A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法

要点一：手拉手模型

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点

结论：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC 变形：

例1.如图在直线ABC的同一侧等边三角形ABD与BCE，连结

CD，证明

作两个

AE与

（1）ABEDBC (2)AEDC

(3)AE与DC之间的夹角为60 (4)AGBDFB (5)EGBCFB (6)BH平分AHC (7)GF//AC

变式精练1：如图两个等边三角形ABD与

BCE，连结AE与CD，

证明（1）ABEDBC （2）AEDC

（3）AE与DC之间的夹角为60

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC

变式精练2：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD， 证明（1）ABEDBC (2）AEDC

(3）AE与DC之间的夹角为60

(4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC 例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结

AG,CE,二者相交于点H

问：（1）ADGCDE是否成立？ （2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分AHE？

例3：如图两个等腰直角三角形ADC与

EDG，连结AG,CE,二者相交于点H

问：（1）ADGCDE是否成立？ （2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分AHE？

例4：两个等腰三角形ABD与BCE，

ABBD,CBEB,ABDCBECD，

其结

AE中与

,连

问：（1）ABEDBC是否成立？ （2）AE是否与CD相等？

AE与CD之间的夹角为多少度？ （3）

（4）HB是否平分AHC？ 例5：如图，点A.B.?C在同一条直

线上，分别以

AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。

【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB的度数

倍长与中点有关的线段

倍长中线类

?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知

知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 A△ABC中方式1：延长AD到E，

BAD是BC边中线使DE=AD，C D以考线和未

连

接BE

方式2：间接倍长

作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，

E连接BE连接CD

【例1】 已知：ABC中，AM是中线．求证：AM1(ABAC)．

2【练1】在△ABC中，AB5，AC9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？

【练2】如图所示，在ABC的AB边上取两点E、F，使AEBF，连接CE、CF，求证：ACBCECFC．

【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)

【例2】 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，

E是AD上一点，延长BE交AC于F

，AFEF，

求证：ACBE．

E是【练1】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，F，求AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于

证：AFEF

【练2】如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G.求证：BF=CG.

【练3】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线．

E、F分别在BD、AD平分BAC，AD上．【练4】如图所示，已知ABC中，DECD，

EFAC．

求证：EF∥AB

【例3】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BECFEF．

【练1】在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE90．若AD3，BE4，则线段DE的长度为_________．

【练2】如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分BC且AD⊥AC，则∠BAC=______. 【练3】在ABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且

MDND．

（1）若A90，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？ （2）如果BM2CN2DM2DN2，求证AD21AB2AC2．

4【例4】如图，等腰直角ABC与等腰直角BDE，P为CE中点，连接PA、PD.

探究PA、PD的关系.（证角相等方法） 【练1】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.

探究AP与EF的数量关系和位置关系.（证角相等方法）

【练2】如图，在ABC中，CDAB，BADBDA，AE是BD边的中线.求证：AC2AE 【例5】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证CD2EC．

【练1】已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，CE为ABC的AB边上的中线．

求证：CD2CE

【练2】如图,CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC中线,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求证CE=2CD.

【例16】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.

探究AP与EF的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用） 【练1】已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点. ⑴试说明线段ME与MC数量关系和关系.

⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转度数（90），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.

★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平

分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，

进而得到角相等，全等)

【例10】 如图所示，ABC中，C900,B450，AD

平分BAC交BC于D。求证：

AAECAB=AC+CD。

【练1】如图所示，在ABC中，B600，ABC的角平分线AD、CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。 【练2】已知ABC中，A60，BD、CE分别平分试判断BE、CD、BABC和ACB，BD、CE交于点O，

BC的数量关系，并加以证明．

DOABDEODC【练2】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC，AE平分

BC∠BAD交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：AB=AD+BC.

【练3】已知：如图,在△ABC中,∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线。求证：BC=AB+AD.

【练4】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC．

NA【例11】已知如图所示，在△ABC中,AD是角平分线,且AC=AB+BD,试说明∠B=2∠C（不只是边，倍角也适用）

BMCD【练1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于点D．求证：∠DBC＝1∠BAC．

2【例12】如图所示，已知12，P为BN上一点，且

PDBCM于D，AB+BC=2BD，求证：

AB12DCPNCBAPBCP1800。

【练1】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，

ABD平分ABC，

求证：AC1800 【例13】如图所示，在

RtABCD中，AB=AC，

BCBAC900，ABDCBD，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。

【练1】已知：如图示，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：CD=2AD．

【练2】如图所示，在ABC中，ABC900，AD为BAC的平分线，C=300，

BEAD于

E点，求证：AC-AB=2BE。

A【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AEEF,交∠DCH的平分线于点F，求证AE=EF

【练4】已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在

BEDCAC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

【例14】如图所示，已知AB//CD，ABC,BCD的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC=AB+CD。

【练1】如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 【练2】如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD．

DPECAB【练3】在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD．

【练4】如图所示,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为三角形ABC外一点,且AD＝BD,DE⊥AC交AC的延长线于点E.试探求ED、AE之间有何数量关系

和BC

【练5】在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你论

中试探的结

【例15】如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证：AB-AC＞PB-PC A 12 P BC

D 【练1】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．

求证：BECFEF．

如图，E是AOB的平分线上一点，ECOA，

CAEDOB，垂足为C、D。求证：（1）OC=OD；（2）

FODEDF=CF。

构造等边三角形

B1、如图,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=60°，E是AD上一点，且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.

2、在等腰ABC中，顶角A20，在边AB上取点D，使AABAC，DBCDC. ，求B练习1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于 A、2cm B、3cm C、4cm D、5cm

练习2、在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',点D,D'分别是BC,B'C'的中点,且AD=A'D',证眀：ABCA'B'C'. （倍长中线）

C B ABC的角平分线，练习3、如图，在△ABC中，BE是∠AD⊥BE，垂足为D，B' D D'

求证：∠2=∠1+∠C

C'

A A'

练习4、如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E （1）试说明：BD=DE+CE．

（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；

（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．

如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，有过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE＝BD－CE．（思路：截长补短法）

如图,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60°,BD+DC=AB.求证：∠ACD=60°.（截长补短）

1、如图，等腰直角ABC与等腰直角BDE，P为CE中点，连接PA、PD.

探究PA、PD的关系.（辅助线的连法都一样）

2、已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点. ⑴试说明线段ME与MC数量关系和关系.（辅助线的连法都一样）

⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转度数（90），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.

3、已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F． 求证：BECFEF．（辅助线的连法都一样）

【阅读理解】

已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC=AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS） ∴∠AED=∠B=90°，DE=DB

又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形． ∴DE=EC．

∴AC=AE+EC=AB+BD． 【解决问题】

已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为．

【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想． 【类比猜想】

任意三角形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．

如图,已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC. （1）求证：AM平分∠DAB

（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？

（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果。