距离的计算

利用向量解决距离问题

【学习目标】

掌握利用空间向量求两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面的距离、异面直线间的距离.的基本方法。通过对例题的研究求解，归纳总结，从中体会使用代数方法研究空间图形带来的方

【教学重点】

利用空间向量解决两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、 平行平面的距离、异面直线间的距离.问题的基本思路。

【教学难点】

在解题中的灵活应用。

一 自主学习

知识链接

空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则｜AB｜=________________.

新课探究

1．点到直线的距离:（见教材图2-26）

①作直线a的方向向量S，求a的法向量n，即此点到直线a的公垂线的方向向量AA1； ②在直线a上取一点P，作向量AP；

③求向量AP在n上的射影PA1，则点到直线间的距离为d=______ 注：其中异面直线的距离、平行直线的距离都可以转化点到直线的距离 2．点到平面的距离

方法1：直接作出距离，然后用向量进行计算．

方法2：已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，

ABn则A到平面的距离AC=.

n注：其中直线到平面的距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离.

1．在正方体ABCD- A1B1C1D1中，棱长为1，E为C1D1的中点，求下列问题：

（1）求B1到面A1BE的距离；（2）求D1C到面A1BE的距离； (3) 求面A1DB与面 D1C B1的距离；(4) 求点B与A1E的距离.

1

3：如图，正四棱锥SABCD的高SO2，底边长AB2。

求： (1)点B和SC之间的距离. (2)点O到平面SBC的距离

(3)直线AD与平面SBC的距离

A zS D O xC yB 图四 检测反馈:

01．长方体ABCDA,则A与B1C间的距离为( ) 1B1C1D1中BAB130,AA11 (A) 1 (B)

2 (C) 3 (D) 2

2．三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC所成的角均为60°,点A到PB的距离为3，则点A到平面PBC的距离

为（ ） (A)263(B)233(C)32(D)6 33．如图,在三棱锥A-BCD中,AC⊥底面BCD,BD⊥DC,BD=DC,AC=a,∠ABC=30º,则点C到平面ABD的

距离是( ) (A)5a5(B)153a (C)a55(D)15a 34．已知平面的法向量a=(-2,-2,,1),点A(-1,3,0) 在平面内,则点P(-2,1,4)到的距离（ ）

(A) 10 (B) 3 (C)

810 (D) 335．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1A1D11，AB=2，E为AB的中点，则C1到平面D1DE 的距离 6．空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D ，E分别是边OA，BC的中点连结DE。 (1) 计算DE的长 (2)求点O到平面ABC的距离.

2

7．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平面DBEF的距离。

8．.已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点. (1)求证：平面AB1D平面ABB1A1； (2)求点C1到平面AB1D的距离.

A1

B1 C1

D

A

B

C

五自我评价

你完成本学案的情况为＿,A很好 B 较好 C 一般 D 较差

3