2? 解：①先把(x)归一化，由归一化条件，得

x2x   (2)2211x22 1edxed() 222222

111/2 () 222 2 21 ∴ / 2

∴ 是归一化的

i2 (x)exp[pxx] 02

② 动量平均值为 ii p0x x2 p0x x2di22*(i)dxie( p0 x)edx p dx

i x2dx i( p0 x)e 2 x2dxi xe xdx p0e p0

③ (x)2(p)2?  x*xdxxe xdx （奇被积函数） 2 x2

1   2ii2 p0xx2dp0xx2d2222 * dxee dx pdxdx

222p0 2)i2p0xexdx22x2ex dx (

2p0 212)0(22)(2p0) ( 222 212 (x)xx 22222 222 (p)pp(p0)p0 22 121222 (x)(p) 224

第四章 态和力学量的表象 Lx的矩阵元和L2x的矩阵元。 4.1.求在动量表象中角动量ii pr13prˆzzpˆy)ed )e(yp 解：(Lx)p p(2 iipr13pr ()e(ypzzpy)ed 2

ii13prpr )e(i)(pzpy)ed (2pp yzi r13（pp）(i)(pp)()ed zy pypz2

i(pp)(pp) yzpzpy

*2 (L2)xp pp(x)Lxpd ii pr13pr2ˆzzpˆy)ed )e(yp ( 2ii pr13prˆˆˆˆ()e(ypzzpy)(ypzzpy)ed

2 ii13prprˆzzpˆy)(i)(py ()e(yppz)ed 2pzpy

iipr13pr ˆzzpˆy)ed pz)()e(yp (i)(py pzpy2i r213（pp）2(pypz)()ed

pzpy2

2 2(pypz)(pp) xe2 x221dxxex212e xdx 2pzpy4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 un(x)sinx 解：基矢：aa

222n E 能量： n22a

a2ma1u

xsin2xdx ucosnudu2cosnusinnuc 对角元：xmm0a a2nn2amn

(sinx)x(sin)dx 当时，mn xmn0aaa

1a(mn)(mn)xcosxcosxdx a0aa a21a(mn)ax(mn) [cosxsinx]22aa(mn)a(mn)0 a a2(mn)ax(mn)cosxsinx] [a(mn)a(mn)220

a11mn(1)122 2(mn)(mn)

a4mn2(1)mn1 222(mn)

a2mdn*ˆun(x)dxi pmnum(x)psinxsinxdx0aadxa

2namn i2sinxcosxdx0aaa

na(mn)(mn)

i2sinxsinxdx0 aaa aa(mn)a(mn) incosxcosx 2a(mn)a a(mn)0

na11(1)mn1] i2a(mn)(mn)

(1)mn1i2mn(m2n2)a

cos(mn)ucos(mn)usinC mucosnudu2(mn)2(mn)

2n4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 解：定态薛定谔方程为 21p222d C(p,t)C(p,t)EC(p,t) 222dp 221dp22 即 C(p,t)(E)C(p,t)0 222dp

2

两边乘以，得  1d22Ep2 C(p,t)()C(p,t)0 1dp2 

11令  p p, 

2E  d 22C(p,t)()C(p,t)02 d 跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为

En(n12)

1i2p2Ent 2C(p,t)NneHn(p)e

Nn为归一化因子，即 式中 1/2 N()n1/2n 2n!

4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

解：

1212212222ˆˆxH px2222x2

ˆHpp*p(x)Hp(x)dx

iipxpx122122 e(x)edx22x22

ii(pp)x(pp)x 2i112122(p)edxxedx 2222 2i2(pp)xp1212 (pp)()edx222ip2

i2(pp)x p21122(pp)()edx 22ip2 22

p1(pp)22(pp)222pˆ2和Lˆ的共同表象中，算符Lˆ和Lˆ的矩阵分别为 L4.5 设已知在Zxy

0100i0 2 Lx101 Lyi0i 220i0010

Lx和Ly对角化。 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵

x的久期方程为 解：L  02 0320 22 0 2

10，2，3  ˆ的本征值为 ∴L0，， x ˆ Lx的本征方程

a1 010a1  101a2a2 2 a010a33

a1 ˆ2和Lˆ共同表象中的矩阵 ˆ的本征函数L 其中a2设为LZx

 a3 当1 0时，有 10a100

101 a20 2 010a30 a02 aa，a20  130 a3a120 2a a1

∴ 00 a1 由归一化条件

a1 2**(a,0,a)0 102a1 011a 1 1 取 a1  2

12ˆ的本征值0 。 对应于L 00x 1 2

当2 时，有 a1 010a1 101a2a2 2a 010a33

 2a2 a11

(a1a3)a22 a31

a2 2 a1

∴ 2a1 a1  由归一化条件

 1a22a1a22a3 aa13 a12*** 1(a1,2a1,a1)2a14a1 a11 取 a1  2 1

21

ˆ的本征值 ∴归一化的对应于Lx 21

2

当2 时，有 010a1a1  101a2a2 2a3 010a31 a12 aa22a111 (a1a3)a2a22a3  2aa11a33 a2 2a1  ∴  2a1 a1  由归一化条件

a1 2*** 1(a1,2a1,a1)2a14a1 a11 取 a1 2121 ˆ的本征值 ∴归一化的对应于Lx2 1 2

2ˆ和Lˆ的共同表象变到Lˆ表象的变换矩阵为 由以上结果可知，从LZx

111 22 211 S 0 22 111 222 L ∴对角化的矩阵为xSLxS 1110

201022 111 Lx101022 220101111 222 2111 222000

1111 10  22222 111111 22222

000000  2000 02  00200 按照与上同样的方法可得

ˆ的本征值为 L0，， y ˆ的归一化的本征函数为 L y

11 122 2i 0 0  2 11 22

ˆ2和ˆ的共同表象变到Lˆ表象的变换矩阵为 从L LZy121212 212121i 212 1111 2222 ii1 S0S2 22 11112 222 ˆ利用S可使Ly对角化 0ii22121 212000SLS00 L yy004.6. 求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为  J t i(**) ∴ J2 iJ(**) 而 

2

i(2**2) 2

1ˆ**Tˆ) (T i

ˆTˆ*) i ∴ (*Tt *()ˆTˆ*) i(*T t

写成矩阵形式为 ˆTˆi ()Tt ˆ(Tˆ)*TT*0i ()T t第五章 微扰理论

r0、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 能量的一级修正。 rr0的区域有影响，对rr0的区域无影响。据题意知 解：这种分布只对 ˆU(r)U(r) H0

其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，即

2ze U（ r） 40r

rr0区域， U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在 Ze2 U(r )4r 0

在rr0区域，U(r)可由下式得出，  U(r) eEdr rZe43Ze 1rr, (rr0)233 434rr4r00003E Ze (rr0) 240r r0 U(r)eEdreEdr rr0 Ze2r0Ze21 rdrdr 3240r0r40r0rZe2Ze2Ze222 (r0r)(3r02r2) (rr0) 3340r080r080r0 Ze2Ze222(3r0r) (rr0)3ˆU(r)U(r)H4r 8r0000 0 (rr0)

ˆHˆ(0)2U(r)，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态 由于r0很小，所以H02

Z Z3ra0(0)1/2） 1( 3)ea0 (1)(0)*ˆ1(0)d E11H 2Z 2rZ3r0Ze2Zea022 [(3r0r)]e4r2dr 3340ra0080r0 2Zra0 1。 ∴ra0，故e r0Z4e2Z4e2r0(1)224 ∴ E1 (3r0rr)drrdr 3303020a0r00a0

r05Z4e2Z4e225  (r0)r 3330520a0r020a0

Z4e2 r2 30 100a042 2Zes2 r0 3 5a0 5.2 转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态 能量的二级修正。  解：取 的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为 ˆ212 ˆLˆDcos DL H 2I2Iˆ (0)1Lˆ2, ˆDcos，则 取HH 2Iˆ(0)Hˆ ˆH H ˆ视为微扰，用微扰法求得此问题。 由于电场较小，又把H (0)ˆ的本征值为E(())1(1)2 H 2I(0) 本征函数为 Ym(,) 0）ˆ(0)的基态能量为 HE（0，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 0

2H (2)0 (0) E0 (0) E0E*(0)ˆ(0) 0 HH0dY*m(Dcos)Y00sin d d

* DYm(cos Y00)sin d d

41 DY* Ysin d d m10 34 D*Y 0 Y10sin d d

3

D1 23 E(2)0 'H02(0)E0E(0)'D222I12 D22I 1223(1)3i prer11r/a0*ˆ3/2Fd()e()ed 其中Fmkmk z（） p32i2a0

取电子电离后的动量方向为Z方向， 

取、p所在平面为xoz面，则有 rxyyzz  xθ r α  ( sin)(rsincos)(cos)(rcos)   rsinsincos cosrcos O y

x ip rcos 13/21eFmk()e( rsinsincos rcoscos)er/a0d32i 2a0

13/21eFmk( )32i2a0 i 2p rcos e(rsinsincos rcoscos)er/a0r2sindrd d000

ˆ的作用，微扰矩阵元为5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：E01及E02，现在受到微扰H

Ha，H11H22b；a、b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 H12 21 解：由微扰公式得

(1) E nHnn 2 Hmn(2)' En  (0)(0)EEmnm (1)(1)b E02b H22 得 E01H11

2H )a2m1(2' E01  E01E0mE01E02m2

Ha2m1(2)' E02  E02E0mE02E01m

∴ 能量的二级修正值为

2a E1 E01b EE0102

a2

E2E02b E02E01

5.4设在t0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为sin t，及 均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。

解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为 4es   minhvminEE122

es413.61.61019 3.31015Hz vmin3426.62102h

②t 0时，氢原子处于基态，其波函数为 1 ker/a0 3a0

i 13/2pr)e 在t 时刻， m( 2 eri tˆ(t)ersint(eei t) 微扰 H2i ˆi t(eei t) F

erˆ 其中 F 2i

在t时刻跃迁到电离态的几率为 2 Wkm a(t)m

1t

eimktdt am(t)Hmki0

tF i()t mk(emkei(mk)t)dt i0 Fmkei(mk)t1ei(mk)t1 [] mkmk 对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， Fmkei(mk)t1 a m(t) mk 2F(ei(mk)t1)(ei(mk)t1)2mk Wkmam(t) 22() mk2 4Fsin21mk2(mk)t 

2(mk)2 iprer11ˆ *F)3/2e()er/a0d 其中Fmkmkd(z（） p32i2a0

取电子电离后的动量方向为Z方向， 取、 p所在平面为xoz面，则有  r xxyyzz (sin)(rsincos)(cos)(rcos)  rsinsincos cosrcos  α θ r O y Fmk(12)3/2ee32ia01ip rcosx ( rsinsincos rcoscos)er/a0d 2 i2p rcos e(rsinsincos rcoscos)er/a0r2sindrd d000 i2p rcos11e3/2( )e(cos r3cossin)er/a0drd d 32i000a0 2i p rcos13/21ecosr/a)2r3e0dr[ecossin d (0032i2a0

iiiip rp rp rp recos2 3r/a0re[(ee)22(ee)]dr 03 iprpri22a0

ecos16p1  23iai22a00(1p)3 2a02

7/216pecos(a)0  22238(a0p)

2 4Fmksin212(mk)tW ∴ km22(mk) 21222275sin128pecosa02(mk)t  222262(a0p)(mk)

i2p rcos11e3/2( )e(cos r3cossin)er/a0drd d 32i000a0 2i p rcos13/21ecos3r/a0)2redr[ecossin d (0032i2a0

iiii2p rp rp rp recos 3r/a0re[(ee)22(ee)]dr 3iprpri2 2a00

ecos16p1 23iai22a00(1p)3 2a02

7/216pecos(a)0  22238(a0p)

2 4Fmksin212(mk)tW ∴ km22(mk) 21222275sin128pecosa02(mk)t  222262(a0p)(mk)

Fmk(1)3/2e32ia015.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即

当t00,  t/当t0(为大于零的参数)0e,

求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。

解：对于2p态，1，m可取0, 1三值，其相应的状态为 210 211 211 211 、211的几率之和。 氢原子处在2p态的几率也就是从100跃迁到210 、 1timkt 由 am(t)Hedt mk 0i* ˆˆ H210,100210H100d (He(t)rcos) * (取方向为Z轴方向) RYe(t)rcos RYd21101000

23* Y10Y00cossind d e(t)R21rR10dr000

1 (cosY00Y10) 3

2*1 e(t)fY10Y10sind d003

1e(t)f 3 256*R21(r)R10(r)r3dra0 f0 8163

13/2213/242a0r ()()redr 02a03a0a0

114！255256 aa0 05 6a438160

*ˆd1e(t)f HH 210,100210100

3

e(t)2561282 a0e(t)a0 2433816

* He(t)211rcos100d 211,1000 23*e(t)RrRdrYcosY00sin d d 211011 0002 3*1Y11Y10sin d d e(t)R21rR10dr000 3 = 0 *ˆ1,10021 H211H100d 2*3e(t)RrRdrY11cosY00sin d d 2110 0002* 13Y11Y10sin d d e(t)R21rR10dr000 3 = 0  W1002110， W1002110 由上述结果可知， ∴ W1s2pW100210W100211W100211 21ti21t,100edt W1002102H210

0 2t21282i21tt/22()(ea00)eedt

0243 2ti21t e1 21282222)ea00 2( 12432221  时， 当t 212822221)ea00 1s2p2( 12432212   es43 es43 es211 其中21(E2E1) (1)33 48a028

5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 34es2mk2r 解： Amkmk3c3

由选择定则1，知2s1s是禁戒的

故只需计算2p1s的几率

EE1 212 

es413es4 3(1) 3482 2222 而 r21x21y21z21 2p有三个状态，即 210, 211, 211 (1)先计算z的矩阵元 zrcos  *R21(r)R10(r)r3dr1*mcos Y00d (z)21m,1000

1 fY1* Y00d m3

1 fm0 3

1

f (z)210,100 3 (z)211,1000 (z) 211,1000

 (2)计算x的矩阵元 xrsincos (x)21m,100rsin(eiei) 21*3*iiR(r)R(r)rdrYsin (ee)Y00d 21101m 20 12fY1* m(Y11 Y11)d  23 1f(m1m1)  6 331Ysin ei Y11sin ei Y00 11 884 x)210,1000 ( 1f (x)211,100 6 1f (x)211,100 6 1(3)计算y的矩阵元 yrsinsinrsin(eiei) 2i

1*3*iiR(r)R(r)rdrYsin(ee) Y00d ( y)21m,10021101m02i

1f2() m1m12i3

1 f(m1m1) i6

(y)210,1000

i (y)211,100f 6

i (y)211,100f 6

2f2f212 1s(22f)f2 r2p663 (4)计算f

256*R21(r)R10(r)r3dra0  f0816

313/2213/242a0r

)()redr (0 2a0a3a00

114！255256272 a0a0a04 453336a0816

15222 f 9a0 3

34es2212 r A2p1s21 33c

4es23es432152

()9a0 33 83c3 283e1422s 7103() 2 3c es

28e1091 76s31.9110s 3c 15.231010s0.52109s A215.7 计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 解： J2p1sN2pA2p1s21 28 e103 es4sN2p7362 3c8 252e14N2p68s3 2110.2eV

3c

e1025 N2p63s42

3ca0

9 N3.110W 2p

9 若 N2p10，则 J213.1W

5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 22 解： Amkrmkxmk

* xmkmxkdx

1kk1x[k1] 由 kk122 * mndxmn 1kk1m,k1m,k1] xmk[ 22 mk1时， xmk0  即选择定则为 mmk1

ˆxˆyˆzi 7.1.证明：

ˆxˆyˆyˆx2iˆz 及 证：由对易关系

ˆxˆyˆyˆx0 ， 得 反对易关系

ˆxˆyiˆz 

ˆz，得 上式两边乘

ˆz21 ˆxˆyˆziˆz2 ∵  

ˆxˆyˆzi ∴ 

第七章 自旋与全同粒子

7.2 求在自旋态 1(S2z)中，Sˆx和Sˆy的测不准关系：

(S2x)(Sy)2? 解：在 Sˆz表象中1(Sz)、Sˆx、Sˆy的矩阵表示分别为 2

1010i1( Sz)0 Sˆx210 Sˆ2y

2i0 ∴ 在1(Sz)态中 2

SS01x1x1(1 0 ) 20100 221

S20x1Sˆ210112x1(1 

220)21021004 (S)S2222xxSx4 S0iy12Sˆy12(1 0)2i0100

 S20i0i1y1Sˆ2y1(1 0)

222i02i0024 (S)S2222yySy4

(S242x)(Sy)

16 讨论：由Sˆx、Sˆy的对易关系 [Sˆx，Sˆy]iSˆz (S2S24x)(y) 16 要求(S)2(S)22S2z

xy4

在1(Sz)态中，Sz 22

∴ (S422x)(Sy)

16 可见①式符合上式的要求。

①

ˆ的久期方程为 解：Sx

 20 2()20 22 2 ˆ的本征值为。 ∴ Sx 2

a1 设对应于本征值的本征函数为 1/2 b 21

01a1a1 ˆ ，得 10b2b 由本征方程 Sx1/21/2211 2 b1a1 b1a1ab 

11 a**1(a,a)111由归一化条件 1/21/21，得

a1

112

b1即 2a11 ∴ a1 22

11

对应于本征值的本征函数为 1/21 22

a2设对应于本征值的本征函数为 1/2  2b2

b2a2a2 b2a2ˆ1/2由本征方程 S  x1/2ba2b222 由归一化条件，得

a**2,a2) (a2a1 2

112

b 2  即 2a21 ∴ a2 22

11

 对应于本征值的本征函数为 1/21 22

ˆ的本征值为。其相应的本征函数分别为 同理可求得Sy2

ˆˆ7.3.求S及Sxy 2102i的本征函数。 010i的本征值和所属01211i21211i27.4 求自旋角动量(cos,cos,cos)方向的投影

ˆSˆcosSˆcosSˆcos Snxyz

本征值和所属的本征函数。

ˆ有哪些可能值？这些可 在这些本征态中，测量Sz

ˆ的平均值是多少？ 能值各以多大的几率出现？Sz ˆ 表象，Sˆ的矩阵元为 解：在Szn 010i10ˆScoscoscos n2102i0201 coscosicosS n2cosicoscos

其相应的久期方程 cos(cosicos) 220 (cosicos)cos2 2

222222 cos(coscos)0即 44 22(利用cos2cos2cos21)0 4

 ˆ的本征值为。 所以Sn2

a 设对应于Sn的本征函数的矩阵表示为(S)n，2b 则

coscosicosaa cos2cosicosb2b

a(cosicos)bcosb cosicosb1cos

由归一化条件，得

212a22111(a,b)abb22

**22 2cosicos22a1a a11cos1cos

1coscosicos

取 a ，得 b 2 2(1cos) 1cos

11 (Sn)cosicos2

2(1cos)

1cos1cosicos01cos1 (Sn)0222(1cos)11 1(Sn)cosicos 21coscosicos2(1cos)11 22(1cos)22

ˆ的可能值为  可见， S  z22

cos2cos21cos 1cos 相应的几率为 2(1cos)22

1cos1cosSzcos

22222

同理可求得 对应于Sn的本征函数为

2 1cos

2(S)1n2 cosicos 2(1cos)

ˆ的可能值为   在此态中， Sz22

1cos1cos 相应的几率为 22

Szcos

2 1R21(r)Y11(,)  7.5设氢的状态是 23 R21(r)Y10(,) 2

ˆ的平均值；ˆ和自旋角动量z分量S ①求轨道角动量z分量L zz

eˆ ˆˆeLS ②求总磁矩 M 2的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。 解：ψ可改写成

②

1013R21(r)Y11(,)02R21(r)Y10(,)1 2

13 R21(r)Y11(,)1(Sz)R21(r)Y10(,)1(Sz)22 22ˆ的可能值为  0 从 ψ的表达式中可看出Lz 13相应的几率为 44 Lz

4

ˆ的可能值为   Sz22

132 相应的几率Ci为 44

13 2SzCiSzi 24244

eeeeLzSz() Mz2244

e1

MB 244

7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

j，则体系可能的状态为 1i1i2i3  2j(q1)j(q2)j(q3) 1[i(q1)i(q2)j(q3)i(q1)i(q3)j 33

i(q2)i(q3)j(q1)]

1

[j(q1)j(q2)i(q3)j(q1)j(q3)i(q2) 43

解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为i，(q)(q)(q)(q2)j(q2)j(q3)i(q1)]7.7 证明S(1),S(2),S(3)和A组成的正交归一系。

解：  S(1)S(1)[1/2(S1z)1/2(S2z)][1/2(S1z)1/2(S2z)]

1/2(S2z)1/2(S1z)1/2(S1z)1/2(S2z)1/2(S2z)1/2(S2z ) = 1

(1)(2)SS[1/2(S1z)1/2(S2z)][1/2(S1z)1/2(S2z)](1)(3)SS1/2(S2z)1/2(S1z)1/2(S1z)1/2(S2 z) = 0

1[1/2(S1z)1/2(S2z)]2[1/2(S1z)1/2(S2z)1/2(S1z)1/2(S2z)]2 1/2(S2z)1/2(S1z)1/2(S1z)1/2(S2z)]1[1/2(S2z)1/2(S2z)0 ] = 0 21[1/2(S2z)1/2(S1z)1/2(S1z)1/2(S2z)同理可证其它的正交归一关系。

(3)(3) SS[1/2(S1z)1/2(S2z)1/2(S1z)1/2(S2z)]2

[1/2(S1z)1/2(S2z)1/2(S1z)1/2(S2z)] 1[1/2(S1z)1/2(S2z)][1/2(S1z)1/2(S2z)] 2 1[1/2(S1z)1/2(S2z)][1/2(S2z)1/2(S1z)] 2 1[1/2(S2z)1/2(S1z)][1/2(S1z)1/2(S1z)] 2 1[1/2(S2z)1/2(S1z)][1/2(S2z)1/2(S1z)] 2 11001 22 17.8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r)2r2。 2

如果电子之间的库仑能和U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另 一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。 1解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程

2(r)U(r)(r)E(r)222221(222)(r)2r2(r)E(r)2xyz222221 (222)(r)2r2(r)E(r)2 xyz2

考虑到 r2x2y2z2，令 (r)X(x)Y(y)Z(z)2

 2221(222)XYZ2(x2y2z2)XYZEXYZ22yz x 212X1212Y122( x)(2y2)222Xx22Yx2

212Z122(z)E 22Zx2 212X122(x)Ex2 2Xx2 221Y122 (y)Ey22Yx2

xy 212Z122z)Ez (2Zx22

12x2 Xn(x)Nne2Hn(x) 12y2 Ym(y)Nme2Hm(y)

12z2

Z(z)Ne2H(z)

12r2

nm(r)NnNmNe2Hn(x)Hm(y)H(z) 122r 2 nm(r)NnNmNeHn(x)Hm(y)H(z) 3E(nmnm2) 其中 Nn， 1/2n 2n!

对于基态nm0，H01 12r2 0000(r)()3/2e2

对于沿χ方向的第一激发态n1，m0，

H（1x)2 x

2r23/21)e2 0000(r)(

1 2r225/2EEEEz1100(r)23/4xe2两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为

1S (r1,r2)[0(r1)1(r2)1(r10(r2))]2

11 2(r12r22)2(r12r22)423/2[x2ex1e2]  142(r12r22) 3/2(x2x1)e2

1

A(r1,r2)[0(r1)1(r2)0(r2)1(r1)] 21 2(r12r22)43/2(x2x1)e2



而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即

(1)(2)(3)、S、S S和A

综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即

独态： 1S(r1,r2)A(1)(r,r)A12S三重态： 2(2)(r,r)3A12S

(3) (r,r)A12S4