马井堂高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

n(a1an)n(n1)

1、 等差 求和：Snna1d22自然数方幂和公式： 3、Sn(q1)na1n2. 等比 求和：Sa(1q)aaq 1nn1(q1)1q1qn11 4、Sk2n(n1)(2n1) kn(n1)n62k1k1n

5、Snkk1n31[n(n1)]2 2n(n1) 2n(n1)(2n1)2222前n个正整数的平方和 123n

6n(n1)23333前n个正整数的立方和 123n[]

2前n个正整数的和 123n

二、错位相减法求和

这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。 [例1] 求和：

Sn13x5x27x3(2n1)xn1（

x1）

注意、1、 要考虑 当公比x为值1时为特殊情况； 2、 错位相减时要注意末项

三、倒序相加法求和: 就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个

(a1an).

[例2] 函数

f(x)对任意

xR，都有

f(x)f(1x)11n11f()f()f()an满足：2。nn2（1）求和的值；（2）数列

bn44an1，

12n1anf(0)f()f()f()f(1)nnn，数列

an是等差数列吗？请给与证明。（3）

Sn3216n，

Tnb1b2bn试比较Tn与Sn的大小。

222

四、分组法求和

若数列

an的通项公式为cnanbn，其中an,bn中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。

[例3] 求数列1

1111,2,3,4的前n项和； 24816五、裂项法求和

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，如：

sin1（1）anf(n1)f(n) （2） tan(n1)tanncosncos(n1)数列 第 1 页 共 3 页

1

111(2n)2111 （4）an1() n(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n11111（5）an[] n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)（3）an[例] 求数列

[例] 在数列{an}中，an

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. [例] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6

数列通项公式的十种求法 一、公式法

二、累加法：由递推公式化简叠加 例1 已知数列{an}满足an1

例2 已知数列{an}满足an1

例3 已知数列{an}满足an1

三、累乘法：由递推公式化简相乘 例4 已知数列{an}满足an1

四、待定系数法

例5 已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列注：an1x5n12(anx5n)

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2

112,123,,1nn1,的前n项和.

212n，又bnanan1n1n1n1，求数列{bn}的前n项的和.

9,求log3a1log3a2log3a10的值.

an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。

an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

3an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

2(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。

an的通项公式。

形如： 在数列an中，若an1AanB

五、对数变换法

例6 已知数列{an}满足an+1 = 10n×an2

六、累乘+对数法 / 迭代法 例7 已知数列{an}满足an13(n1)2an，a15，求数列{an}的通项公式。

n(A,B为非零常数）a17，求数列{an}的通项公式。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式

3(n1)2an1ann两边取常用对数得

可

推

知

lgan13(n1)2nlgan，即

lgan13(n1)2nlgann(n1)2，再由

n(n1)2累乘法

lganlgan1lganlgan1lgan2

七、数学归纳法

例8 已知数列{an}满足a

n1lga3lga2lga1lg53n!2lga2lga1，从而an53n1n!2。

n1an8(n1)8，求数列{a}的通项公式。

，an1(2n1)2(2n3)29

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