全等三角形问题中常见的辅助线的作法之欧阳文创编

全等三角形问题中常见的辅助线

的作法(有答案)

时间：2021.03.12 创作：欧阳文 一、倍长中线（线段）造全等

1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

A2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

BEDAC3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点

ADFCBDE，求证;AB＝AD+BC。

E3、如图，已知在ABC内，

C400BAC600，ABC，P，Q分别在BC，CA上，并且BAP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

PQ4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分欧阳文创编

C欧阳文创编

ABC，求证： AC1800

A5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为ADAD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

12C三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为

PA，△EBC

BPCBD周长记为PB.求证PB＞PA.

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

EA的角平分

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，

BODG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

DC（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长. 五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

欧阳文创编

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（1） （2）

当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 若AB=2，求四边形DECF的面积。 MEBA例3 如图，ABC是边长为3的等边三角

CFA形，BDC是等腰三角形，且BDC1200，以D为顶点做N一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为； 参考答案与提示

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知 AB-BE <2AD例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D

BDCA是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG, 显然BG＝FC，

在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知 EG＝EF

在△BEG中，由三角形性质知 EG欧阳文创编

BAEAFDCBMNCD欧阳文创编

故：EF例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG, 显然DG＝AC， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB与△ADG中， BD＝AC=DG，AD＝AD，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE 应用：

1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为ABC腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量

关系．

（1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，

线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转

(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是

否发生改变？并说明理由．

解：（1）ED2AM，AMED；

欧阳文创编

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证明：延长AM到G，使MGAM，连BG，则ABGC是平行四边形 ∴ACBG，ABGBAC180 又∵DAEBAC180 ∴ABGDAE 再证：DAEABG ∴DE2AM，BAGEDA 延长MN交DE于H ∵BAGDAH90 ∴HDADAH90 ∴AMED （2）结论仍然成立． 证明：如图，延长CA至F，使ACFA，FA交DE于点B A D N H E M G C P，并连接BF ∵DABA，EAAF ∴BAF90DAFEAD ∵在FAB和EAD中 D F P A N E ∴FABEAD（SAS） ∴BFDE，FAEN ∴FPDFAPEAEN90 ∴FBDE 又∵CAAF，CMMB 欧阳文创编

B M C 欧阳文创编

∴AM//FB，且AM1FB 2∴AMDE，AM1DE

2二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

解：（截长法）在AB上取中点F，连FD

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知 DF⊥AB，故∠AFD＝90° △ADF≌△ADC（SAS）

∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,

AD∠

CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE

BE△ADE≌△AFE（SAS） ∠ADE＝∠AFE， ∠ADE+∠BCE＝180° ∠AFE+∠BFE＝180° 故∠ECB＝∠EFB △FBE≌△CBE（AAS） 故有BF＝BC 从而;AB＝AD+BC

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C欧阳文创编

3、如图，已知在△ABC内，BAC60，C400，P，Q分别

0在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

BAQ解：（补短法, 计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP

在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40° 从而∠BDP＝40°＝∠ACP △ADP≌△ACP（ASA） 故AD＝AC

又∠QBC＝40°＝∠QCB 故 BQ＝QC BD＝BP

从而BQ+AQ=AB+BP

PC4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分

ABC，

AD求证： AC1800

解：（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD

△BDF≌△BDC（SAS） 故∠DFB＝∠DCB ，FD＝DC 又AD＝CD

故在等腰△BFD中 ∠DFB＝∠DAF

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BC欧阳文创编

故有∠BAD+∠BCD＝180°

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

解：（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD △ABP≌△AFP（SAS） 故BP＝PF 由三角形性质知

PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC 应用：

分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。 解：有BCADAE 连接AC，过E作EF//BC并AC于F点 则可证AEF为等边三角形 即AEEF，AEFAFE60 ∴CFE120 又∵AD//BC，B60 ∴BAD120 又∵DEC60 ∴AEDFEC 在ADE与FCE中 欧阳文创编

E B C A D E B F C A D 欧阳文创编

EADCFE，AEEF，AEDFEC

∴ADEFCE ∴ADFC ∴BCADAE

点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。 三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.

解：（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FE

AD为△ABC的角平分线, MN⊥AD 知∠FAE＝∠CAE 故有

△FAE≌△CAE（SAS） 故EF＝CE

在△BEF中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

欧阳文创编

欧阳文创编

证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连

BN,DN.∵BD=CE, ∴DM=EM,

∴△DMN≌△EMA(SAS), ∴DN=AE, 同理BN=CA.

延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD, 相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去DP,得BN+AB>DN+AD, ∴AB+AC>AD+AE。

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE 证明

(角平分线在三种添辅助线,计算数值BEOA角平分=AC 法)∠B=60度,

则∠BAC+∠BCA=120度;

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DC欧阳文创编

AD,CE均为角平分线,

则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD; ∠AOC=120度.

在AC上截取线段AF=AE,连接OF. 又AO=AO;∠OAE=∠OAF .则⊿OAE≌ΔOAF(SAS), OE=OF;AE=AF; ∠AOF=∠AOE=60度.

则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD; 又CO=CO;∠OCD=∠OCF. 故⊿OCD≌ΔOCF(SAS), OD=OF;CD=CF. OE=OD

DC+AE=CF+AF=AC.

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DC

DG垂直平分BC，故BD＝DC

由于AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，

欧阳文创编

EBGCFAD欧阳文创编

DF⊥AC于F，故有 ED＝DF

故RT△DBE≌RT△DFC（HL） 故有BE＝CF。 AB+AC＝2AE AE＝（a+b）/2 BE=(a-b)/2 应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对

以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，

AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相

交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)

B 中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否B M

F F D 仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理P O E E D

由。

图①

N

A

图②

C

A 图③

C

(第23题图)

解：（1）FE与FD之间的数量关系为FEFD

（2）答：（1）中的结论FEFD仍然成立。 证法一：如图1，在AC上截取AGAE，连结FG

欧阳文创编

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∵12，AF为公共边， ∴AEFAGF

∴AFEAFG，FEFG

∵B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 ∴2360

∴AFECFDAFG60 ∴CFG60

∵34及FC为公共边 ∴CFGCFD ∴FGFD ∴FEFD

证法二：如图2，过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点H

∵B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 ∴可得2360，F是ABC的内心 ∴GEF601，FHFG

A E 1 2 图 2 G F 4 3 C B D H A E F 1 2 G 图 1

4 3 C B D 又∵HDFB1 ∴GEFHDF ∴可证EGFDHF ∴FEFD 五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F

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BADFEC欧阳文创编

为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG 则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE，AF=AG，

所以三角形AEF全等于AEG

所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90 所以∠EAF=45度

例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

(1)当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 (2)若AB=2，求四边形DECF的面积。

解：(计算数值法)（1）连接DC，

D为等腰RtABC斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DA CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45° 由于DM⊥DN，有∠EDN＝90° 由于 CD⊥AB，有∠CDA＝90° 从而∠CDE＝∠FDA＝ 故有△CDE≌△ADF（ASA）

欧阳文创编

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故有DE=DF

（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1

例3 如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；

解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，∵在△DMN和△DEN中， DM=DE ∠MDN=∠EDN=60° DN=DN

∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE

∵在△DMA和△DEF中， DM=DE

∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM)

∠DAM=∠DFE=30°

欧阳文创编

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∴△DMN≌△DEN (AAS)，∴MA=FE

AMN的周长为

AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6

应用：

1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，

∠ABC120，∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分

别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证

AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

A A A

M AD，BCCD解：（1）∵ABAECF E AB ME， BC，B B B ∴ABECBF（SAS）； C ∴ABEN，BEBF CBFF D C F D N

F C N

（图3）

D E

M

∵（图ABC1）120 2） ，MBN60（图

∴ABECBF30，BEF为等边三角形 ∴BEEFBF，CFAE1BE

2∴AECFBEEF

（2）图2成立，图3不成立。

证明图2，延长DC至点K，使CKAE，连接BK 则BAEBCK

欧阳文创编

B

A E M

K C

F D

N 欧阳文创编

∴BEBK，ABEKBC ∵FBE60，ABC120 ∴FBCABE60 ∴FBCKBC60 ∴KBFFBE60 ∴KBFEBF ∴KFEF ∴KCCFEF 即AECFEF

图3不成立，AE、CF、EF的关系是AECFEF 2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作

正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

分析：（1）作辅助线，过点A作AEPB于点E，在

RtPAE中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，可得PADPAB，求PD长即为求PB的长，在RtAPP中，可将PP的值求出，在

RtPPB中，根据勾股定理可将PB的值求出；解法二：过点

P欧阳文创编

欧阳文创编

作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在

RtAEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在

RtPFG中，可求出PF，在RtPDF中，根据勾股定理可将PD的

值求出；

（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，得到PAB，PD的最大值即为PB的最大值，故当P、P、B三点共线时，PB取得最大值，根据

PBPPPB可求

PB的最大值，此时

APB180APP135．

解：（1）①如图，作AEPB于点E ∵RtPAE中，APB45，PA∴AEPE222D

C

2

1

P A E

B

∵PB4

∴BEPBPE3

在RtABE中，AEB90 ∴ABAE2BE210

②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将D

PAD绕点

A顺时针旋转90得到PAB，，可得PADPAB，P′ A P

E

B

C

PDPB，PAPA

∴PAP90，APP45，PPB90 ∴PP2，PA∴PDPB2

PP2PB2224225；

解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线

欧阳文创编

欧阳文创编

交于F，设DA的延长线交PB于G．

在

RtAEG中，可得

AGAEAEcosEAGcosABE103，

EG13，

D PGPEEG23 在

RtPFG中，可得

PFPGcosFPGPGcosABE105A ，FG1015 P G F E 在RtPDF中，可得

（2）如图所示，将PAD绕点A顺时针旋转90,得到

PAB，PD的最大值，即为PB的最大值

∵PPB中，PBPPPB，PP2PA2，PB4且

P、D两点

落在直线AB的两侧

∴当P、P、B三点共线时，PB取得最大值（如图）

D D

此时

C

C

A P′ A PPBP

6，即PBB

的最大值为

6P′

P

B

PBP

此时APB180APP135

3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

图

1 图2

图3

欧阳文创编

C

B

欧阳文创编

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是； 此时Q；

L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，

猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上

时，

若AN=x，则Q=（用x、L表示）．

分析：（1）如果DMDN，DMNDNM，因为BDDC，那么DBCDCB30，也就有MBDNCD603090，直角三角形MBD、NCD中，因为BDDC，DMDN，根据HL定理，两三角形全等。那么BMNC，BMDDNC60，三角形NCD中，NDC30，

MDN60DN2NC，在三角形DNM中，

DMDN，

，因此三角形DMN是个等边三角形，因此

MNDN2NCNCBM，三角形AMN的周长QAMANMN

ABC的周长L3AB，因

AMANMBNCABAC2AB，三角形

此Q:L2:3．

（2）如果DMDN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使CEBM，连接DE．（1）中我们已经得出，MBDNCD90，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MBCE，BDDC，因此两三角形全等，那么

DMDE，BDMCDE，EDNBDCMDN60．三角形

MDN欧阳文创编

欧阳文创编

和EDN中，有DMDE，EDNMDN60，有一条公共边，因此两三角形全等，MNNE，至此我们把BM转换成了CE，把

MN转换成了NE，因为NECNCE，因此MNBMCN．Q与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的。

（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作CDHMDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的

BDMCDHDCHMB90，我们做的角

，BDCD，因此两三角形全等（ASA）．那么

，三角形MDN和NDH中，已知的条件有

BMCH，DMDHMDDH，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道

MDNHDN，因为CDHMDB，因此MDHBDC120，因为MDN60，那么NDH12060 60，因此MDNNDH，这样就构成了两三角形全等的条

件．三角形

NMNHANACBMMDN，

和三

DNH角

就全等了．那么形

AMN的周长

QANAMMNANABBM

ANACBM2AN2AB．因为ANx，AB1L，因此三角形3AMN的周长Q2x2L．

3解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系：

BMNCMN；此时

Q2． L3A

（2）猜想：结论仍然成立．

证明：如图2，延长AC至E，使CEBM，连接DE

M N C

D

∵BDCD，且BDC120

欧阳文创编

B

图 1

欧阳文创编

∴DBCDCB30 又ABC是等边三角形 ∴MBDNCD90 在MBD与ECD中 ∴MBDECD（SAS） ∴DMDE，BDMCDE ∴EDNBDCMDN60 在MDN与EDN中 ∴MDNEDN（SAS） ∴MNNENCBM 故

AMNB M D 图 2

E

B M D 图 3

H C

C

N A

N

A

的周长

QAMANMNAMBMANNCABAC2AB

而等边ABC的周长L3AB ∴Q2AB2

L3AB3（3）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若

ANx，则Q2x2L（用3x、L表示）．

点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。

时间：2021.03.12 创作：欧阳文 欧阳文创编