基于前推回代法的配电网潮流计算

哈尔滨理工大学毕业设计（论文）任务书

学生姓名：孙聪 学号：0903010909 学 院：电气与电子工程学院 专业：电气工程及其自动化 任务起止时间：2013 年 2月 25 日 至 2013年 6 月 20 日 毕业设计（论文）题目： 基于前推回代法的配电网潮流计算 毕业设计工作内容： 1、查阅国内外相关参考文献，要求阅读20篇以上文献，了解当今电力系统的发展状况，及目前研究的热点问题； 2、复习并熟练掌握电力系统潮流计算步骤及计算过程； 3、自学前推回代法潮流计算的基本原理及过程； 4、熟悉C语言，编写配电网潮流计算程序； 5、通过实际算例验证所编写程序的可靠性和准确性； 6、撰写论文，准备答辩。 资料： 1、王守相，王成山．现代配电系统分析[M]．北京：高等教育出版社，2007． 2、刘健，毕鹏翔，董海鹏．复杂配电网简化分析与优化[M]．北京：中国电力出版社，2002． 3、何仰赞，温增银．电力系统分析(上册)(第三版)[M] ．武汉：华中科技大学出版社，2002． 4、李光琦．电力系统暂态分析[M]．北京：中国电力出版社，1998． 指导教师意见： 签名： 年 月 日

系主任意见： 签名： 年 月 日 教务处制表 哈尔滨理工大学学士学位论文

基于前推回带法的配电网潮流计算的研究

摘要

电力系统的潮流计算在电力系统稳态分析和电力系统设计中有很重要的作用，潮流计算也是电力系统暂态分析的基础。潮流计算是根据给定的系统运行条件来计算系统各个部分的运行状况，主要包括电压和功率的计算。

配电网潮流计算是配电管理系统高级应用软件功能组成之一。本课题在分析配电网元件模型的基础上，建立了配电网潮流计算的数学模型。由于配电网的结构和参数与输电网有很大的区别，因此配电网的潮流计算必须采用相适应的算法。配电网的结构特点呈辐射状，在正常运行时是开环的；配电网的另一个特点是配电线路的总长度较输电线路要长且分支比较多，配电线路的线径比输电网细导致配电网的R/X较大，且线路的充电电容可以忽略。配电网的潮流计算采用的方法是前推回代法，文中对前推回代法的基本原理、收敛性及计算速度等进行了理论分析比较。经过C语言编程，运行算例表明，前推回代法具有编程简单、计算速度快、收敛性好的特点，此方法是配电网潮流计算的有效算法，具有很强的实用性。

关键词：电力系统；配电网；潮流计算；前推回代法

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Study on distribution network power flow

calculation Abstract

Power flow calculation has a very important role in power system steady-state analysis and power system design, and it is also the basis of transient analysis in power system. Flow calculation is based on given conditions of the power system and calculates the operational status of every part of the system, including voltage and power.

With the development and application of the power electronics installations, the pollution of the harmonics becomes more and more serious in the network. The reactive source is used widely in many fields. Many kinds of methods based on the active filter to restrain the harmonics and to compensate the reactive power are taken into this field. And the detection of harmonics and reactive current is very crucial to harmonic restraint and reactive compensation. This thesis starts with the definition of the Fryze time-domain theory and the instantaneous reactive power theory, and the methods for harmonics detecting and reactive current based on these theories is also discussed respectively in this thesis. Thereafter , taking the three-phase three-wire symmetrical circuits as research object, using the software which named PSCAD/EMTDC, simulation model through which we can make computer simulation is built based on Fryze theory and instantaneous reactive power theory. From the interrelated wave we got from simulation, the fundamental reactive current we got from calculation and generalized instantaneous reactive current we got from detection. Those theories have the advantage of their own in detecting the harmonic and reactive current. After the C programming language, run example ,the result of the

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research indicates that Fryze theory has specific physical meanings, easily to be realized and calculated, but it need a longer delay time. Instantaneous reactive power theory has the advantage of a shorter delay time, much more exactly in detecting the harmonic and reactive current.

Keywords:Power systems；fryze theory；instantaneous reactive power

theory； harmonic；reactive current

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目录

摘要 ...................................................................................................................... I Abstract .............................................................................................................. II 第1章 绪论 .......................................................................................................... 5 1.1 配电网潮流计算研究目的及意义 ........................................................... 5 1.2 潮流计算问题的发展及配电网潮流计算的现状 ................................... 6 1.3 本文主要内容 ........................................................................................... 8 第2章 配电网潮流计算方法 .............................................................................. 9 2.1 配电网特点及对算法的要求 .................................................................. 9 2.1.1配电网的分类 .................................................................................... 9 2.1.2配电网的特点 .................................................................................... 9 2.1.3配电网潮流算法的要求 .................................................................. 10 2.2 电力网数学模型 .................................................................................... 10 2.2.1 输电线路的数学模型 .................................................................. 11 2.2.2 变压器的等值电路 ...................................................................... 12 2.3配电网潮流计算概述 .............................................................................. 13 2.3.1 潮流计算的概述 .......................................................................... 13 2.3.2配电网潮流计算的概念 .................................................................. 14 2.3.3 配电网潮流计算的特点 ................................................................ 14 2.4 配电网潮流常用求解算法 .................................................................... 15 2.4.1 主干馈线节点功率计算 .............................................................. 15 2.4.2 主干馈线节点电压计算 .............................................................. 17 第3章 配电网潮流计算前推回代法编程 ........................................................ 20 3.1程序流程图 .............................................................................................. 20 3.2程序编译 .................................................................................................. 21 第4章 配电网潮流计算程序仿真 .................................................................... 23 4.1算例分析 .................................................................................................. 23 4.2程序运行 .................................................................................................. 24 结论 .................................................................................................................... 29 致谢 .................................................................................................................... 30 参考文献 ............................................................................................................ 31 附录A英文文献 ................................................................................................. 32 附录B中文译文 ................................................................................................. 40

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第1章 绪论

电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，它根据给定的运行条件以及系统的界限情况确定整个电力系统各个部分的运行状态：各母线的电压。各元件中流过的功率，系统的功率损耗等等。电力系统的潮流计算是电力系统稳态分析、暂态分析和故障分析的基础。

1.1 配电网潮流计算研究目的及意义

由于我国国民经济不断发展，电力的供应和需求已遍及到社会生产、人民生活的各个层面，社会对电力的需求量在日益增加。同时，产业结构的调整，电力市场的逐步形成以及电价机制的完善，也对电网的经济性和可靠性提出了更高的要求[1]。

配电网络通常包括配电变电站、一次配电线路、二次配电线路、配电变压器、继电保护设施等，是连接发、输电系统与用户的重要环节。城市配电网是城市现代化建设的重要基础设施之一，是现代化城市必不可少的电能供应系统。其建设的好坏直接影响到城市经济的发展的快慢、人民生活水平的提高、投资环境的优化等。当前，国家对电力系统改革工作非常重视，在电力工业中引入竞争机制，并且开展电力市场建设。对配电网问题进行研究，大幅度提高供电质量和可靠性，对提高电力公司的经济效益与竞争力、降低电网电能损耗、节约能源具有重大的现实意义。

随着我国经济的全面发展，中低压配电网供电可靠性低、发展落后的问题日渐突出。城市中低压配电网在城市电力销售中占据了大部分市场，但其发展滞后，不再适应城市的需求，因此成为客户抱怨的主要对象。这些问题主要表现为：一是电网停电次数太多；二是停电时间长；三是报装时间长；四是电压不稳定。

为了解决以上的配电网问题，必然要求及时、准确的配电网潮流分析结果，当然这就需要更加高效、可靠的潮流计算、分析方法。为了解决以上的配电网问题，必然要求及时、准确的配电网潮流分析结果，当然这就需要更加高效、可靠的潮流计算、分析方法。其中最基本的重要计算，是电力系统运行、规划以及安全性、可靠性分析和优化的基础，也是各种电磁暂态和机电暂态分析的基础和出发点。随着系统网络结构日趋复杂和完善，潮流计算作为电力网络分析的基本计算之一，也在不断的得到改进和提高。

在电力系统规划设计和现有的电力系统的运行方式的研究中，都需要用潮流计算来定量的分析比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。此外，电力系统潮流计算也是计算系统动态稳定和静态稳定的基

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础。所以潮流计算是电力系统一种最重要最基本的运算。 1.2 潮流计算问题的发展及配电网潮流计算的现状

配电网潮流计算是配电网分析的基础[2], 配电网在结构方面与输电网

存在着显著的不同：它一般是闭环设计，开环运行，网络结构为辐射状，线路中的电阻与电抗的比值较大[3,4]。随着科学技术和电力系统的发展，配电网的潮流计算的研究大致经历了三个阶段的发展；手算阶段、对称潮流计算阶段和三相潮流计算阶段。

尽管对电力系统潮流的研究早在六十年代就已经开始，但由于配电系统在电力工业中没有得到充分的重视，直到七十年代末以前，配电网的潮流计算仍处于手算阶段。这个阶段的潮流计算为前推回代法，该方法即：假设全网的节点电压初始值为额定电压，从末端向首端逆潮流方向计算支路功率，再由首端向末端顺潮流方向计算各节点电压。这种方法原理简单，计算量小，不存在收敛问题，但仅适用于单电源开式网，此外对大型网络不容易程序化[5]。

从八十年代初到九十年代中期，对着电力工业的发展，人们开始重视配电系统的线损计算和规划问题等，潮流计算作为基础也受到重视，人们开始研究配电潮流的计算机算法，在这个阶段潮流方法的研究主要是针对对称负载[6]。出现了众多针对配电网特殊网络结构的对称潮流算法。此类算法大致可以分为两类，第一类是将输电网的计算方法做了改进应用于配电网，如隐式高斯法，第二类是基于前推回代法的计算机算法，如功率分布系数法，二次设压法等。

隐式高斯法是1991年T.H.Chen.M.S.Chen等提出的，该方法根据网络结构形成节点导纳矩阵，节点电压是通过利用叠加原理分别计算电源和负荷单独作用在各节点产生的电压叠加求得。该方法原理简单，程序设计比较容易，可以根据配电网结构的变化，形成新的节点导纳矩阵，而且导纳矩阵是一个对称且高度稀疏的矩阵，占用内存非常节省。但是收敛速度较慢，迭代次数将随着所计算网络节点数的增加而上升，从而导致了计算量的急剧增加。因而该方法只适用于节点数较少的配电网。

前推回代法的计算机算法的原理和手算法基本相同，是以支路网损为状态量的典型算法。此类算法研究的关键问题是如何利用配电网结构特点生成网络矩阵，使得网络矩阵不仅在电网计算时节约内存，提高计算速度，而且当网络结构变化时容易修改。目前存在着两种网络矩阵的形成方法，一种是节点支路关联矩阵法，该方法采用手工编号的方法，建立了节点和支路的关联矩阵，清楚简单，但是占用内存大，不易跟踪网络变化，另一种是计算序列法，该方法根据网络的拓扑信息自动生成网络的计算序列，占用内存小，容易跟踪网络结构的变化。

在九十年代中后期，配电自动化的发展进入了实施阶段，实测的三相

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负荷严重不对称，使人们开始重视研究配电网的三相潮流计算方法。在处理三相不对称的方法上，配电网的三相潮流计算可以分为阁:序分量法(又称对称分量法)和相分量法。序分量法中，将系统各量分解为正序、负序、零序分量，各元件参数是3 ×3 阶子矩阵，其对角元素为各相的自阻抗和自导纳，非对角元素为各序间的互阻抗或互导纳。序分量法能将系统中对称部分的等值电路的三相电流电压之间的关系解耦，计算量较小。但是由于配电网的负荷节点很多，因而需要的分解的点较多，反而使计算量变的更大[7]。

相分量法中，系统中各元件都以相参数表示，每个元件的参数为一个3 ×3 阶子矩阵，其对角元素为各相的自阻抗或自导纳，非对角元素为各相间的互阻抗或互导纳。相分量法容易处理三相不对称负荷，但是当流经系统的三相电流不平衡（对配电系统往往如此）时，系统中对称元件的三相之间不能解耦，如，三相线路之间，由于三相电流的不对称必然使得相与相之间存在耦合，产生互感。目前大多数的配电网的潮流算法都采用了相分量法。从潮流计算算法来分类三相潮流计算可分为回路阻抗法、前推回代法。这两种方法都属于相分量法。

配电网潮流计算是电网经济运行、系统分析的重要基础。配电网不仅呈辐射状运行结构, 而且分支多，各馈线之间基本没有联系，与输电网络结构有明显差异，正常运行的配电网具有辐射状网络结构、负荷节点数量很多、线路R/X较大等特点，所以传统的潮流计算方法如：牛顿法、PQ 分解法等在配电网潮流计算中不再适用。

近年来，许多学者对配电网潮流计算展开大量的研究，并出现了许多计算配电网潮流的算法，主要有：回路阻抗法[8,9]，改进牛顿法[10,11]，快速解耦法[12]，前推回代法[13]等。虽然有些学者为使快速解偶法能在配电网得以继续应用而做了一些有益的尝试，如应用补偿技术处理R/X较大的线路，但这些方法都使算法复杂化，丧失了快速解偶算法原有的计算量小，收敛可靠的特点。潮流算法多种多样，但一般要满足四个基本要求：可靠收敛，计算速度快，使用方便灵活，内存占用量少。他们也是对潮流算法进行评价的主要依据。前推回代法在配电网潮流计算中简单实用，所有的数据都是以矢量形式存储，因此节省了大量的计算机内存，对于任何种类的配电网只要有合理的R/X值，此方法均可保证收敛。算法的稳定性也是评价配电网潮流算法的重要指标。一般情况下，算法的收敛阶数越高，算法的稳定性越差，前推回代法的收敛阶数为一阶，因此它也具有较好的稳定性。比较而言，前推回代法充分利用了网络呈辐射状的结构特点，数据处理简单，计算效率高，具有较好的收敛性，被公认是求解辐射状配电网潮流问题的最佳算法之一。

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1.3 本文主要内容

论文的主要工作内容有：

（1）配电网潮流计算的研究目的，意义，发展及现状；

（2）配电网的特点，分类；电力网数学模型；配电网潮流计算概念，特点，以及算法。文中主要介绍前推回代法计算电压幅值及节点功率；

（3）前推回代法潮流计算编程；

（4）8节点主干馈线电网算例分析，程序运行。

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第2章 配电网潮流计算方法

配电网潮流计算是配电网络分析的基础，配电网的网络重构、故障处理、无功优化和状态估计等都需要用到配电网潮流的数据。因此，建立合适的配电网潮流模型，用合适的方法去求解是十分有必要的。

2.1 配电网特点及对算法的要求

2.1.1配电网的分类

在电力网中重要起分配电能作用的网络就称为配电网。

配电网按电压等级，可分为高压配电网(35-110kV)，中压配电网(6-10kV，苏州有20kV的)，低压配电网(220/380V)；在负载率较大的特大型城市，220kV电网也有配电功能[14]。

在现代电力系统中，大型的发电厂通常远离负荷中心，发电厂输送的电能，一般要往往通过高压或超高压输电网络送到负荷中心，然后在负荷中心由电压等级比较低的网络把电能分送到不同电压等级的用户。这种在电力网中主要起分配电能作用的网络称之为配电网络。配电网按所在的地域或服务对象划分，由城市配电网和农村配电网两部分组成。向一个城市及其郊区分配和供应电能的电力网叫城市配电网。城市配电网连同为其提供电源的输电线路及变电所，统称为城市电力网，简称城网。供应县(县级市)范围内的农村、乡镇、县城用电的电力网，叫做农村配电网，简称农网。

在城市电网系统中,主网是指110kV及其以上电压等级的电网，主要起连接区域高压(220kV及以上)电网的作用。

配电网是指35kV及其以下电压等级的电网，作用是给城市里各个配电站和各类用电负荷供给电源。

从投资的角度看，我国与国外先进国家的发电、输电、配电投资比率差异很大，国外基本上是电网投资大于电厂投资，输电投资小于配电投资。我国刚从重发电轻供电状态中转变过来，而在供电投资中，输电投资大于配电投资。从我国城网改造之后，将逐渐从输电投资转入配电建设为主。

本文是基于前推回代法的配电网潮流分析计算的研究，研究是是以根节点为10kV的电压等级的配电网。

2.1.2配电网的特点

由于电源位置、负荷分布、地理条件等的不同，配电系统可分为三种

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结构方式：辐射形，又称树状型；环网形；网格形。 环网形或网格形系统中的用户具有备用电源，而辐射形若采用双路供电方式也可提高供电可靠性，只是造价高些。在环网接线方式中的环网联络开关，正常运行时处于接通状态的称为常闭式环网，断开的称为常开式环网。常开式环网正常运行时，联络开关的两侧都相当于一条馈线的末端，当某侧停电时，联络开关可自动将环闭合，由另一侧反向送电。就电压水准及电能损失等方面而言，常闭式优于常开式；但前者的控制和保护复杂，对某些电网结构，易于产生零序循环电流，并在反映接地短路保护方面易出问题。

网格形接线方式能提供较高的供电可靠性，供电电能质量较高，由系统馈线所引起的瞬时和长期停电几乎不存在，但网络造价昂贵，控制及保护也复杂得多，它仅适用于负荷高度密集的城区。

另外，辐射形有逐渐过渡到环形网或有备用电源供电的倾向。我国城网改造所推荐的接线方式是环网结构，开环运行。这种结构易于用重合器、分段器实现事故情况下无故障段的自动恢复送电，且在短路保护的配合上可靠易行。配电网潮流计算中以馈线作为基本单元。在辐射网中每条馈线可看成一棵树，馈线与馈线之间除在树根处通过高压输电网相连外，若无回环则没有其它电气联系。一条馈线内的负荷波动相对于一个大输电网来说可以忽略不计。因此，可以认为馈线根节点的电压恒定，把它看成平衡节点，此节点电压值的大小由输电网潮流来决定。给定馈线根节点电压及沿线各负荷点的负荷，此馈线的潮流分布就完全给定，而与其它馈线没有关系。根据这一特点，配电系统的拓扑描述就以馈线为单位，配电系统的潮流计算也就不再以全网为单位。

2.1.3配电网潮流算法的要求

对配电网潮流计算有如下要求：

（1）可靠的收敛性，对不同的网络结构及不同的运行条件都能收敛；

（2）计算速度快；

（3）使用灵活方便，调整和修改容易，能满足工程上提出的各种要求；

（4）内存占用量少等。

由于配电网中的收敛问题比较突出，因此对配电网潮流算法进行评价时，首先看它是否能够可靠收敛，然后在此基础上可对计算速度提出进一步的要求，即尽可能地提高计算速度。

2.2 电力网数学模型

电力网数学模型包括输电线数学模型和变压器数学模型。

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2.2.1 输电线路的数学模型

所谓一般线路，指中等及中等以下长度线路。对架空线路，这长度大约为 300km对电缆线路，大约为 100km。线路不超过这些数值时，可不考虑它们的分布参数特性，而只用将线路参数简单的集中起来的电路来表示。下面用R(Ω)、X(Ω)、G(Ω)、B(Ω)分别表示全线路每相总电阻、电抗、电导、电纳。显然，线路长度为 l (km)时，有

Rr1lXxl1 (2-1) Gg1lBb1l式中，r1，x1，g1，b1分别为线路单位长度的电阻、电抗、电导、电

纳；l为线路长度。

通常，由于线路导线截面积的选择，如前所述，以晴朗天气不发生电晕为前提，而沿绝缘子的泄漏又很少，可设 G =0。

一般线路中，又有短线路和中等长度线路之分。所谓短线路，指长度不超过 100km 的架空线路。线路电压不高时，这种线路电纳 B 的影响不大，可略去。从而，这种线路的等值电路最简单，只有一种串联的总阻抗 Z = R+jX，如图 2-1 所示。

图 2-1 短线路的等值电路

显然，如电缆线路不长，电纳的影响不大时，也可以采用这种等值电路。

所谓中等长度线路，是指长度在 100-300km 之间的架空线路和不超过 100km 的电力电缆线路。这种线路的电纳B一般不能略去。这种线路的等值电路有П型等值电路和 T 型等值电路，如图 2-2、图 2-3 所示。

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图 2-2 П型等值电路 图 2-3 T 型等值电路在П型等

其中，常用的是П型等值电路值电路中，除串联的线路总阻抗 Z = R+jX外，还将线路的总导纳Y = jB分成两半，分别并联在线路的是末端。在 T型等值电路中，线路的总导纳集中在中间，而线路的总阻抗则分成两半，分别串联在它的两侧。因此，这两种电路都是近似的等值电路，而且，相互间并不等值，即它们不能用△-Y 变换公式相互变换。

2.2.2 变压器的等值电路

配电网中存在配电变压器时，通常采用T 型等值电路和П型等值电路两种等值电路[15]，T 型等值电路如图 2-4所示。

图 2-4 双绕组变压器的 T 型等值电路

图各参数的计算公式如下：

2PSVN1000RT2SN2VS%VNX1000T100SN （2-2） P0GT21000VNI%SBT0N1002100VN式中：

RT—变压器的总电阻(Ω)；XT—变压器的总电抗(Ω)；GT—变压器的电导(S)；BT—变压器的电纳(S)；

—变压器的短路损耗(kW)；

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—变

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压器空载损耗(kW)；SN—变压器的额定容量(MVA)； 电压(kV)；

—变压器的额定

—变压器的短路电压百分值；I0%—变压器的空载电流百

分值；

除此之外，在计算中还经常用到变压器的П型等值电路，如图2-5所示。

1y12(y21)2y10y20 图 2-5 双绕组变压器П型等值电路

在获取П型等值电路中，忽略了变压器的励磁导纳支路，其中的参数为：

y12y211/ZTk2y10(1k)/ZTk （2-3） y(k1)/ZkT202.3配电网潮流计算概述

在手算潮流的年代，人们习惯于采用顺支路的算法，即前推回代法；

而在50 年代中期以后用计算机算潮流之后，人们则习惯用节点方程：80 年代末期当人们研究配电网的潮流时，面对梳状的网络结构自然又想起了前推回代法[16]。前推回代法在配电网络的潮流计算中得到了广泛应用。当用来进行辐射状配电网的潮流计算时，该算法的效率是所有算法中最高的，占用内存也很少。当应用于环状网络时则需要进行特殊的处理，当网络中含有PV 节点时也需要进行特殊的处理，这是它的缺点。

在进行前推回代法潮流计算前，需要对支路进行分层和编号。辐射状配电网前推回代法潮流计算其实包含连续的两步迭代计算，称之为回代和前推(backward and forward sweep)，根据配电馈线的辐射状结构，在推算过程中不断更新支路电流和节点电压。

2.3.1 潮流计算的概述

潮流计算就是采用一定的方法确定系统中各处的电压和功率分布。电力系统的潮流计算和一般交流电路计算的根本差别在于：后者已知和待求

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的是电压和电流，而前者是电压和功率。正是这一差距决定了二者本质上的不同：描述交流电路特性的方程，如节点电压、回路电流方程，是线性方程，而描述电力系统稳态运行特性的潮流方程是非线性方程。

2.3.2配电网潮流计算的概念

因为配电网线路中的R/X 比值偏大使快速PQ解耦法潮流计算方法失效，所以人们根据辐射配电网的特点，提出了一些计算方法。常规算法主要有基于导纳矩阵或回路阻抗矩阵的算法（牛顿-拉夫逊N-R）算法、电源叠加法和追赶法，基于支路变量的潮流算法如支路电流回代法和支路功率前推回代法等。牛顿—拉夫逊法潮流算法具有二阶收敛特性，虽然在配电网潮流中收敛速度较快，但是，当导纳矩阵阶数较高时，初值敏感性问题比较突出。电源叠加法每次求解时要对各个电源逐一进行叠加，求解较为繁锁。追赶法用于导纳矩阵主对角严格占优情况下，无收敛性问题、矩阵存储方便、占内存少、求解快速，但是不能直接求解复杂的环网。前推回代法具有编程简单、没有复杂的矩阵运算、计算速度快、占用计算机的资源很少、收敛性好等特点，适用于在实际配电网中的应用。

配电网潮流算法是配电网网络分析的基础，配电网的网络重构、故障处理、无功优化和状态估计等都需要用到配网潮流的数据。因此，一套性能优良的配电网潮流程序是开发DMS系统的关键。配电网的潮流计算同时也是研究配电网稳态运行的一项基本运算。

根据给定系统的网络结构及运行条件来确定整个系统的运行状态：主要是各个节点的电压（幅值和相角），网络中功率分布及功率损耗等。它既是对配电网规划设计和运行方式的合理性、可靠性及经济性进行定量分析的依据，又是电力系统静态和暂态稳定计算的基础。

2.3.3 配电网潮流计算的特点

电力系统潮流计算的研究自1956年由J．B．Word开始，至今历久不衰。从早期的高斯—塞德尔迭代法发展到牛顿—拉夫逊法，进而到国内外目前广泛采用的PQ分解法，人们已研究出了多种有效的潮流计算方法，然而这些一般都只适用于输电网络中，对于低压配电网络其应用效果并不显著，这是因为低压配电网与输电网不同，低压配电网网络拓扑呈辐射状，线路的R /X很高，一般而言，配电系统正常运行时呈树状结构。

这些特点导致网络的雅克比矩阵的条件数变大，出现不同程度的病态特征，传统的潮流计算方法如牛顿&拉夫逊法及快速解偶法在计算配电网潮流时收敛效率不高。配电网的网络呈辐射状，在正常运行时是开环的，只有在倒换负荷或发生故障时才有可能出现短时环网运行情况。配电网的另一个特点是配电线路的总长度较输电线路要长且分支较多，配电线的线

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径比输电网细导致配电网的R /X较大，且线路的充电电容可以忽略。由于配电线路的R/X较大，无法满足P、Q 解耦条件Gi < Bi，所以在输电网中常用的快速解耦算法(FDLF)在配电网中则难以收敛。

2.4 配电网潮流常用求解算法

与输电网相比，配电网的网络结构有着明显的差异：配电网的网络呈现辐射状，在正常运行是开环的，只有在倒换负荷或发生故障时才有可能出现短时环网运行或多电源运行的情况；配电线路的总长度较输电网络要长且分支较多，配电线的线径比输电线细，导致配电网的 R/ X较大，无法满足Gij <八十年代中期到九十年代中期，随着国际国内电力企业对配电网管理的重视程度的不断加深，对配电网潮流的研究也广泛开展起来，这期间出现了众多结合配电网特殊结构而开发的简单迭代算法。下面主要介绍前推回代法潮流计算。

基于前推回代法思想的算法很多。一般给定配电网络的始端电压和末端负荷，以馈线为计算基本单位。开始时由末端向始端推算，设全网电压都为额定电压，根据负荷功率由末端向始端逐段推导，仅计算各元件中的功率损耗而不计算电压，求得各条支路上的电流和功率损耗，并据此获得始端功率，这是回代过程；再根据给顶的始端电压和求得的始端功率向末端逐段算电压降落，求得各节点电压，这是前推过程；如此重复上述过程，直至各个节点的功率偏差满足收敛条件为止。

i

2.4.1 主干馈线节点功率计算

对于潮流算法的分析要从简单配电网入手，主干馈线配电网可以理解为整个网络只有一条馈线，馈线的每个节点上只有一个注入电流，两个输出电流。图2-7表示标准的主干馈线配电网，也可称为简单配电网络。配电网有n个节点，n-1条支路。根节点电压,系统额定电压以及个节点负荷已知的情况下通过以下步骤可以求出全网节点电压和功率分布。

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图2-7简单辐射网

由图2-7可知节点i的注入有功功率和无功功率分别为：

P(i)P(i1)LP(i)P(i) (2-4) Q(i)Q(i1)LQ(i)Q(i)

其中，i= 1, 2, ……,N-1，N为节点数，LP(i)为第i节点所带负荷有功功率；LQ(i)为第i节点所带负荷无功功率；为第i条线段上的有功功率损耗； 为第i条线段上的无功功率损耗.第i条馈线段的有功、无功损耗计算公式为:

R(i)[P2(i1)Q2(i1)]P(i)2VN (2-5) 22X(i)[P(i1)Q(i1)]Q(i)2VN 其中,i=1, 2,……n,n为支路数. 例如：当i=2时，如图所示：

图2-8 三点电网

节点2的注入有功功率和无功功率分别为：

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P(2)P(3)LP(2)P(2) Q(2)Q(3)LQ(2)Q(2) 第2条馈线段的有功、无功损耗计算公式为:

R(2)[P2(3)Q2(3)]P(2)2VN 22X(2)[P(3)Q(3)]Q(2)2VN

2.4.2 主干馈线节点电压计算

在不要求特别精确时，电力网中任意线段的电压损耗可以用电压降落的纵分量代替，即：

PRQX V （2-6）

V

在不计功率损耗是，V取电力网的额定电压；计功率损耗时，如用某一点的功率，就应取同一点的电压。 从图2-7可以得到以下计算公式：

•••V(i)V(i1)I(i)[R(i)jX(i)]  (2-7) ••P(i1)jQ(i1)I(i)V(i1) 可得两点间电压降落的纵分量和横分量分别为:

P(i1)R(i)Q(i1)X(i)V(i1)V(i1)  (2-8)

P(i1)X(i)Q(i1)R(i)V(i1)V(i1) 在此暂时忽略两点间电压降落的横分量的影响,则节点电压幅值计算如下:

P(i1)R(i)Q(i1)X(i)V(i1)V(i)VV(i) (2-9)

V(i1)- XVII -

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由上式可以得到：

121V(i1)V(i)P(i1)R(i)Q(i1)X(i)V(i) (2-10)

42 代入计算出电压降落横分量,并由下式计算两节点间相角偏差：

(i1)tan1V(i1)V(i1) 例如：只有两个节点时，

图2-9 两点电网

电压降落为：

V•(1)V•(2)I•(1)[R(1)jX(1)] (2)jQ(2)I•(1)V•P(2)两点间电压降落的纵分量和横分量分别为：

P(2)R(1)Q(2)X(1V)V(2)P(2)X(1)Q(2)R(1) VV(2) 暂时忽略横分量的影响，则节点2电压幅值计算如下：

V(2)V(1)VV(1)P(2)R(1)Q(1)X(1)V(2)

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(2-11)

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由上式可以得到如下式的计算公式：

121V(2)V(1)P(2)R(1)Q(2)X(1)V(1)42

将V(2)计算结果代入两点间电压降落的横分量式中，计算出电压降落横分量，并由下式计算两节点间相角偏差：

arctanVV(2)

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第3章 配电网潮流计算前推回代法编程

3.1程序流程图

根据所编程序，输入系统额定电压，根节点电压，第i节点有功负荷，无功负荷，以及第i条线路电阻电抗，然后运行程序，得出计算结果，节点i注入功率，节点i电压幅值，电压横向分量，以及相角偏差，流程图如图3-2所示：

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图3-2 潮流计算流程图

3.2程序编译

定义变量注入节点有功功率，无功功率，线路电阻，电抗，节点所带负荷有功功率，无功功率，节点电压，电压横向分量：

int n,i; double Vn;

double *P,*Q,*R,*X,*LP,*LQ,*V,*deltaV,*a; cout<<\"请输入节点数量：\"; cin>>n;

P=(double *)malloc((n+1)*sizeof(double)); Q=(double *)malloc((n+1)*sizeof(double));

R=(double *)malloc((n+1)*sizeof(double)); X=(double *)malloc((n+1)*sizeof(double)); LP=(double *)malloc((n+1)*sizeof(double)); LQ=(double *)malloc((n+1)*sizeof(double)); V=(double *)malloc((n+1)*sizeof(double)); deltaV=(double *)malloc((n+1)*sizeof(double)); a=(double *)malloc((n+1)*sizeof(double)); 输入根节点电压及系统额定电压：

cout<<\"请输入根节点电压值V1=\"; cin>>V[1];

cout<<\"请输入系统额定电压Vn=\"; cin>>Vn;

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for(i=2;i<=n;i++) 输入第i个节点有功负荷功率，无功负荷功率：

cout<<\"请输入第\"<>LP[i];

LP[i]=LP[i]/1000;

cout<<\"请输入第\"<>LQ[i];

LQ[i]=LQ[i]/1000;

系统第n个节点注入功率节点所带负荷功率，跟节点负荷功率为0：

P[n]=LP[n]; Q[n]=LQ[n]; LP[1]=0; LQ[1]=0; for(i=1;i<=n-1;i++)

输入第i条线路电阻，电抗：

cout<<\"请输入第\"<>R[i];

cout<<\"请输入第\"<>X[i];

计算节点i注入有功功率，无功功率：

cout<<\"节点\"<=1;i--)

P[i]=P[i+1]+LP[i]+(P[i+1]*P[i+1]+Q[i+1]*Q[i+1])/(Vn*Vn)*R[i]; Q[i]=Q[i+1]+LQ[i]+(P[i+1]*P[i+1]+Q[i+1]*Q[i+1])/(Vn*Vn)*X[i]; cout<<\"节点\"<V[i+1]=sqrt(V[i]*V[i]/4.0-P[i+1]*R[i]-Q[i+1]*X[i])+V[i]/2.0; deltaV[i+1]=(P[i+1]*X[i]+Q[i+1]*R[i])/V[i+1]; a[i+1]=atan2(deltaV[i+1],V[i+1]);

cout<<\"节点\"<cout<<\"节点\"<cout<<\"节点\"<if(fabs(V[i+1]-V[i])>1e-4) cout<<\"电压幅值偏差过大\"<<\"\\n\";

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第4章 配电网潮流计算程序仿真

4.1算例分析

利用上面提出的潮流计算方法取8个节点时，如图4-1所示配电网络尽行潮流计算网络。已知根节点电压为10kV,系统额定电压为10.3kV，各支路电阻，电抗如表4-1所示，个节点有功负荷，无功负荷如表4-2所示，计算个节点注入有功功率，无功功率各节点电压幅值，电压横向分量以及电压相角偏差。

图4-1 8节点主干馈线配电网

表4-1支路参数 支路序号 电阻R/Ω 电抗X/Ω 1 2 3 4 5 6 7 1.297 1.896 1.406 1.951 1.624 2.005 1.297 0.920 1.331 0.995 1.368 1.144 1.405 0.920

表4-2节点负荷功率 节点序号 有功负荷/kW 无功负荷/Kvar 1 0.000 0.000 2 37.28 37.993 3 16 16.283 4 37.28 37.993 5 16 16.283 6 37.28 37.993 - XXIII - 哈尔滨理工大学学士学位论文

7 8 37.28 37.28 37.993 37.993 4.2程序运行 下面为所编程序在软件Visual C++ 6.0中运行截图。图4-1为程序编辑，图4-2为程序运行。

a

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b

图4-1程序编辑

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a

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b图4-2程序运行

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运算结果如表4-3所示，各节点电压幅值逐渐降低，有功功率，无功功率也逐渐降低，符合逻辑。

节点序号 1 2 3 4 5 6 7 8 表4-3计算结果 电压幅值/kV 节点有功/kW 10.00000 222.67 9.95035 221.499 9.89024 183.048 9.84942 166.331 9.80562 128.457 9.77364 112.08 9.74734 74.5933 9.73879 37.28 节点无功/kVar 225.542 224.711 185.896 169.105 130.696 114.147 76.0096 37.993 - XXVIII -

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结论

本文在分析现有配电网潮流计算方法的基础上，对传统的前推回代法加以改进，使其更具有实用性。充分利用配电网络的结构特点，对节点进行编号,直接采用支路参数进行计算,不需要形成导纳矩阵和进行三角矩阵，简单处理代数方程就可以计算节点电压和功率分布。总结全文，得出以下结论：

（1）阅读大量文献归纳总结前推回代法潮流计算原理，根据原理编程，通过算例表明，算法和原理是正确的；

（2）前推回代法具有编程简单、计算速度快等特点，此方法是配电网潮流计算的有效算法，具有很强的实用性；

（3）由于数据原因，在判断收敛性方面略有不足。

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致谢

本课题的选题、课题研究及论文撰写工作是在付老师细心指导下完成的。在我做毕业论文的这个阶段，在专业知识的学习以及课题研究和论文写作方面，付老师都给予了极大的关心和鼓励。她渊博的学识水平、严谨踏实的工作作风、兢兢业业的科研精神和处处为人师表的作风使我获益匪浅。在论文完成之际，首先向我的指导老师致以深深的感谢。

同时我要感谢研究生 师兄的指点和帮助，在与师兄的交流中，我学到了很多知识，获得了不少启发。

我还要向同班的肖强同学表示由衷的感谢，没有他的支持，便没有我现在成绩。

最后，衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、教授！

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参考文献

1 陈燕萍，王启，赵彩虹等．2008．基于改进前推回代法的辐射配电网潮流计算方法[J]．南京师范大学学报，2008．8(1)：24~29．

2 刘健,毕鹏翔,董海鹏． 复杂配电网简化分析与优化[M]． 北京：中国电力出版社， 2002．

3 王守相，王成山．现代配电系统分析[M]．北京：高等教育出版社．2007．

4 王丹，常宝立．一种用于配网潮流计算的节点编号新方法[J]．电力系统及其自动化学报．2003，15(1)：22-26．

5 何丽．地区配电网潮流计算方法的研究[D] ．哈尔滨：东北农业大学 2009．

6 李光琦.电力系统暂态分析[M]．北京：中国电力出版社1998．

7 宋文南，李树鸿，张尧．1990．电力系统潮流计算．天津：天津大学出版社．

8 刘耀年，岂小梅，李国鹏，等．基于回路阻抗法的配电网潮流计算[J]．继电器，2004，32(8)：8-10．

9 汪宇霆，张焰，张益波．基于改进回路电流法的配电网潮流通用算法[J]．电力系统保护与控制，2010，38(20)：57-61，68．

10 索南加乐，李怀强，罗云照，等．一种新的配网潮流常Jacobian牛顿算法[J]．西安交通大学学报，2002，36(12)：1222-1226．

11 汪芳宗，叶婧，李燕山．一种新的少环配电网潮流计算方法[J]．电网技术，2008，32(S1)：47-50．

12 孙健，江道灼．基于牛顿法的配电网络Zbus潮流计算方法[J]．电网技术，2004，28(15)：40-44．

13 顾晨，乐秀璠，张晓明．基于改进前推回代法的弱环配电网三相潮流计算[J]．电力系统保护与控制，2010，38(19)：160-164．

14 王明俊，于尔铿，刘广.配电系统自动化及其发展[M]．北京：中国电力出版社1998．

15 何仰赞，温增银．电力系统分析(上册)(第三版)[M]．武汉：华中科技大学出版社，2002．1．

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学报，2005，3(1)：36~43．

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附录A英文文献

Power Flow Calculation by Combination of Newton-Raphson Method and Newton’s Method in Optimization.

Andrey Pazderin, Sergey Yuferev

URAL STATE TECHNICAL UNIVERSITY – UPI E-mail:*************.ru,*************.ru

Abstract--In this paper, the application of the Newton’s method in optimization for power flow calculation is considered. Convergence conditions of the suggested method using an example of a three-machine system are investigated. It is shown, that the method allows to calculate non-existent state points and automatically pulls them onto the boundary of power flow existence domain. A combined method which is composed of Newton-Raphson method and Newton’s method in optimization is presented in the paper.

Index Terms—Newton method, Hessian matrix, convergence of numerical methods, steady state stability Ⅰ.INTRODUCTION

The solution of the power flow problem is the basis on which other problems of managing the operation and development of electrical power systems (EPS) are solved. The complexity of the problem of power flow calculation is attributed to nonlinearity of steady-state equations system and its high dimensionality, which involves iterative methods. The basic problem of the power flow calculation is that of the solution feasibility and iterative process convergence [1].

The desire to find a solution which would be on the boundary of the existence domain when the given nodal capacities are outside the existence domain of the solution, and it is required to pull the state point back onto the feasibility boundary, motivates to develop methods and algorithms for power flow calculation, providing reliable convergence to the solution.

The algorithm for the power flow calculation based on the Newton's method in optimization allows to find a solution for the situation when initial data are outside the existence domain and to pull the operation point onto the feasibility boundary by an optimal path. Also it is possible to estimate a static stability margin by utilizing Newton's method in optimization.

As the algorithm based on the Newton’s method in optimization has considerable computational cost and power control cannot be realized in all nodes, the algorithm based on the combination of the Newton-Raphson methods and the Newton’s method in optimization is offered to be utilized for calculating speed, enhancing the power flow calculation. II. THEORETICAL BACKGROUND A．Steady-state equations

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The system of steady-state equations, in general, can be expressed as follows: W-W(X,Y)=0

where Wis the vector of parameters given for power flow calculation. In power flow calculation, real and reactive powers are set in each bus except for the slack bus. Ingeneration buses, the modulus of voltage can be fixed. W(X,Y) is the nonlinear vector function of steady-state equations. Variables Y define the quasi-constant parameters associated with an equivalent circuit of an electrical network. X is a required state vector, it defines steady state of EPS. The dimension of the state vector coincides with the number of nonlinear equations of the system (1). There are various known forms of notation of the steady-state equations. Normally, they are nodal-voltage equations in the form of power balance or in the form of current balance. Complex quantities in these equations can be presented in polar or rectangular coordinates, which leads to a sufficiently large variety forms of the steady-state equations notation. There are variable methods of a nonlinear system of steady-state equations solution. They are united by the incremental vector of independent variables ΔX being searched and the condition of convergence being assessed at each iteration. B. The Newton's method in optimization

Another way of solving the problem of power flow calculation is related to defining a zero minimum of objective function of squares sum of discrepancies of steady-state equations:

F[WW(X-Y)]T[W-W(X,Y)]

2

The function minimum (2) is reached at the point where derivatives on all required variables are equal to zero:

dFdX2dWdX[WW(X-Y)]T (3) It is necessary to solve a nonlinear set of equations (3) to find the solution for the problem. Calculating the power flow, which is made by the system of the linear equations with a Hessian matrix at each iteration, is referred to as the Newton's method in optimization [4]:

GXdFdX (4) The Hessian matrix contains two items:

G=(dWdX)T(dWdX)-d2WdX2[W-W(X,Y)] (5) During the power flow calculation, the determinant of Hessian matrix is positive round zero and negative value of a determinant of Jacobian J=dWdX.This allows to find the state point during the power flow calculation, when initial point has been outside of the existence domain.

The convergence domain of the solution of the Newton's optimization method

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is limited by a positive value of the Hessian matrix determinant. The iterative process even for a solvable operating point can converge to an incorrect solution if initial approximation has been outside convergence domain. This allows to estimate a static stability margin of the state and to find the most perilous path of its weighting.

III. INVESTIGATIONS ON THE TEST SCHEME

Convergence of the Newton's method in optimization with a full Hessian matrix has been investigated. Calculations were made based on program MathCAD for a network comprising three buses the parameters of which are presented in Figure 1.Dependant variables were angles of vectors of bus voltage 1 and 2 X1,2，independent variables were capacities in nodes 1 and 2, and absolute values of voltages of nodes 1, 2 and 3 were fixed.

Fig. 1 – The Test scheme

In Figure 2, the boundary of existence domain for a solution of the steady-state is presented in angular coordinates δ1-δ2. This boundary conforms to a positive value of the Jacobian determinant: det(J)0

As a result of the power flow calculation based on the Newton method in optimization, the angle values have been received, these values corresponding to the given capacities in Fig.2 (generation is positive and loading is negative).

For the state points which are inside the existence domain, the objective function (2) has been reduced to zero. For the state points which are on the boundary of the existence domain, objective function (2) has not been reduced to zero and the calculated values of capacities differed from the given capacities.

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Fig. 2 – Domain of Existence for a Solution

Fig.3 - Boundary of existence domain

In Fig.3, the boundary of the existence domain is presented in coordinates of capacities P1-P2. State points occurring on the boundary of the existence domain (6) have been set by the capacities which were outside the existence domain. As a

result of power flow calculation by minimization (2) based on the Newton's method in optimization, the iterative process converges to the nearest boundary point. It is due to the fact that surfaces of the equal level of objective function (2) in coordinates of nodal capacities are proper circles (for threemachine system) having the centre on the point defined by given values of nodal capacities W. The graphic interpretation of surfaces of the equal level of objective function for operating point state with 13000 MW loading bus 1 and 15000 MW generating bus 2 is presented in Fig.3.

Hessian matrix is remarkable in its being not singular on the boundary of existence domain. The determinant of a Hessian matrix (5) is positive around zero and a negative value of the Jacobian matrix determinant. This fact allows the power flow to be calculated even for the unstable points which are outside existence domain. The iterative process based on the system of the linear equations (4) solution has converged to the critical stability point within 3-5

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iteration. Naturally, the iterative process based on Newton-Rapson method is divergent for such unsolvable operating points.

The convergence domain of the method under consideration has been investigated. What is meant is that not all unsolvable operating points will be pulled onto the

boundary of existence domain. A certain threshold having been exceeded the iterative process has begun to converge to the imaginary solution with angles exceeding 360.

It is necessary to note that to receive a critical stability operating point in case when initial nodal capacities are set outside the boundary of the existence domain, there is no necessity to make any additional terms as the iterative process converges naturally to the nearest boundary point.

Pulling the operation point onto feasibility boundary is not always possible by the shortest and optimal path. There are a number of constraints, such as impossibility of load (consumption) increase at buses, constraints of generation shedding/gaining at stations. Load following capability of generator units is various, consequently for faster pulling the operation point onto the feasibility boundary it is necessary to

carry out this pulling probably by longer, but faster path.

The algorithm provides possibility of path correction of pulling. It is carried out by using of the weighting coefficients, which define degree of participation of each

node in total control action. For this purpose diagonal matrix A of the weighting coefficients for each node is included into the objective function (2):

F[WW(X-Y)]TA[W-W(X,Y)]

All diagonal elements of the weighting coefficient matrix A should be greater-than zero:aij0

When initial approximation lies into the feasibility domain, coefficients are not influence on the computational process and on the result.

In the figure 4 different paths of the pulling the same operation point onto feasibility boundary depending on the weighting coefficients are presented. Paths are presented for two different operating points.

In tables I and II effect of weighting coefficients on the output computation is presented. In tables I and II k1 and k2 are weighting coefficient for buses 1 and 2, respectively.

TABLE I

WEIGHTING COEFFICIENT EFFECT ON OUTPUT COMPUTATION FOR INITIAL SET CAPACITIES P1= -13000 MW AND P2= 15000 MW Coefficients P1,MW P2,MW 1,deg 2,deg -7800 9410 -45 55 a1=1,a2=1 a1=5,a2=1 -8600 8080 - XXXVI -

-69 25 哈尔滨理工大学学士学位论文

a1=0.005,a2=1 -5700 10140 -1 93 TABLE II WEIGHTING COEFFICIENT EFFECT ON OUTPUT COMPUTATION FOR INITIAL SET CAPACITIES P1= -8000 MW AND P2= -5000 MW Coefficients P1,MW P2,MW 1,deg 2,deg -4360 -1680 -92 -80 a1=1,a2=1 a1=0.01,a2=1 a1=1,a2=0.35 -1050 5800 -4920 0 -76 -99 -94 -71

Fig.4 - Paths of pulling the operation point onto the feasibility boundary IV. COMBINATION OF METHODS

If to compare the Newton’s method in optimization for power flow calculation with newton-Raphson using a Jacobian matrix, the method computational costs on each

iteration will be several times greater as the property of Hessian matrix being filled up by nonzero elements 2.5-3 times greater than with Jacobian one. Each row of Jacobian matrix corresponding to any bus contains nonzero elements corresponding to all incident buses of the scheme. Each row of Hessian matrix contains nonzero elements in the matrix corresponding not only to the neighboring buses, but also their neighbors. However, it is possible to compensate this disadvantage through the combination Newton-Rap son method with Newton’s method in optimization. It means that the part of nodes can be calculated by conventional Newton method, and the remaining buses will be computed by Newton’s method in optimization. The first group of passive nodes consists of buses in which it is not possible to change

nodal capacity or it is not expedient. Hence, emergency control actions are possible only in a small group of buses supplying with telecontrol. Most of the nodes including

purely transit buses are passive. Active nodes are generating buses in which operating actions are provided. Such approach allows to fix nodal capacity for all passive buses of the scheme which have been calculated by Newton-Rap son method. In active buses which have been calculated by Newton’s method in

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optimization, deviations from set values of nodal capacity are possible. These deviations can be considered as control action. The power flow calculation algorithm based on combination Newton – Raphson method and Newton’s method in optimization can be presented as follows:

1.The linear equation system with Jacobian matrix is generated for all buses of the scheme.

2. The solution process of the linear equation system with Jacobian is started by utilizing the Gauss method for all passive buses. Factorization of the linear equations system is terminated when all passive buses are eliminated. Factorized equations are kept.

3.The nodal admittance matrix is generated from not factorized the part of Jacobian matrix corresponding to active buses. This admittance matrix contains parameters of the equivalent network which contains only active buses.

4.The linear equation system with Hessian matrix (4) is generated for the obtained equivalent by Newton’s method in optimization.

5.The linear equation system with Hessian matrix is calculated and changes of independent variables Xact are defined for active buses.

6.Factorized equations of passive buses are calculated, and changes of independent variables Xpas are defined for passive buses.

7.The vector of independent variables is updated using the changes of independent variables for all buses.

8. New nodal capacities in all buses of the network are defined; constraints are checked; if it necessary, the list of active buses will be corrected.

9. Convergence of the iterative process is checked. If changes of variables are significant, it is necessary to return to item 1.

Taking into account the number of active buses in the network aren’t large, computational costs of such algorithm slightly exceed computational costs of the Newton-Rapson method. V. CONCLUSION

1. The power flow calculation of an electric network by minimizing the square sum of discrepancies of nodal capacities based on the Newton's method in optimization

materially increases the productivity of deriving a solution for heavy in terms of conditions of stability states and the unstable states outside the existence domain of the solution.

2. During the power flow calculation, the determinant of Hessian matrix is positive around zero and negative value of the Jacobian matrix determinant. The iterative process naturally converges to the nearest marginal state point during the power flow calculation, when the initial operating point has been outside of the existence domain.

3. There is a possibility of control action correction for the pulling operation point onto feasibility boundary by using matrix of weighting coefficients.

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4. Utilization of the combined method for power flow calculation allows to use all advantages of Newton’s method in optimization and to provide high calculating speed.

5. In case when the setting nodal powers are outside the existence domain, there are discrepancies in the active buses, which can be considered as control actions for pulling the state point onto the feasibility boundary. When the initial state point is inside the existence domain, the iterative process converges with zero discrepancies for both active and passive buses.

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附录B中文译文

基于优化的牛顿——拉夫逊法和牛顿法的潮流计算

Andrey Pazderin, Sergey Yuferev 乌拉尔国立技术大学– UPI

E-mail:*************.ru,*************.ru

摘要——在本文中，考虑到了优化的牛顿法在潮流计算中的应用。我们将在一个三节点系统的例子中探究这个方法的收敛条件。这个例子表明，这个方法可以计算不存在的状态点并自动将这个点放到功率潮流域的边界上。本文将介绍一个由经过优化的牛顿——拉夫逊法和牛顿法相结合的方法。

关键词——牛顿法，Hessian矩阵，数值方法，静态稳定

1.简介

解决潮流计算问题是解决电力系统运行和发展问题的基础。由于静态方程的非线性特征，以及静态方程的阶数较高，潮流计算往往比较复杂，于是便引进了迭代法。潮流计算的基本问题在于方案的可行性和迭代过程的收敛性。

当给定节点的容量在存在域之外时，我们总是希望能找到一个方法将这个状态点拖回到可行性的边界，研究方法和算法的动机为我们提供了具有可靠收敛性的方案。

当给定的初始值不在存在域中的时候，基于优化牛顿法的潮流计算算法能够找到一条最优路径将工作点移到可行性的边界。它还可以利用优化的牛顿法来估计稳定裕度。

由于优化的牛顿法已经考虑了计算成本和那些不能实现功率控制的节点，这种算法是以优化的牛顿——拉夫逊法和牛顿法相结合的方法为基础的，它可以用来提高计算速度，优化潮流计算。

2. 理论基础

2.1 静态方程

系统的静态方程一般情况下可以如下表示：

W-W(X,Y)=0 （1）

W是给定的用来进行潮流计算的向量参数。在潮流计算中，除了平衡节点外，其它节点的有功功率和无功功率都是给定的，PV节点的电压幅值是给定的。W(X,Y)是静态方程组的非线性向量函数。变量Y是一个与电力网络的等值电路相关的准常量参数，X 是要求的状态向量，它表示电力系统的稳定运行时的状态。这个状态向量的维数与系统非线性方程式（1）的个数一致。现在已知的表示静态方程的形式有多种，一般情况下是以功

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率平衡或者电流平衡为依据的节点电压方程。这些方程中的复数可以在极坐标或者直角坐标系下表示，这使得静态方程的表示形式多种多样。解非线性系统静态方程的方法有很多,它们都会在每次迭代结束后计算增量向量ΔX，并评估其收敛性。 2.2 优化牛顿法

另外一个解决潮流计算的办法是定义一个静态方程平方和之差零最小的目标函数：

F[WW(X-Y)]T[W-W(X,Y)] （2）

当所有的有关变量都为零时，函数取得的最小值。

dFdX2dWdX[WW(X-Y)]T （3）

为了解决问题，我们必须对式（3）的一系列非线性方程进行求解。计算潮流分布涉及到优化牛顿法，每一次迭代计算都是解一组由Hessian矩阵组成的线性方程。

GXdFdX （4）

Hessian矩阵包括两个部分：

G=(dWdX)T(dWdX)-d2WdX2[W-W(X,Y)] （5）

在潮流计算过程中，Hessian矩阵的行列式是一个接近于零的正数或者是雅克比矩阵J=dWdX的行列式的相反数。这样当初始点在存在域之外时可以在潮流计算时找到状态点。

优化牛顿法的收敛于被Hessian矩阵行列式的正值所限制。在迭代过程中，如果初试近似值在收敛域外，为了能找到一个有解的工作点，迭代可能会收敛到一个不正确的解。这能使我们估计静态稳定裕度并找出权重最危险的路径。

3. 试验方案的调查研究

我们已经研究了带有满Hessian矩阵的优化牛顿法的收敛性。如图1所示，我们以一个三个节点的网络为例，以MathCAD程序为工具，进行了计算。不独立的变量是节点1和2的节点电压的相位角向量X1,2，独立变量是节点1和2的容量，节点1、2的电压幅值是给定的。

图1 试验网络

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在图2中，稳态解得存在域边界在角坐标系δ1-δ2中表示出来。这个边界与雅克比矩阵行列式的正值相符合：

（6） det(J)0 基于优化就顿法的潮流计算的结果是，相位角的值被考虑进去，这些值与图2（供电节点是正的，负载节点是负的）中所示的容量相对应。

对于状态点都在存在域内的，目标函数（2）已经减少到零。对于那些状态点在不在存在域内的，目标函数（2）还没有减少到零，计算出来的容量也与给定的容量不同。

图2 一个解的存在域

图3 存在域边界

在图3中，存在域的边界在坐标系P1-P2中表示出来。存在域（6）边界上的状态点受到存在域外容量的限制。以优化牛顿法为基础对最小化函数（2）进行潮流计算导致了迭代过程收敛到最近的边界点上，这是因为在同一水平上的目标函数（2）的边界是一个圆（对于三节点的系统），这个圆的圆心与给定节点容量W的点重合。在图3中，我们对拥有13000MW负载的节点1和15000MW注入功率的节点2工作点的同水平目标函数边界作了图形解释。当存在域边界奇异时，Hessian是值得注意的。Hessian矩阵（5）的行列式是一个接近于0的正数或者是雅克比矩阵行列

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式的负值，这使得对于那些在存在域之外的不稳定点也能计算其潮流分布。以线性方程组（4）为基础进行迭代计算，经过3到5次迭代后就可收敛到临界稳定点。当然，对于那些没有解的工作点，以牛顿——拉夫逊为基础的迭代过程是发散的。

我们已经研究了这个方法的收敛域。那意味着并不是所有的无解工作点都可以移到存在域的边界上。在迭代过程中如果某一阈值被超过，则迭代过程就会收敛到假象的解决方案，同时角度会超过360。我们必须注意到，当初始节点容量在存在域边界外时，为了得到一个稳定的工作点，我们没有必要添加任何的额外条件，因为迭代过程会向最近的边界点收敛。

按照最短最优路径将工作点移到可行性边界并不总是可行的，这个过程有许多限制因素。比如节点负载增长的不可能性，发电厂发电量的限制。发电机组的负载是各种各样的，因此为了能够更快地将工作点移动到可行性边界上，必须要通过更长但是更快地路径。

这个算法可以修改移动路径，通过计算权重系数，权重系数表示每个节点在总量控制中参与的程度。为了实现这个目标，表示每个节点权重系数的对角矩阵被包括到了目标函数（2）中。所有权重矩阵A的对角线元素都必须大于零。

当初始近似值在可行域内时，在计算过程中权重矩阵不会对计算过程和计算结果产生影响。

在图4中，我们可以看到在不同的权重系数下将同一个工作点按照不同的路径移到可行性边界。图中表示了两个工作点的移动路径。

在表1和表2中，可以看出权重系数对计算结果的影响。表1和表2中的k1和k2是节点1和2的权重系数。

表1：权重系数对计算输出的影响

初始容量：P1=-13000MW，P2=15000MW P1,MW P2,MW 1,deg 2,deg 系数 -7800 9410 -45 55 a1=1,a2=1 a1=5,a2=1 -8600 8080 10140 -69 -1 25 93 a1=0.005,a2=1 -5700 表2：权重系数对计算输出的影响 初始容量：P1=-8000MW，P2=-5000MW P1,MW P2,MW 1,deg 系数 -4360 -1680 -92 a1=1,a2=1 a1=0.01,a2=1 a1=1,a2=0.35 -1050 5800 -4920 0 -76 -99 2,deg -80 -94 -71 - XLIII -

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图4 工作点移到到可行性边界的路径

4. 组合方法

在潮流计算中如果将优化的牛顿法和利用雅克比矩阵的牛顿——拉夫逊法进行比较，我们会发现每一种方法的计算成本都是利用Hessian矩阵金子那个非零元素填充的方法的2.5到3倍。雅克比矩阵的每一行都与每一个节点对应，它的每一个非零元素都和某一个节点有关系。Hessian矩阵的每一行的非零元素不仅与邻近节点相对应，而且与邻近节点的礼金节点对应。然而，我们可以通过综合应用牛顿——拉夫逊法和优化牛顿法来补偿这些不足。这意味着一部分节点可以用传统的牛顿法来计算，其它的节点可以用优化牛顿法来计算。第一组的节点包括那些节点容量一般不会改变的母线或者不是用来临时改变状态的节点。因此，紧急情况下用来控制电网的那些节点是少数的。大多数的节点包括纯粹的转换母线，容量都是正的。活动节点是发电机母线用来提供对电网的控制。这种方法可以使牛顿法计算过的电网的所有正节点的容量保持不变，而由优化牛顿法计算的活动节点，它们的容量可能与给定值有偏差。这些偏差可以看作是操作输入量。优化牛顿法和牛顿——拉夫逊法组合方法的步骤如下所述：

1. 线性方程的雅克比矩阵由网络的所有节点生成。

2. 在求解带有雅克比矩阵线性方程的过程中必须从对所有正节点利用高斯法开始，当所有的正节点都被删除后，线性方程的因式分解才会停止。因式分解的等式则被保留。

3. 节点导纳矩阵是由与活动节点相对应的未被分解的雅克比矩阵的那部分生成。这个节点导纳矩阵包含只含有活动节点的等值电路的参数。

4. 生成带有Hessian矩阵的的线性方程是为了能从优化牛顿法中得到等式。

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5. Hessian矩阵线性方程是为活动节点定义耳朵，它随着独立变量Xact的变化而变化，并被重新计算。

6. 因式分解方程是为正节点定义的，它随着独立变量Xpas的变化而变化，并被重新计算。

7. 独立变量向量随着所有节点的变化而更新。

8. 所有节点的容量将被重新计算，限制条件被检验，活动节点列表被修正。

9. 检验迭代过程的收敛性，如果变量变化明显，要回到第一步重新计算。

活动节点的数目不会很大，优化后的算法仅仅比优化前计算成本大一点点。

5. 总结

1.基于优化牛顿法的电力系统潮流计算以最小平方和之差为目标函数，它实质上是拓宽了解决在超出存在域范围的稳态和非稳态条件下解决问题的途径。

2.在潮流计算中，Hessian矩阵行列式是一个接近于零的正数或者是雅克比矩阵的负值。当初始值在存在域外部时，迭代过程自动向最近的区域状态点靠近。

3.通过利用权重系数矩阵可以控制工作点向稳定性边界移动的路径。 4.利用综合方法进行潮流计算可以让我们充分利用优化牛顿法的优点并且提高计算速度。

5.当设定的节点容量在存在域之外时，活动点会存在差别，这个差别可以看作是对移动工作点到可行性边界路径的操作。当初始状态在存在域之内时，所有的活动节点和正节点都会在迭代过程中向零差异收敛。

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