例谈向量的三角形法则的运用

（萧山中学 311201 崔继国）

向量是现代数学的基本概念之一，作为新教材的特色内容之一.向量兼具了数和形的两方面特征，它既反映数量关系，又体现位置关系. 向量的三角形法则是向量学习的基础，在向量问题中必须充分重视三角形法则.这里，通过几个例题的求解来作一说明. 一、三角形法则在向量问题中的几何图示功能

明了所解问题的几何意义是代数问题几何化的根本，向量问题也不例外，在向量中，各种运算都有着明确的几何意义，三角形法则正是向量加、减的几何表示.

例1、已知a、b是两个不相等的非零向量，且abab，求ab与a的夹角.

22法一：abab，b2ab，即b222a2abb,ab22122a,

即有aba2abb23a.若设ab与a的夹角为，则3cos(ab)aabaaba23aa2，30

法二：如图1，作ABa,ADb，则DBab，以AB,AD为两邻边做平行四边形ABCD，则ACab，abab，平行四边形ABCD为菱形，

BAC30，即ab与a的夹角为30

D C

A B （图1）

b为两不共线的向量，axb与b的夹角为 . 例2、已知a、当axb取最小值时，

2解法一：axb(axb)(b)x(2ab)xa

abb22222x2ab2b22时，axb取最小值，即axb取最小值

此时，(axb)b[a(abb2)b]bababb2b2abab0

axb与b夹角为90

解法二：按题设作图2如下：图中，OAa,ABb，AHxb，axb的几何

意义即为点O与点H之距，O为定点，H为直线AB上任意一点，显然，垂线段最短，即此时axb与b垂直.

O B

a N Q M （图2） C A

A xb H b B (图3)

点评：法一为向量中的常规方法，体现了向量问题代数方法的基本方向，即运用

2aa，进行数量与向量的相互转化.例2中问题最终化为关于x的二次函数的最值问题.

2思路清晰，但运算稍嫌繁琐，且要求对向量的数量积的运算性质掌握非常透彻，否则难以回答正确. 而这两例中的法二均运用了向量加法几何意义，解题过程形象、直观，一击中的. 例3、已知P为ABC内部一点，且满足条件2PA3PB4PC0，则PBC，

PCA，PAB的面积比为 . 分析：本例中条件如何图形化？很容易想到重心的性质.因此，记2PAPM，

3PBPN，4PCPQ，则PMPNPQ0，即P为MNQ123SPMN16的重

心.SPMNSPNQSPQM，有正弦定理，易得SPABSPBC112SPNQ，SPCA18SPQM，即面积比为2:3:4.

SPMN，同理

二、三角形法则在向量运算中的转化功能

例4、如图，在三棱锥DABC中，DACBAC60,AC1,AB2,AD3，求ACBD.

D 分析：常规策略即通过建系设点，运用公式

abx1x2y1y2z1z2求解，但设点的坐标比较繁

琐.

C 但是，注意到所给条件中，与AC相关的角均已知，与BD相

A （图4） B 关的角未知，因此考虑转化. 即：BDBAAD，代入，有 ACBDAC(BAAD)ACBAcos120ACADcos60点评：BDBAAD是关键一步，体现了三角形法则的转化功能.

12.

例5、已知ABC中，a32,b4,c23. PQ是以A为圆心，2为半径的圆的直径，求BPCQ的最大值、最小值.（这里，本例不做详解，不妨自己体会一下） 事实上，只要细心观察就会发现向量的很多问题都是以三角形法则为基础的. 但总的来说，还是要数与形并重，会运算也要会识图、做图、用图 ，真正用好三角形法则.