（理科）
一、选择题（共12小题）. 1．
＝（ ）
B．﹣1+i
dx等于（ ）
B．π
C．2π
D．4π
C．﹣1﹣i
D．2+2i
A．﹣2+2i 2．A．
3．利用数学归纳法证明f（n）＝1+2+3+…+（3n+1）（n∈N*）时，第一步应证明（ ）A．f（2）＝1+2 C．f（1）＝1+2+3
B．f（1）＝1 D．f（1）＝1+2+3+4
4．已知数列{an}是等差数列，且a6＝6，a10＝8，则公差d＝（ ） A．
B．
C．1
D．2
＝4，则a＝（ ）
C．2
D．﹣2
5．已知函数f（x）＝ax2+b的图象开口向下，A．
B．
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为（ ） A．25kg
B．50kg
C．1500kg
D．2000kg
7．根据如图的程序框图，输出的S的值为（ ）
A．1007 B．1009 C．0 D．﹣1
8．在复平面内，虚数z对应的点为A，其共轭复数对应的点为B，若点A与B分别在y2
＝4x与y＝﹣x上，且都不与原点O重合，则A．﹣16
B．0
•
＝（ ）
D．32
C．16
9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，……这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为an，则下面结论错误的是（ ） A．an﹣an﹣1＝n（n＞1） B．a20＝210
C．1024是三角形数 D．
10．已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y1＝（x＞0），y2＝x，y3＝x，则阴影部分的面积为（ ）
A．1+ln2 B．ln2 C．1 D．2
，cos∠BAC
11．在△ABC中，∠B＝60°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，BD＝
＝，则AD＝（ ） A．2
12．已知方程3x2﹣
B．
C．
D．
ax+a2＝0的两实根为x1，x2，若函数f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在
x＝x1与x＝x2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数z的实部与虚部之和为2，且|z|＝
，则z＝ ．
14．某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图．当地政策规定，若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有 户．
15．若x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为 ．
16．函数f（x）是连续的偶函数，方程f（x）＝0仅有两个实根±1，且当x＝（﹣2，0）∪（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立，则不等式xf（x）＜0的解集为 ． 三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知函数f（x）＝
（Ⅰ）若f（x）＝3，求tanx； （Ⅱ）证明：f′（x）＝
． ．
18．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于点O，BC＝2AD，AC＝9，将△ABD沿着BD折起，使得A点到P点的位置，PC＝3（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BCD；
（Ⅱ）M为BC上一点，且BM＝2CM，求证：OM∥平面PCD．
．
19．已知a，b，c，d为实数．
（Ⅰ）证明：a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0； （Ⅱ）若ab+bc+cd+da＝4，证明：a，b，c，d中至少有一个不大于1． 20．已知函数f（x）＝（ax2+bx）ex．
（Ⅰ）若x＝0是f（x）的一个极值点，求实数b的值； （Ⅱ）若a＝2，b＝3，求f（x）在区间[﹣2，0]上的最值．
21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标为，|AB|＝5． （1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l的倾斜角为锐角，求与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程． 22．已知函数f（x）＝elnx﹣ax+1． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a＞0，且对任意的x∈[1，e]，都有f（x）＜a，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．
＝（ ）
B．﹣1+i
C．﹣1﹣i
D．2+2i
A．﹣2+2i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：
＝
．
故选：C． 2．A．
dx等于（ ）
B．π
C．2π
D．4π
【分析】由定积分的几何意义知：
面积等于四分之一个圆的面积，求解即可． 解：由定积分的几何意义知：
dx是如图所示的阴影部分扇形的面积，其
dx是如图所示的阴影部分的面积，即表示以原
点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一， 故故选：B．
dx＝π×22＝π，
3．利用数学归纳法证明f（n）＝1+2+3+…+（3n+1）（n∈N*）时，第一步应证明（ ）A．f（2）＝1+2 C．f（1）＝1+2+3
B．f（1）＝1 D．f（1）＝1+2+3+4
【分析】由f（n）的表达式，考虑右边的最后一项，即从1连续加到3n+1，可得所求结论．
解：由f（n）＝1+2+3+…+（3n+1）（n∈N*）， 可得f（1）＝1+2+3+4，
由数学归纳法的证明步骤，可知第一步应证明：f（1）＝1+2+3+4． 故选：D．
4．已知数列{an}是等差数列，且a6＝6，a10＝8，则公差d＝（ ） A．
B．
C．1
D．2
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出． 解：∵a6＝6，a10＝8， 则公差d＝故选：A．
5．已知函数f（x）＝ax2+b的图象开口向下，A．
B．
C．2
＝4，则a＝（ ）D．﹣2
＝，
【分析】先求出函数的变化率，根据极限的定义，结合二次函数的性质即可求出a的值．解：f（a+△x）﹣f（a）＝a（a+△x）2+b﹣a3﹣b＝2a2△x+a△x2， 则∴a＝±
，
＝
（2a2+a△x）＝2a2＝4，
∵函数f（x）＝ax2+b的图象开口向下， ∴a＝﹣故选：B．
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭
，
田中的收成约为（ ） A．25kg
B．50kg
C．1500kg
D．2000kg
【分析】利用几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率，乘以100得到圭田内果树的棵数，乘以产量得答案． 解：由题意，邪田的面积内部圭田的面积
．
．
；
则将100棵的果树均匀地种植在邪田，其中在圭田内果树的棵数为
∵一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为25×60＝1500kg． 故选：C．
7．根据如图的程序框图，输出的S的值为（ ）
A．1007 B．1009 C．0 D．﹣1
的变化规律（一般是周
【分析】循环体的算法功能，先研究随着i的变化，函数值期性循环出现），然后判断最后一项是多少，最终求出结论． 解：由题意可知S是∵i＝1时，x＝﹣1； i＝2时，x＝； i＝3时，x＝2； i＝4时，x＝﹣1；
的前2017个函数值的和．
可以看出所以故选：A．
的值是按﹣1，，2循环的，周期为3．
＝1007．
8．在复平面内，虚数z对应的点为A，其共轭复数对应的点为B，若点A与B分别在y2
＝4x与y＝﹣x上，且都不与原点O重合，则A．﹣16
B．0
•
＝（ ）
D．32
C．16
【分析】设出z，求出A，B的坐标，根据A，B在y2＝4x与y＝﹣x上求出a，b；再代入数量积求解即可．
解：设z＝a+bi；则z对应的点为A（a，b）； 其共轭复数对应的点为B（a，﹣b）；
又因为：点A与B分别在y2＝4x与y＝﹣x上，且都不与原点O重合； ∴
⇒
，（0，0）舍；
∴A（4，4），B（4，﹣4）； ∴
•
＝4×4+4×（﹣4）＝0；
故选：B．
9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，……这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为an，则下面结论错误的是（ ） A．an﹣an﹣1＝n（n＞1） B．a20＝210
C．1024是三角形数 D．
【分析】通过数列的项与序号之间的关系，判断选项A的正误，然后推出数列的递推关系式，求解数列的和，即可判断选项的正误．
解：1，3，6，10，15，21，28，36，45，……可得a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，… 得到an﹣an﹣1＝n，所以A正确；累加可得 则an﹣1＝1+2+3+4+…+n﹣1＝所以B正确；
﹣1；所以an＝
，a20＝
＝210，
，解得n∉N，所以C不正确，
＝
故选：C．
＝．所以D正确；
10．已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y1＝（x＞0），y2＝x，y3＝x，则阴影部分的面积为（ ）
A．1+ln2 B．ln2 C．1 D．2
【分析】首先求出被积函数的原函数，进一步求出阴影部分的面积．
解：根据题意构建方程组，解得（负值舍去），
同理构建方程组解得，
所以
．
＝＝
故选：B．
11．在△ABC中，∠B＝60°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，BD＝＝，则AD＝（ ） A．2
B．
C．
D．
，
，cos∠BAC
【分析】先由二倍角公式求得，进而由平方关系得到
再在△ABD中，运用正弦定理即可求得AD的值． 解：∵AD是∠BAC的平分线，∴
由题意知，∠BAD为锐角，
，
，
∴∴
， ，
，
在△ABD中，由正弦定理可得，
∴．
故选：A． 12．已知方程3x2﹣
ax+a2＝0的两实根为x1，x2，若函数f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在
x＝x1与x＝x2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】先根据方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，利用韦达定理找到两实根
与a的关系，然后利用函数f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在x＝x1与x＝x2处的切线相互垂直，即f′（x1）f′（x2）＝﹣1得一等量关系，再将刚才的a与两根的关系式代入，构造出关于a的方程求解即可． 解：因为方程3x2﹣
ax+a2＝0的两实根为x1，x2，所以△＝3a2≥0，故a∈R，
且，
∵f′（x）＝3x2﹣1，∴整理得：
将韦达定理代入整理得a4﹣3a2﹣2＝0 所以所以故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数z的实部与虚部之和为2，且|z|＝
，则z＝ 1+i ．
，满足条件的a有两个．
【分析】设z＝a+bi，根据条件求出a，b即可求解结论．
解：设z＝a+bi；a，b∈R；
∵复数z的实部与虚部之和为2，且|z|＝∴a+b＝2且a2+b2＝2； 解得：a＝b＝1； 故z＝1+i； 故答案为：1+i．
14．某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图．当地政策规定，若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有 20 户．
，
【分析】由频率分布直方图得家庭收入不足1.5万元的频率为0.01×10＝0.1，由此能求出该村享受国家扶贫政策户数．
解：若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策， 由频率分布直方图得家庭收入不足1.5万元的频率为0.01×10＝0.1， 则该村享受国家扶贫政策的有200×0.1＝20（户）． 故答案为：20．
15．若x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为 10 ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出z最大值即可．
解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图：
由z＝2x+y知，
所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时， 目标函数取得最大值．
结合可行域可知当动直线经过点B（5，0）时，
目标函数取得最大值z＝2×5+0＝10． 故答案为：10．
16．函数f（x）是连续的偶函数，方程f（x）＝0仅有两个实根±1，且当x＝（﹣2，0）∪（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立，则不等式xf（x）＜0的解集为 （﹣1，0）∪（1，+∞） ．
【分析】结合函数的导数的符号，以及函数的零点，画出函数的示意图，然后求解不等式的解集即可．
解：函数f（x）是连续的偶函数，方程f（x）＝0仅有两个实根±1，且当x＝（﹣2，0）∪（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立，可知函数在x∈（﹣2，0），x∈（2，+∞）时，都是增函数，
函数的示意图如图：
所以不等式xf（x）＜0的解集为：（﹣1，0）∪（1，+∞）． 故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．
三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）＝
（Ⅰ）若f（x）＝3，求tanx； （Ⅱ）证明：f′（x）＝
．
．
【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系即可求出， （Ⅱ）根据导数基本公式和运算法则即可证明． 解：（Ⅰ）
＝
＝3，解得tanx＝2，
＝
证明：（2）f′（Ⅱ）＝
＝
．
18．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于点O，BC＝2AD，AC＝9，将△ABD沿着BD折起，使得A点到P点的位置，PC＝3（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BCD；
（Ⅱ）M为BC上一点，且BM＝2CM，求证：OM∥平面PCD．
．
【分析】（Ⅰ）先证明PO⊥平面BCD，再证明平面PBD⊥平面BCD； （Ⅱ）先证明OM∥DC，再证明OM∥平面PCD． 【解答】证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC＝2AD， ∴CO＝2AO，
∴CO＝6，AO＝3，即PO＝3， 又∵
，
∴CO2+PO2＝PC2，则PO⊥CO， ∵AC⊥BD于点O， ∴PO⊥BD， 又BD∩OC＝O， ∴PO⊥平面BCD， 又PO在平面PBD内，
∴平面PBD⊥平面BCD； （Ⅱ）∵AD∥BC，BC＝2AD， ∴又
， ，故
，
∴OM∥DC，
又∵OM不在平面PCD内，DC在平面PCD内， ∴OM∥平面PCD． 19．已知a，b，c，d为实数．
（Ⅰ）证明：a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0； （Ⅱ）若ab+bc+cd+da＝4，证明：a，b，c，d中至少有一个不大于1．
【分析】（Ⅰ）要证a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0，可证a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da，再由基本不等式证明；
（Ⅱ）假设a，b，c，d都大于1，则a＞1，b＞1，可得ab＞1，同理bc＞1，cd＞1，da＞1，得到ab+bc+cd+da＞4，与ab+bc+cd+da＝4矛盾，即可说明假设不成立，得到a，b，c，d中至少有一个不大于1．
【解答】（Ⅰ）要证a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0， 需证a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da．
∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+d2≥2cd，d2+a2≥2da， ∴2（a2+b2+c2+d2）≥2（ab+bc+cd+da），
则a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立． ∴a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0； （Ⅱ）假设a，b，c，d都大于1，则a＞1，b＞1，∴ab＞1； 同理bc＞1，cd＞1，da＞1．
∴ab+bc+cd+da＞4，与ab+bc+cd+da＝4矛盾， 故假设不成立，
∴a，b，c，d中至少有一个不大于1． 20．已知函数f（x）＝（ax2+bx）ex．
（Ⅰ）若x＝0是f（x）的一个极值点，求实数b的值； （Ⅱ）若a＝2，b＝3，求f（x）在区间[﹣2，0]上的最值．
【分析】（Ⅰ）函数f（x）＝（ax2+bx）ex．的f′（x）＝ex[ax2+（b+2a）x+b]．由f′（0）＝0，解得b即可；
（Ⅱ）a＝2，b＝3时，f（x）＝（2x2+3x）ex，f′（x）＝ex（2x2+7x+3）．可得f（x）在[﹣2，﹣]递减，在[﹣，0]递增，即可求得（x）在区间[﹣2，0]上的最值． 解：（Ⅰ）函数f（x）＝（ax2+bx）ex的f′（x）＝ex[ax2+（b+2a）x+b]． ∵x＝0是f（x）的一个极值点，∴f′（0）＝0． 解得b＝0．
当b＝0时，f′（x）＝aex（x2+2x）．． 显然x＝0是f（x）的一个极值点． ∴b＝0．
（Ⅱ）a＝2，b＝3时，f（x）＝（2x2+3x）ex， f′（x）＝ex（2x2+7x+3）， 令f′（x）＝0．可得
或x＝﹣3．
可得f（x）在[﹣2，﹣]递减，在[﹣，0]递增， ∵
，f（0）＝0，
，最小值为
．
所以f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值为
21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标为，|AB|＝5． （1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l的倾斜角为锐角，求与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程． 【分析】（1）由AB弦的中点坐标可得AB两点横坐标之和，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线 的距离，再由AB的弦长求出p的值，进而求出抛物线的方程； （2）设直线l的方程与抛物线联立，且由题意可得斜率大于0，求出斜率，可得切线的斜率，设切线的方程，与抛物线联立，由题意判别式为0，进而求出切线直线的方程． 解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的中点的横坐标为，所以根据抛物线定义知|AB|＝|AF|+|BF|＝p+x1+x2＝5． 所以p+3＝5，解得p＝2，
．
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），k＞0，则由＝0． 所以
，即
，解得k＝2．
得k2x2﹣（2k2+4）x+k2
设与直线l平行的直线的方程为y＝2x+b，由 得4x2+（4b﹣4）x+b2＝0．
依题知△＝（4b﹣4）2﹣16b2＝0，解得故所求的切线方程为
．
．
22．已知函数f（x）＝elnx﹣ax+1． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a＞0，且对任意的x∈[1，e]，都有f（x）＜a，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，利用导数求函数的单调性； （Ⅱ）当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在
上单调递增，在
上单调递
减，再对a分三种情况讨论，利用导数研究函数的最大值，进而建立关于a的不等式得解．
解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
，
（i）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增； （ii）当a＞0时，令f′（x）＞0，解得∴f（x）在
上单调递增，在
，令f′（x）＜0，解得上单调递减；
，
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a＞0时，f（x）在
上单调递增，在
上单调递减；
上单调递增，在
上单调递
（Ⅱ）当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在减， ①当
，即a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，则f（x）max＝f（1）＝1﹣a，
由1﹣a＜a，解得，
∴此时实数a的取值范围为[e，+∞）； ②当
，即a≤1时，f（x）在[1，e]上单调递增，则f（x）max＝f（e）＝e﹣ae+1，
由e﹣ae+1＜a，解得a＞1， ∴此时a∈∅； ③当减，则
，即1＜a＜e时，f（x）在
，
上单调递增，在
上单调递
故1﹣elna＜a，即elna+a﹣1＞0， 设g（x）＝elnx+x﹣1，x∈（1，e），则∴g（x）在（1，e）上单调递增， 又g（1）＝0，
∴对任意x∈（1，e），都有g（x）＞0， ∴a∈（1，e）满足题意；
综上所述，实数a的取值范围为（1，+∞）．
，
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