中考数学28题汇编练习及答案

28．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC =，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使

AE=AD，

DAE+BAC=180°．

（1）直接写出∠ADE的度数（用含的式子表示）； （2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，

①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD； ②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．

AEEAAEBDCBDFCBDFC

图1 图2 图3

28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，

作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.

（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；

（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立

给出证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂

线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

28.

如图1，在

Rt△ABC中，ACB90，E是边AC上任意一点(点E与点A，C不重合)，以CE为一直角边作Rt△ECD，ECD90，连接BE，AD. (1) 若CACB，CECD，

①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(2) 若CA8，CB6，CE3，CD4，Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角，

22如图3，连接BD，AE，计算BDAE的值.

AEB图3CD

28． 已知△ABC是锐角三角形，BA=BC，点E为AC边的中点，点D为AB边上一点，且∠

ABC=∠AED=α．

（1）如图1，当α=40°时，∠ADE= °；

（2） 如图2，取BC边的中点F，联结FD，将∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN，EM与BA的延长线交于点M， EN与FD的延长线交于点N． ①依题意补全图形；

②猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．

CCEEADBADB

图1 图2

28．如图1，点O为正方形ABCD的中心．

（1）将线段OE绕点O逆时针方向旋转90，点E的对应点为点F，连结EF，AE，

BF，请依题意补全图1；

（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；

（3）如图2，点G是OA中点，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，

EGF90，AB22，GE2，△EGF绕G点逆时针方向旋转角度，

请直接写出旋转过程中BH的最大值．

E

图1

BCOADEHAGOBCDF图2

28．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB=BC,∠ABC=60°,∠APC=30°,连接

PB，那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？

经过思考后，部分同学进行了如下的交流：

小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想: PA2+PC2=PB2 .

小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB 后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP′ 分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法. 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （1）如图2，点P在∠ABC的内部，

①PA=4，PC=23，PB= .

②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系，并证明.

（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例

说明.

图1 图2

28．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连结

PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D．

（1）如图1，若α=60°，求∠DPC的度数； （2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的度数；

（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数．

AAADDBPPCBPCBC图1图2图3

28.在△ABC中，AB＝BC=2，∠ABC＝90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F.

BE与FC相交于点H.

（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：____________; （2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点.求证：MN=

2

FC; 2

（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系： .

EAAMEAFF

HBaDFaHBDaDHBCECNC图1

图2

图3

28.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=12，对角线交于点O，∠BAD的平分线交BC于

E、交BD于F，分别过顶点B、D作AE的垂线，垂足为G、H，连接OG、OH．

（1）补全图形； （2）求证：OG=OH；

（3）若OG⊥OH，直接写出∠OAF的正切值．

ABFEOCD

28．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．则∠C= 度，∠D= 度． （2）在探究“等对角四边形”性质时：

小红画了一个“等对角四边形ABCD”（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；

（3）已知：在“等对角四边形ABCD”中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．

DCA图1

BADBC图2

28．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段

CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE．

（1）① 依题意补全图形；

② 请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．

（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的

数量关系，并说明理由． （3）如图2，在正方形ABCD中，AB=2，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到

BP的距离．

PACDDAB BC

图1 图2

28．如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且

AB=43，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．

（1）求AP的长；

（2）求证：点P在∠MON的平分线上；

（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，

DE，EF，FC，OP．

当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF周长的值． ．．

MAMA

C

BOPFPEDO

NBN 图① 图②

答案

28．(本小题满分7分) （

1

）

∠

ADE =

90．…………………………………………………………… ……

………………….…1分

（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形， ∴AB∥EF．

∴EDCABC． …………………………….……2分 由（1）知，∠ADE =90，

∴ADCADEEDC90． …………………...……3分 ∴AD⊥BC． ∵AB=AC， ∴

BDFCEABD=CD．……………………………………………………………………………………..………

……4分 ②证明：

∵AB=AC，∠ABC =， ∴CB．

∵四边形ABFE是平行四边形，

BCDFAE∴AE∥BF, AE=BF．

∴

EACC．…………………………………………………………………………………

…………5分

由（1）知，DAE2， ∴

DAC．………………………………………………………………………………………

…………6分 ∴DACC． ∴AD=CD． ∵AD=AE=BF， ∴BF=CD． ∴

BD=CF．………………………………………………………………………………………………

………7分

28．解：（1）CH=AB． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分 证明：如图11，连接BE． 在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF， ∴ AF=CE．

图11 在△ABF和△CBE中，

ABCB,ABCE, AFCE, ∴ △ABF≌△CBE．

∴ ∠1=∠2．……………………………………………………………………3分 ∵ EH⊥BF，∠BCE=90°，

∴ H，C两点都在以BE为直径的圆上．

∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1．

∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°， ∴ ∠4=∠HBC．

∴ CH=CB．………………………………………………………………… 5分 ∴ CH=AB．………………………………………………………………… 6分 （3）323．………………………………………………………………………7分

28．（1）①解： BE②BEAD，BEAD；……2分

AD，BEAD仍然成立；

证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1. ∵ACBECD90， ∴ACDBCE. 在△ACD和△BCE中，

FGBEAACBC,ACDBCE, CDCE,∴△ACD≌△BCE.

∴ADBE，CADCBE.……3分

图1CD∵BFCAFG，BFCCBE90， ∴AFGCAD90. ∴AGF90. ∴BEAD.……4分

（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与∵ACBECD90，

AD的交点为点G，如图2.

∴ACDBCE.

∵CA8，CB6，CE3，CD4，

∴

CACD4. CBCE3∴△ACD∽△BCE.……5分

∴CADCBE.

∵BFCAFG，BFCCBE90， ∴AFGCAD90. ∴AGF90. ∴BGAD.……6分 ∴AGEBGD90.

∴AEAGEG，BDBGDG. ∴BDAEAGEGBGDG. ∵AGBGAB，EGDGED，

∴BDAEABEDCACBCDCE125.……7分

28. 解：（1）ADE70°；…….1分

（2）①见右图；…….2分

②EMEN．…….3分

证明：∵ABCAED，BACBAC．

∴EDAACB90°∵BABC，

∴ACBBAC，即EDABAC． ∴EAED . …….4分 ∵E是AC中点，∴EAEC．

222222222222222222222222222．

∴EAECED．

∴点A,D,C在以AC为直径的圆上．∴ADC90°．. …….5分 而EAM180°EAD180°(90°2)90°2． ∵点F是BC中点，∴FDFB．∴FDBABC． ∴EDNEDAADNEDAFDB90°90° 2∴EAMEDN．…….6分 ∵ ∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN， ∴ ∠AED=∠MEN ，

∴∠AED- ∠AEN=∠MEN-∠AEN ，即 ∠MEA=∠NED． ∴ ΔEAM≌ΔEPN ． ∴ EM=EN．…….7分 28．解：

（1）正确画出图形；………………1分

（2）延长EA交OF于点H，交BF于点G…2分 ∵O为正方形ABCD的中心， ∴OAOB，∠AOB＝90……3分 ∵OE绕点O逆时针旋转90角得到OF ∴OEOF

∴∠AOB＝∠EOF＝90

∴∠EOA＝∠FOB……4分 在△EOA和△FOB中，

OEOF，OAOB，∠EOA＝∠FOB，

∴△EOA≌△FOB ∴AEBF.……5分 ∴∠OEA＝∠OFB

2.

∵∠OEA+∠OHA ∴∠OFB+∠FHG=90 ∴AE⊥BF……6分

（3）BH的最大值为52……8分

28. （1）①27；……………………………………………………………………………1分

222②PAPCPB. …………………………………………………………2

分

证明：作∠PBP′＝∠ABC＝60°，且使BP′＝BP，连接P′C、P′P. ……………

3分

∴∠1＝∠2. ∵AB＝CB，

∴△ABP≌△CBP′. …………………………4分 ∴PA＝P′C，∠A＝∠BCP′. 在四边形ABCP中，

∵∠ABC＝60°，∠APC＝30°， ∴∠A＋∠BCP＝270°. ∴∠BCP′＋∠BCP＝270°.

∴∠PCP′＝360°－(∠BCP′＋∠BCP)＝90°. ……………………………………5

分

∵△PBP′是等边三角形. ∴PP′＝PB.

P'C2PC2P'P2.……………………………………………6分 在Rt△PCP′中，

222∴PAPCPB.

（2）点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例： 如图，当点P在CB的延长线上时，

222结论为PAPBPC.

（说明：答案不惟一）

……………………………………………………………………………………………7分

28．解：

（1）∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP， ∴BA= BP，

∵α=60°，∴△ABP是等边三角形，..................................1分 ∴∠BAP=60º，AP= AC， 又∵∠BAC=90°，

∴∠PAC=30º，∠ACP=75º， ∵PD⊥AC于点D， ∴

∠

ADPC=15º．

......................................................2分

1..............23DCEP（2）结论：∠DPC=75º．..................................................3分 B（3）画

图.............................................................................4分

过点A作AE⊥BP于E． ∴∠AEB=90º，

∵∠ABP=150°，∴∠1=30º，∠BAE=60º， 又∵BA= BP， ∴∠2=∠3=15º， ∴∠PAE=75º， ∵∠BAC=90°， ∴∠4=75º， ∴∠PAE=∠4， ∵PD⊥AC于点D， ∴∠AEP=∠ADP =90º，

∴△APE≌△APD，..............................................................5分 ∴AE= AD，

P21E3A4DCB在Rt△ABE中，∠1=30º，∴AE又∵AB=AC， ∴AEAD∴AD=CD，

又∵∠ADP=∠CDP=90º，

1AB， 211ABAC， 22∴△ ADP≌△CDP，.............................................................6分

∴∠DCP=∠4=75º， ∴

∠

BADDPC=15Eº．.......................................................................7分 EA另法：作平行，构造平行四边形．

28.（1）BE=CF． ………………………………………………………………2分 （2）证明：如图2，

∵AB=BC，∠ABC=90°，BD为斜边中线 1

∴BD=AD=CD=AC，BD⊥AC

2

∵ △EFD是由△ABD旋转得到的， ∴DE=DF=DB=DC，∠EDF=∠ADB=∠BDC=90° ∴∠EDF+∠BDF=∠BDC+∠BDF，即∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC ∴BE=FC且∠1=∠2 又∵∠3=∠4

∴∠FHE∠FDE90 ,即BE⊥CF…………………………………………3分 连接BF，取BF中点G，连接MG、NG. ∵M为EF中点，G为BF中点，N为BC中点

CDPBCPEAMFGBN图2

4132DaHC11

∴MG∥BE，MG=BE；NG∥FC，NG=FC

22又∵EB=FC，BE⊥FC ∴MG=NG，∠MGN=90° ∴△MGN为等腰直角三角形 ∴MN=

2

FC …………………………………………………………………5分 2

（3）BF2CE2AC2 ……………………………………………………………7分

28．解：（1）

AGFBEHCOD

………………………………

………… 1分 （2）

AGFBEHCODP

证明：如图，延长AE、DC交于点P．

∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD//BC，AB//CD． ∴

∠

DAE=∠ AEB，∠ BAE=∠

DPA． ……………………………………… 2分

∵ AE平分∠ BAD， ∴ ∠ DAE=∠ BAE，

∴ ∠ BAE=∠ AEB，∠ DAE=∠ DPA． ∴

BA=BE，

DA=DP， ……………………………………………………… 3分

又 ∵ BG⊥ AE，DH⊥ AE， ∴

G为AE中点，H为AP中

点． …………………………………………… 4分

又 ∵O为AC中点，AD=BC， ∴ OGCE111BCBEADAB，

222111OHCPDPCDADAB ． …………………

222………… 5分

∴

OG=OH． ………………………………………………………………… 6分

（

3

）

7． ……………………………………………………………………………… 7分 17

28．解：（1）∠D=80°，…………………………………………1

∠C=130°；…………………………………………2

（2）①如图2，连接BD， ∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB．………………………………………………3 ∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB． ∴∠CBD=∠CDB．

∴CB=CD．………………………………………………………4

（3）（Ⅰ）如图，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E， ∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，

EDCAB∴AE=10．

∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6．……………………………………5 ∵∠EDC=90°，∠E=30°，

∴CD=2∴AC=23．

7．……………………………………………………6

（Ⅱ）如图，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N， ∵DM⊥AB，∠DAB=60°，AD=4， ∴AM=2，DM=23．

∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3．………………………………………7 ∵四边形BNDM是矩形，

CDN∴DN=BM=3，BN=DM=2∵∠BCD=60°， ∴CN=3．

AMB3．

3．

∴BC=CN+BN=3∴AC=2即AC=213．……………………………………………………8 7或213．

28．（本小题满分7分）

解：（1）① 依题意补全图形（如图）；…………………………………………1分 ② ∠ADC+∠CDE=180°．……………………………………………2分 （2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下： ∵ 线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE， ∴ CD=CE，∠DCE=90°． ∴ ∠CDE=∠CED=45°．

又∵ ∠ADC=135°， ∴ ∠ADC+∠CDE =180°， ∴ A、D、E三点在同一条直线上.

∴ AE=AD+DE. …………………………………………………………3分 又∵ ∠ACB=90°，

DABCEM ∴ ∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB， 即 ∠ACD=∠BCE． 又∵ AC=BC，CD=CE， ∴ △ACD≌△BCE．

∴ AD=BE．………………………………………………………………4分

∵ CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．

∴ DE=2CM．…………………………………………………………5分 ∴ AE=BE+2CM．……………………………………………………6分 （3）点A到BP的距离为

31．…………………………………………7分 2