高中数学测评卷苏教版选择性必修第一册

2023-07-07 来源：步旅网

第1章直线与方程

(全卷满分150分,考试用时120分钟)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2020江苏宝应中学高二期末)过点(0,1)且斜率为的直线在x轴上的截距是

( )

A.4 B.-4 C.2 D.-2

2.(2020江苏启东中学高二月考)已知a,b∈R,则“a=1”是“直线ax+y-1=0和直线

x+(a2-2)y-1=0垂直”的 ( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.(2020江苏连云港潜质联盟校高二联考)直线l1的斜率是k1=,直线l2经过点

A(1,2),B(a-1,3),l1∥l2,则a的值为

A.-3 C.3 D.4 10

( )

B.1

4.(2020江苏海头高级中学高一月考)已知点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,则线段OP的最小值为 ( ) A.4 B.2√3 C.2√2 D.2

5.(2021山东郓城一中高二上第一次月考)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点A(4,0),B(0,2),且AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为

( )

A.x-2y+3=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y-3=0 D.2x-y-3=0

6.(2020江苏江宁高级中学高二期中)在直线l:𝑥+𝑥=1中,a∈{1,3,5,7},b∈{2,4,6,8}.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则这样的直线的条数为 ( )

𝑥𝑥 1

A.6 B.7 C.8 D.16

7.(2020江苏南京田家炳高级中学高二月考)已知点A(1,1)和点B(4,4),P是直线l:x-y+1=0上的一点,则PA+PB的可能取值是 ( ) A.3√6 B.√34 C.√5

D.2√5 2

8.(2020江苏靖江高级中学高二期中)已知函数f(x)=x+ax+b(a,b∈R),若存在非零实数t,使得f(t)+f()=-2成立,则a+4b的最小值为

𝑥2

( )

A. B.

1614

C.16 D.4

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分) 9.(2020江苏无锡天一中学高二月考)下列说法中,正确的有 ( ) A.过点P(1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0 B.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2 C.直线x-√3y+1=0的倾斜角为60°

D.过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-5=0

10.(2020山东潍坊高二期中)已知直线l:√3x-y+1=0,则下列结论正确的是( ) A.直线l的倾斜角是6 B.若直线m:x-√3y+1=0,则l⊥m C.点(√3,0)到直线l的距离是2

D.过(2√3,2)与直线l平行的直线方程是√3x-y-4=0

11.(2021江苏西亭高级中学高二月考)已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论错误的是 ( ) A.不存在k,使得l2的倾斜角为90° B.对任意的k,l1与l2都有公共点 C.对任意的k,l1与l2都不重合 D.对任意的k,l1与l2都不垂直

12.(2020江苏南通启东中学高一开学考试)如图,已知直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点

B,二次函数f(x)的图象过点A,B,交x轴于另一点C(3,0).若该图象的对称轴上存在点Q满

足△ABQ是等腰三角形,则点Q的坐标可以是 ( )

A.(1,-√6) B.(1,0) C.(1,1) D.(1,6)

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(2020江苏无锡高二期中)过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程是 .

14.(2020江苏镇江三模)已知直线l1:x-2y+3=0,l2:2x+ky+k=0,且l1∥l2,则直线l1,l2间的距离为 .

15.(2020江苏太仓高级中学高二月考)已知a,b∈R,若直线x+2y+3=0与直线(a-1)x+by=2互相垂直,则ab的最大值等于 .

16.(2020浙江效实中学高一期中)已知△ABC为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC中点为

*D(0,2),斜边上中线CE所在直线方程为3x+y-7=0,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标,则AB所在直线的方程为 .

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2020江苏苏州高一期中)已知两条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值:

(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直; (2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.

18.(12分)(2020江苏大桥实验学校高一期中)已知直线mx+y-3m-1=0恒过定点A. (1)若直线l经过点A且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程;

(2)若直线l'经过点A,且坐标原点到直线l'的距离等于3,求直线l'的方程.

19.(12分)(2020江苏东台中学高二期中)在路边安装路灯,灯柱OA的高为h米,路宽OC为23米,灯杆AB与灯柱OA成120°角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线BD与灯杆AB垂直,请你建立适当直角坐标系,解决以下问题:

(1)当h=10米,AB=米时,求灯罩轴线BD所在直线的方程;

(2)当h=(2√3-5)米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时,求灯杆AB的长.

20.(12分)(2020江苏江宁高级中学高一月考)设直线l的方程为(a+1)x+y-5-2a=0(a∈R). (1)求证:无论a为何值,直线l必过一定点P;

(2)若直线l分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于点A(xA,0),B(0,yB),当△AOB面积最小时,求△AOB的周长;

(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数时,求直线l的方程.

21.(12分)(2021山东泰安第一中学高二月考)一束光从光源C(1,2)射出,经x轴反射后(反射点为M),射到线段y=-x+b,x∈[3,5]上的N处.

(1)若M(3,0),b=7,求光从C出发,到达点N时所走过的路程; (2)若b=8,求反射光线的斜率的取值范围;

(3)若b≥6,求光线从C出发,到达点N时所走过的最短路程s.

22.(12分)(2020江苏海安高级中学高二月考)已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0. (1)求证:直线恒过定点,并求出定点P的坐标;

(2)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在直线满足下列条件:①△AOB的周长为12?②△AOB的面积为6?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由; (3)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于M,N两点,当PM+2PN取最小值时,求直线的方程.

第2章圆与方程

(全卷满分150分,考试用时120分钟)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2021江苏沭阳高级中学高二月考)已知圆的方程为x+y+2x-4y=0,则圆的半径为

( )

A.3 B.√5 C.√3 D.4

2.(2021山东东营第一中学高二月考)圆(x+3)+y=4关于原点O(0,0)对称的圆的方程为

( )

A.x+(y-3)=4 C.x+(y-2)=4

B.(x-3)+y=4 D.(x-2)+y=4

( )

3.(2020江苏海门中学高二月考)以A(3,-1),B(-2,2)为直径端点的圆的方程是 A.x+y-x-y-8=0 B.x+y-x-y-9=0 C.x+y+x+y-8=0 D.x+y+x+y-9=0

4.(2021江苏阜宁中学高二期中)已知圆x+y+2x-2y-2=0上的点到直线x+y+√2a=0的最大距离为4,则实数a的值是

( )

A.0或4 B.-2或2 C.-2 D.2

5.(2020江苏南京田家炳高级中学高二上月考)已知过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆

C:x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0相切,则a= ( )

A.-1 B.-2 C.1或2 D.-1或-2

6.(2020江苏淮阴中学高二上期中)已知圆C:x+y+2x-4y+1=0,若存在圆C的弦AB,满足

AB=2√3,且AB的中点M在直线2x+y+k=0上,则实数k的取值范围是 ( )

A.[-2√5,2√5] B.[-5,5]

C.(-√5,√5) D.[-√5,√5] 7.(2020河南郑州高一期末)已知圆C1:(x-2)+(y-3)=1,圆C2:(x-3)+(y-4)=9,M,N分别为圆C1,C2上的点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值为

( )

A.√17 B.√17-1 C.6-2√2 D.5√2-4 8.(2020江苏宿迁四校联考)已知圆C1:x+y+2x+4y+4=0,圆C2:x+y-4x+2y+1=0,M,N分别为圆C1和圆C2上的动点,P为直线l:y=x+2上的动点,则MP+NP的最小值为 ( )

A.2√10-3 B.2√10+3 C.√10-3 D.√10+3 二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)

9.(2020全国高二课时练习)已知圆M的一般方程为x+y-8x+6y=0,则下列说法正确的是

( )

B.x轴被圆M截得的弦长为8

A.圆M的圆心为(-3,4)

C.圆M的半径为5 D.y轴被圆M截得的弦长为6

10.(2020江苏镇江高二期中)已知圆C:(x-3)+(y-3)=72,若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则m=( ) A.2 B.4 C.6 D.10

11.(2020江苏石榴高级中学高二月考)已知圆O:x+y=4和圆M:x+y-4x+2y+4=0相交于A、B两点,下列说法正确的是 ( ) A.两圆有两条公切线

B.直线AB的方程为y=2x+4 C.线段AB的长为

4√55

D.所有过点A、B的圆系方程可以记为x+y-4+λ(x+y-4x+2y+4)=0(λ∈R,λ≠-1) 12.(2020江苏泰州中学高二期中)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-2a+1)+(y-2a-2)=1上存在点M满足𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3,则实数a的值可能为 ( ) A.-2 B.-1 C.2 D.0 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(2020山东济南第十一中学高二期中)若直线x-y+m=0与圆x+y=1相切,则实数

m= .

14.(2020江苏高淳高级中学高二期中)直线l:x-y=0被圆C:(x-a)+y=1截得的弦长为√2,则实数a的值为 .

15.(2021天津滨海新区高二月考)已知圆C:x+y-4x-2y+1=0,直线l过点(1,3),且与圆C交于A,B两点,AB=2√3,则直线l的方程为 .

16.(2020江苏梅村高级中学高二期中)在平面直角坐标系xOy中,已知A,B为圆

C:(x-m)2+(y-2)2=4上两个动点,且AB=2√3.若直线l:y=-2x上存在点P,使得𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,

则实数m的取值范围为 .

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2021广东深圳中学高二月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆

M:x2+y2-12x-14y+60=0.

(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程; (2)过点A(1,0)作圆M的切线,求切线l的方程.

18.(12分)(2020江苏淮安高一期中)已知圆C的方程为x+y-4x-12=0,点P(3,1). (1)求圆C的圆心坐标及半径;

(2)求过点P的直线被圆C截得的弦长最大时的直线l的方程; (3)若圆C的一条弦AB的中点为P,求直线AB的方程.

19.(12分)(2020浙江温州十五校联合体高二上期中联考)已知圆C:x+y+2x-4y+m=0与y轴相切,O为坐标原点,动点P在圆外,过P作圆C的切线,切点为M. (1)求圆C的圆心坐标及半径;

(2)若点P运动到(-2,4)处,求此时切线l的方程; (3)求满足条件PM=2PO的点P的轨迹方程.

20.(12分)(2020江苏扬州中学高一期中)已知圆O:x+y=r(r>0)与直线x+2y-5=0相切. (1)求圆O的方程;

(2)若过点(-1,3)的直线l被圆O所截得的弦长为4,求直线l的方程;

(3)若过点A(0,√5)作两条斜率分别为k1,k2的直线交圆O于B、C两点,且k1k2=-2,求证:直线

BC恒过定点,并求出该定点的坐标.

21.(12分)(2021江苏响水中学高二月考)已知以动点E为圆心的☉E与直线l:x=-2相切,与定圆F:(x-1)+y=外切.

(1)求动圆圆心E的轨迹C1的方程;

(2)点D是曲线C2:y=4x-4上的点,若在C1上存在A,B,C三点,使得四边形ABCD是平行四边形,求△ACD面积的最小值.

22.(12分)(2020江苏南京师大附中高二期中)已知圆C的圆心在直线3x-y=0上,与x轴正半轴相切,且直线l:x-y=0被圆C截得的弦长为2√7. (1)求圆C的方程;

(2)设点A在圆C上运动,点B(7,6),且点M满足𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,记点M的轨迹为Γ. ①求Γ的方程,并说明Γ是什么图形;

②在直线l上是否存在定点T(异于原点O),使得对于Γ上任意一点P,都有𝑥𝑥为一常数?若存在,求出所有满足条件的点T的坐标;若不存在,说明理由.

𝑥𝑥 13

第3章圆锥曲线与方程

(全卷满分150分,考试用时120分钟)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2021江苏苏州八校联盟适应性检测)已知双曲线的方程为x-方程为 ( )

A.y=±3x B.y=±2x C.y=±3x D.y=±√3x 2.(2020江苏涟水中学高二期中)已知椭圆则此椭圆的标准方程为 A.36+32=1 B.36+𝑥2𝑥2

√32

𝑥23

=1,则该双曲线的渐近线

𝑥2𝑥2

C:𝑥2+𝑥2=1(a>b>0),若其长轴长为

6,离心率为3,

( ) =1 C.

𝑥2𝑥29

𝑥2𝑥2

=1 D.

𝑥2𝑥29

=1 𝑥22

3.(2020江苏锡山高级中学高二期中)已知双曲线𝑥2-y=1(a>0)的离心率为√3,则实数a的值

为 ( )

A.2 B.2 C.1 D.2 4.(2020江苏扬州大学附属中学高二期中)若过椭圆则该弦所在的直线方程为 ( )

A.x-2y+1=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y-3=0 D.x+2y+3=0

5.(2020江苏奔牛高级中学高二期中)若直线l过抛物线y=8x的焦点,与抛物线相交于A,B两点,且AB=16,则线段AB的中点P到y轴的距离为 A.6 B.8 C.10 D.12

6.(2020江苏镇江中学高二期中)已知椭圆𝑥2+𝑥2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P,若𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆的离心率是 ( ) A.2 B.2 C.3 D.2

𝑥2𝑥2

7.(2021江苏连云港中学调研)已知双曲线C:𝑥2-𝑥2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,两条渐近线分√3√21

√21

𝑥2𝑥24

=1内一点P(1,1)的弦被该点平分,

( )

𝑥2𝑥2

别为l1:y=𝑥x,l2:y=-𝑥x,过F作l1的垂线,垂足为M,该垂线交l2于点N,O为坐标原点,若

𝑥𝑥OF=FN,则双曲线C的离心率是 ( )

A.√2 B.

3√22

C.√3 D.

2√33

8.(2021山东烟台第一中学高二月考)已知抛物线y=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A、B两点,直线AF,BF分别与抛物线交于另一点C,D,设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,则𝑥1= ( )

𝑥A.-2 B.2 C.1 D.2 二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)

9.(2021江苏南通高二期中)已知曲线C:mx+ny=1,则下列说法正确的是 ( ) A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若m=n>0,则C是圆,其半径为√𝑥 C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±√-𝑥x D.若m=0,n>0,则C是两条直线

10.(2021广东联考)已知F1、F2分别是双曲线C:

𝑥2𝑥24

𝑥-2

=1的上、下焦点,点M是该双曲线的

一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的是 ( ) A.双曲线C的渐近线方程为y=±√2x B.以F1F2为直径的圆的方程为x+y=2 C.点M的横坐标为±√2 D.△MF1F2的面积为2√3 11.(2021江苏徐州第一中学高二月考)设F是抛物线C:y=4x的焦点,直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列结论正确的是 ( ) A.AB≥4

B.OA+OB>8

C.若点P(2,2),则PA+AF的最小值是3 D.△OAB的面积的最小值是2

12.(2021山东淄博实验中学高二月考)已知椭圆C:𝑥+𝑥=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2且F1F2=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是 ( ) A.QF1+QP的最小值为2√𝑥-1 B.椭圆C的短轴长可能为2

𝑥2𝑥2

C.椭圆C的离心率的取值范围为(0,

√5-1

) 2

D.若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥1=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥1𝑥,则椭圆C的长轴长为√5+√17

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(2021江苏泗洪中学高二月考)已知椭圆则a的值为 .

14.(2020江西南昌大学附属中学高二期中)抛物线y=4x的焦点到双曲线的距离为 .

15.(2020江苏南通高二月考)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则

3π

𝑥2𝑥2𝑥2𝑥2

+=1(a>0)与双曲线-=1𝑥2493

有相同的焦点,

𝑥2𝑥216

=1的渐近线

𝑥21

𝑥22

= .

16.(2020江苏泰州中学高二期中)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线y=2px(p>0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后经过抛物线的焦点F,射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,若两条平行光线间的最小距离为6,则此抛物线的方程为 .

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2020江苏南通高二期中)已知命题

𝑥2𝑥2

p:𝑥2+2𝑥+8=1

表示焦点在x轴上的椭圆,命题

q:𝑥-𝑥+𝑥-𝑥-1=1表示双曲线.

(1)若命题p是真命题,求m的取值范围;

(2)若p是q的必要不充分条件,求t的取值范围.

𝑥2𝑥2

18.(12分)(2020江苏扬州仪征中学高二期中)已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为2√3,焦距为2√5.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)若直线l:y=x-1与双曲线C交于A,B两点,求弦长AB.

19.(12分)(2020江苏扬州高二期中)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点(,-).

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若直线y=x+1与椭圆交于A、B两点,求线段AB的中点坐标和AB的长度.

√33

20.(12分)(2020江苏田家炳中学高二期中)已知椭圆

𝑥2𝑥2

+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是𝑥2𝑥2

F1,F2,F1F2=2,点P为椭圆短轴的端点,且△PF1F2的面积为√3.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)点B(1,2)是椭圆上的一点,B1,B2是椭圆上的两动点,且直线BB1,BB2关于直线x=1对称,试证明:直线B1B2的斜率为定值.

21.(12分)(2021江苏淮安、连云港、徐州、宿迁四市联考) 已知椭圆C:

√3𝑥2𝑥2

+=1(a>b>0)𝑥2𝑥2

的离心率为3,点(√3,√2)在椭圆C上.A、B分别为椭圆C的上、下顶点,动直线l交椭圆C于P、Q两点,满足AP⊥AQ,AH⊥PQ,垂足为H. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求△ABH面积的最大值.

22.(12分)(2020江苏南京高二期中)已知点P是抛物线C1:y=4x的准线上任意一点,过点P作抛物线C1的两条切线PA、PB,其中A、B为切点. (1)证明:直线AB过定点,并求出定点的坐标; (2)若直线AB交椭圆C2:小值.

𝑥2𝑥24

=1于C、D两点,S1、S2分别是△PAB、△PCD的面积,求

𝑥1

的最𝑥2

第4章数列

(全卷满分150分,考试用时120分钟)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2021江苏苏州星海中学高二期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N),则数列{nan}的前5项和为

( )

*A.126 B.127 C.128 D.129

2.(2021江苏苏州高三期中)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若an>0,a1=,Sn<2,则等比数列

{an}的公比的取值范围是 ( ) A.(0,4] B.(0,3] C.(0,) D.(0,)

3.(2021江苏南通平潮高级中学高二期中)等比数列{an}的前n项积为Tn,且满足

a1>1,a102a103-1>0,𝑥102-1<0,则使得Tn>1成立的最大正整数n的值为

103

𝑥-1

( )

A.102 B.203 C.204 D.205

4.(2021江苏无锡第一中学高二期中)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列,如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为

( )

A.184 B.174 C.188 D.160

5.(2021江苏无锡第一中学高二期中)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an(n∈N).设bn=N,且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围是

*11

*𝑥-2𝑥,n∈𝑥𝑥( )

A.(-∞,1) B.(-1,2) C.(-∞,2) D.(-1,2)

6.(2021浙江温州中学高三第一次模拟考试)已知数列{an}满足a0=1,a2n+1=an,a2n+2=an+an+1(n∈N),则a1+a2+…+a128= ( )

A.1024 B.1101 C.1103 D.1128

7.(2021广东汕头金山中学四校高三联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N有

*Sn=3an-3,且1A.2或4 B.2 C.3或4 D.6

8.(2020浙江湖州高三期末)已知数列{an}中,a1=2,若an+1=𝑥2𝑥+an,设Sm=𝑥若Sm<2020恒成立,则正整数m的最大值为

( )

2𝑥1

++1𝑥2𝑥2

+…+𝑥+1

2𝑥𝑥𝑥+1

A.1009 B.1010 C.2019 D.2020

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)

9.(2021江苏宿迁修远中学高二月考)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N),则下列说法正确的是 ( ) A.a5=-16 B.S5=-63

C.数列{an}是等比数列 D.数列{Sn+1}是等比数列

10.(2021江苏扬州邵伯高级中学高二月考)设单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,若

*a2+a4=10,a2a3a4=64,则 ( )

A.Sn+1-Sn=2 B.an=2 C.Sn=2-1

nn+1

n-1

D.Sn=2-1

n-1

11.(2020福建福州第一中学高一期末)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a6a7>1,A.012.(2021江苏盐城响水中学高二学情分析)设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Sn(n∈N),则 ( )

A.Sn=3 B.{Sn}为等比数列 1,𝑥=1n-1

C.an=2·3 D.an={

2·3𝑥-2,𝑥≥2

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(2021江苏苏州陆慕高级中学高二期中)在等比数列{an}中,已知a3·a8=10,则𝑥35·a7的

n-1

*𝑥6-1

<0,则下列结论正确的是 ( 𝑥7-1

)

值为 .

14.(2021江苏镇江吕叔湘中学高三月考)设Sn为数列{an}的前n项和,若2Sn=5an-7,则

an= .

15.(2021

湖南三湘名校教育联盟高二期中)已知数列{an}满足

an={

1,𝑥=1,**定义使a1·a2·a3·…·ak(k∈N)为整数的k叫作“幸log𝑥+2(𝑥+3),𝑥≥2,𝑥∈N,

福数”,则区间[1,2020]内所有“幸福数”的和为 .

16.(2021江苏张家港外国语学校高三期中)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=0,Sn=an+1-2,

𝑥+1

则Sn= ,若𝑥<𝑥𝑥+1,则n的最小值是 .

2𝑥𝑥𝑥𝑥+4

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2020江苏如皋中学高一月考)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=常数,且a≠0,a≠1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=

18.(12分)(2020四川内江高一期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=7,S4=40. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=𝑥3

𝑥𝑥𝑥+1

𝑥(an-1)(a为𝑥-1

2𝑥𝑥𝑥𝑥+1,若数列{bn}为等比数列,求a的值.

,Tn是数列{bn}的前n项和,若2Tn≤λ-2020对所有n∈N都成立,求实数λ*的取值范围.

19.(12分)(2021江苏连云港赣榆高级中学阶段测试)已知数列{an}满足

a1=2,(n+1)an+1=2(n+2)an.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设Sn是数列{an}的前n项和,求证:Sn<2an.

20.(12分)(2021安徽阜阳太和第一中学高三开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n+1,Sn+3)在抛物线y=x上. (1)求{an}的通项公式;

(2)求数列{|an-9|}的前n项和Tn.

21.(12分)(2020福建厦门双十中学高一期末)已知数列{an}中,a1=1,a2=4,且

an+1=

(𝑥-1)𝑥𝑥𝑥-𝑥𝑥(n=2,3,4,…).

(1)求a3,a4的值; (2)设bn=𝑥1

𝑥+1

-1(n∈N),试用bn表示bn+1,并求{bn}的通项公式;

sin3

*(3)设cn=cos𝑥𝑥·cos𝑥𝑥+1

(n∈N),求数列{cn}的前n项和Sn.

22.(12分)(2021江苏南通启东中学高二上期中)已知数列{an}的首项a1=a,其中a∈

𝑥𝑥N,an+1={

*令集合A={x|x=an,n=1,2,3,…}.

𝑥𝑥+1,𝑥𝑥不为3的倍数.

,𝑥𝑥为3的倍数,

(1)若a=4,写出集合A中的所有元素;

(2)若a≤2020,且数列{an}中恰好存在连续的7项构成等比数列,求a的所有可能取值构成的集合; (3)求证:1∈A.

第5章导数及其应用

(全卷满分150分,考试用时120分钟)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2020江苏张家港高二下期中)函数f(x)=x-sinx在[0,π]上的平均变化率为 ( ) A.1 B.2 C.π D.π

2.(2021河南部分重点中学四联)设lim处的切线的倾斜角是 ( ) A.4 B.3 C.

3π4

𝑥(2+Δ𝑥)-𝑥(2-Δ𝑥)

=-2,则曲线

Δ𝑥Δ𝑥→0

y=f(x)在点(2,f(2))

2π3

√21

3.(2021江苏淮安中学高三上期中)若幂函数f(x)的图象过点(2,2),则函数g(x)=减区间为

( )

𝑥(𝑥)e𝑥的递A.(0,2) B.(-∞,0)和(2,+∞) C.(-2,0)

D.(2,+∞)

x4.(2021江苏苏州中学高三上期初调研)若函数f(x)=e-(a-1)x+1在(0,1)上不单调,则a的取值范围是 ( )

A.(2,e+1) B.[2,e+1] C.(-∞,2]∪[e+1,+∞)

D.(-∞,2)∪(e+1,+∞)

5.(2021江苏扬州高邮一中高三上段测)对任意x∈R,函数f(x)=ax+ax+7x不存在极值点的充要条件是 ( )

A.0≤a≤21 B.021

6.(2021江苏南菁、泰兴、常州一中、南京二十九中四校高三上11月联考)已知函数

f(x)=x+cosx,x∈R,设a=f(0.3-1),b=f(2-0.3),c=f(log20.2),则 ( )

A.b7.(2021江苏盐城高三上期中)函数f(x)=𝑥-sin𝑥,x∈[-π,0)∪(0,π]的图象大致是

( )

𝑥

8.(2021江苏徐州铜山高三上一联)若函数y=f(x)的定义域为R,对于任意x∈R,f'(x)29

xA.(2,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,2)

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分) 9.(2021江苏扬州高二下期末联考改编)下列结论错误的是 ( ) A.若y=x+ln2,则y'=2x+2 B.若y=(2x+1),则y'=3(2x+1) C.若y=xe,则y'=2xe D.若y=

ln𝑥2x2

x𝑥,则y'=

1-ln𝑥𝑥2

10.(2020江苏镇江中学高二上期末)如图是y=f(x)的导数的图象,对于下列四个判断, 其中正确的是

( )

A.f(x)在[-2,-1]上是增函数 B.当x=-1时,f(x)取得极小值

C.f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数 D.当x=3时,f(x)取得极小值

11.(2021江苏南通高三上期中)北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务,2020年7月31日上午,北斗三号全球卫星导航系统正式开通,北斗卫星导航系统能实现“天地互通”的关键是信号处理,其中某语言通讯的传递可以用函数f(x)= cosx+

cos5𝑥cos9𝑥5

近似模拟,则下列结论正确的是 ( )

A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的图象关于点(-π2

,0)对称

C.对任意x∈R,都有f'(π-x)=f'(x) D.函数f'(x)的最小值为-3

12.(2021江苏南通四校高三上二联)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且(x+1)f'(x)-f(x)2

( )

A.2f(2)-3f(1)>5

B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x+2x+2 C.f(3)-2f(1)<7

D.若f(1)=2,0x+2x+2 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(2021江苏泰州姜堰中学、南通如东中学、宿迁沭阳如东中学高三上联考)曲线

f(x)=xex+x2-1在x=0处的切线方程为 .

14.(2021安徽皖江名校联盟二联)已知f(x)=x+2xf'(0), 则f'(1)= .

15. (2021江苏淮安五校高三上一联)已知三个函数h(x)=x-

2lnx,f(x)=h'(x)-5lnx-5ln2,g(x)=h(x)+2lnx-bx+4.若∃x1∈(0,1],∀x2∈[1,2],都有f(x1)≥g(x2)成立,则实数b的取值范围为 .

ln𝑥,𝑥≥1,

16.(2021江苏无锡高三上期中)已知函数f(x)={3令g(x)=f(x)-kx,当

-𝑥+𝑥,𝑥<1,

k=-2e2时,有g(x0)=0,则x0= ;若函数g(x)恰好有4个零点,则实数k的值

为 .

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2021江苏苏州常熟高三上阶段性检测)已知函数f(x)=3x-x+ax,g(x)=2x+b,当

x=1+√2时,f(x)取得极值.

(1)求a的值,并判断f(1+√2)是函数f(x)的极大值还是极小值;

(2)当x∈[-3,4]时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求实数b的取值范围.

18.(12分)(2021江苏淮安淮阴中学高三上阶段检测)已知函数f(x)=lnx-(1)当a=1时,求f(x)的最大值;

(2)若f(x)在区间(2,e)上存在零点,求实数a的取值范围.

𝑥-1

. 𝑥 33

19.(12分)(2021江苏无锡梅村高级中学高三上期初检测)已知函数f(x)=x-alnx-2x,a∈R. (1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调,求a的取值范围; (2)若函数f(x)存在两个极值点x1,x2,求

𝑥(𝑥1)𝑥(𝑥2)

+𝑥的取值范围. 𝑥12

20.(12分)(2021江苏南通启东高三上期中联考)如图所示的容器的体积为18πdm,它由半球和圆柱两部分组成,半球的半径与圆柱的底面半径都为rdm,圆柱的高为hdm.已知顶部半球面的造价为3a元/dm,圆柱侧面的造价为a元/dm,圆柱底面的造价为(1)将圆柱的高h表示为底面半径r的函数,并求出定义域; (2)当容器的总造价最低时,圆柱的底面半径r为多少?

2𝑥3

元/dm.

21.(12分)(2021江苏南京六校联合体高三上11月联考节选)已知函数

f(x)=ax-xlnx,g(x)=1+𝑥2,a,b∈R.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)已知函数f(x)的极大值为1,设135

2𝑥

22.(12分)(2021江苏扬州中学高三上10月月考)设函数f(x)=mx-e+3(m∈R). (1)讨论函数f(x)的极值;

(2)若a为整数,m=0,且∀x∈(0,+∞),不等式(x-a)[f(x)-2]x 37

期中学业水平检测

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2021江苏新海高级中学高二月考)两条平行直线6x-4y+5=0与y=2x间的距离是( ) A.

√13 13

B.26 C.

√135√1313

5√1326

2.(2020江苏淮安高一期末)直线l1:x+my+4=0与l2:(2m-15)x+3y+m=0垂直,则m的值为

( )

A.3 B.-3 C.15 D.-15

3.(2021江苏如东高级中学、泰州高级中学高二联考) 已知圆C:x+y-2x+4y=0关于直线3x-2ay-11=0对称,则圆C中以(2,-2)为中点的弦的长度为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

4.(2021江苏扬州中学高二月考)正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20cm,灯深10cm,则光源到反光镜顶点的距离是 ( )

𝑥𝑥2

A.2.5cm B.3.5cm C.4.5cm D.5.5cm

5.(2020江苏淮阴中学高一期末)大约在2000多年前,我国的墨子给出了圆的概念:“一中同长也”.其意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给出的圆的定义要早100年.已知O为原点,OP=1,若M(,-),则线段PM的长的最小值为

√3( )

A.2 B.4 C.4 D.2 6.(2020

𝑥2𝑥2

江苏南通高二期中)已知双曲线𝑥2-𝑥2=1(a>0,b>0)的焦点为

F1,F2,其渐近线上横坐

标为2的点P满足⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥1·⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥2=0,则a= ( ) A.4 B.2 C.2 D.4

7.(2020江苏连云港高二期中)已知椭圆轴的垂线与椭圆的一个交点为P,若

𝑥2𝑥2

+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为𝑥2𝑥2

F1,F2,过F1作x∠F1PF2=60°,则该椭圆的离心率是 ( ) A.√3 B.2 C.2 D.3 8.(2021山东莱州一中高二期中)已知椭圆C:

√31

√3𝑥2𝑥28

=1的下顶点为A,点B是C上异于点A的

一点,若直线AB与以M(0,-3)为圆心的圆相切于点P,且𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则tan∠ABM= ( ) A. B. C. D. 2

√53

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分) 9.(2020江苏南京第九中学高二期中)下列说法正确的是

( )

A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件 B.直线xsinα-y+1=0的倾斜角的取值范围为[0,4]∪[

π3π4

,π)

C.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x+y=5相切 D.离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x

10.(2020江苏扬州大学附属中学高二期中)过抛物线y=4x的焦点F作直线,交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则

( )

A.以线段AB为直径的圆与直线x=-2相离 B.以线段BM为直径的圆与y轴相切 C.当𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时,AB=2 D.AB的最小值为4 11.已知F1、F2分别为双曲线

𝑥2𝑥2

-=1(a>0,b>0𝑥2𝑥2

且a≠b)的左、右焦点,P为双曲线右支上异

于顶点的任意一点,O为坐标原点.则下列四个命题中正确的是( ) A.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上 B.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上 C.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上 D.△PF1F2的内切圆必经过点(a,0)

12.(2021山东德州一中高二月考)已知F1,F2

𝑥2𝑥2

-2=1(a2>b2>0)的公共焦点,P𝑥22𝑥2

π3

𝑥2

是椭圆2𝑥1𝑥2+2𝑥1

=1(a1>b1>0)和双曲线

是它们的一个公共点,且

∠F1PF2=,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则以下结论正确的是 ( )

222

A.𝑥21-𝑥1=𝑥2-𝑥2

B.𝑥21=3𝑥2

√32

4𝑥21

4𝑥22

=1 D.𝑥21+𝑥2的最小值为1+

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(2021江苏太湖高级中学高二期中)在y轴上的截距为-1且倾斜角为135°的直线的方程为 .

14.(2021江苏江浦高级中学高二期中)过P(2,2)作圆C:(x-1)+y=1的切线,则切线方程为 .

15.(2021江苏木渎高级中学高二月考)已知椭圆C:

𝑥2𝑥2√3+=1(a>b>0)的离心率为,若以原点𝑥2𝑥23

为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切,则椭圆的标准方程为 .

16.(2020山东平度九中高二月考)已知圆C1:(x-1)+(y-1)=2,C2:(x-4)+(y-2)=1,过原点O作一条射线与圆C1相交于点A,在该射线上取点B,使得OA·OB=2,圆C2上的点到点D的距离的最小值为,则满足该条件的点D所形成的轨迹的周长为 ,BD的最小值

为 .

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2021江苏如东高级中学、泰州高级中学高二联考)已知圆C:(x-3)+(y-4)=4. (1)若直线l过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为2√3,求直线l的方程;

(2)若直线l过点B(1,0)且与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求此时直线

l的方程.

18.(12分)(2020江苏句容高级中学高二期中)已知F1、F2分别是双曲线12-点,曲线C是以F2为圆心且过原点的圆. (1)求曲线C的方程;

(2)动点P在曲线C上运动,点M满足⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥1𝑥=𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求点M的轨迹方程.

19.(12分)(2020江苏启东中学高二月考)树林的边界是直线l(图中CD所在的直线),一只兔子在河边喝水时发现了一只狼,兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处,AB=BC=a(a为正实数),若兔子沿线段AD(或AE)方向以速度2μ(μ为正实数)向树林逃跑,同时狼沿

𝑥2𝑥2

=1的左、右焦

BM(点M在线段AD上)方向或BN方向(点N在线段AE上)以速度μ进行追击,若狼到达点M(或

点N)的时间不多于兔子到达点M(或点N)的时间,狼就会吃掉兔子. (1)求兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a); (2)兔子要想不被狼吃掉,求锐角θ(θ=∠DAC或∠EAC)的取值范围.

20.(12分)(2021广东佛山一中高二月考)如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于两点M,N(点M在点N的左侧),且MN=3. (1)求圆C的方程;

(2)过点M任作一直线与圆O:x+y=4相交于A,B两点,连接AN,BN,求证:kAN+kBN为定值.

21.(12分)(2020江苏天一中学高二月考)已知椭圆C:𝑥2+𝑥2=1(a>b>0)的离心率为2,且直线

𝑥𝑥+=1𝑥𝑥𝑥2𝑥2

√2与圆x+y=2相切.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,O为坐标原点,射线OM与椭圆C相交于点P,且OP=√15OM,求△ABO的面积.

22.(12分)(2021江苏苏州八校联盟联考)如图,已知椭圆

𝑥2𝑥21C1:𝑥2+𝑥2=1(a>b>0),且离心率为2,

抛物线C2:y=2px(p>0).点P(1,)是椭圆C1与抛物线C2的交点.

2(1)求曲线C1和曲线C2的方程;

(2)过点P作斜率为k(k<0)的直线l1交椭圆C1于点A,交抛物线C2于点B(A,B均异于点P). ①若PB=3PA,求直线l1的方程;

②过点P作与直线l1的倾斜角互补的直线 l2,且直线l2交抛物线C2于点C,交椭圆C1于点

D(C,D异于点P).记△PAC的面积为 S1,△PBD的面积为S2.若𝑥1∈(21,11),求k的取值范围.

𝑥13

期末学业水平检测

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2021江苏南京航空航天大学附中高二上期中)直线x+√3y+1=0的斜率为 A.√3 B.-√3 C.3 D.-3

2.(2021江苏启东高二上期中联考)已知1,a,x,b,16这五个实数成等比数列,则x的值为

( )

√3√3( )

A.4 B.-4 C.±4 D.不确定

3.(2021江苏镇江八校高三上期中)曲线y=x-x在点(1,0)处的切线方程是 ( ) A.x-2y-1=0 B.x+2y-1=0 C.x-y-1=0 D.x+y-1=0

4.(2021江苏启东中学高二上期中)圆C1:x+y+2x+4y+1=0与圆C2:x+y-4x-4y-1=0的公切线有 ( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

5.(2021江苏苏州高新第一中学高二上期中)“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、三角垛等.现有100根相同的圆柱形铅笔,某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛,要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根,并使得剩余的圆形铅笔根数最少,则剩余的铅笔的根数是

( )

A.9 B.10 C.12 D.13

6.[2021新高考八省(市)1月联考]已知抛物线y=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)+y=1的两条切线,则直线BC的方程为 ( ) A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0 C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

7.(2020江苏盐城东台中学高二上阶段测试)如图,椭圆C的两个焦点是F1,F2,过点F1的直线与椭圆C交于点P,Q,若PF2=F1F2,且2PF1=3QF1,则椭圆C的离心率等于

( )

A.5 B.2 C.2 D.3 8.(2021江苏南京大学附中高三上阶段测试)已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f'(x)+

𝑥(𝑥)

>0,若𝑥3

√31

F(x)=f(x)+𝑥,则函数F(x)的零点个数为 ( )

A.0 B.1 C.2 D.0或2

二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)

9.(2021江苏连云港高二上期中)下列有关双曲线2x-y=8的性质的说法正确的是 ( ) A.离心率为√3

B.顶点坐标为(0,±2)

C.实轴长为4 D.虚轴长为4√2

10.(2021江苏常州教育学会高三上学业水平监测)已知等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为Sn,若S6=S12,则下列结论中正确的有 ( ) A.a1∶d=-17∶2 B.S18=0

C.当d>0时,a6+a14>0 D.当d<0时,|a6|>|a14|

11.(2021福建龙岩高二上联考)若直线y=x+b与曲线x=√1-𝑥2恰有一个公共点,则b的可能取值是 ( )

A.-1 B.0 C.1 D.√2 12.(2021江苏南通天星湖中学高三上二调)已知函数f(x)=√3-2sinx+sin2x,则下列结论正确的是 ( ) A.函数f(x)是周期函数

B.函数f(x)在[-π,π]上有4个零点 C.函数f(x)的图象关于(π,√3)对称 D.函数f(x)的最大值为

5√32

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(2021江苏扬州新华中学高三上月考)已知直线l1:2x-y+a=0与直线l2:-4x+2y+1=0,且直

线l1与直线l2的距离为

7√510

,则实数a的值为 .

14.(2021江苏无锡一中高三上检测)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)内不单调,则k的取值范围是 .

15.(2021江苏徐州高三上期中)某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示)时发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处(如图②所示),已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为 m.

16.(2021湖南长沙雅礼中学高三上月考)被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例:一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔,再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔,新幼兔又如此方式成长,若不考虑其他意外因素,按此规律繁殖,则每年的兔子总对数可构成一个奇妙的数列,兔子数列具有许多有趣的数学性质,该数列在西方又被称为斐波那契数列,它最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中.现有一兔子数列{Fn}:F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>2),则F9= ;若将数列{Fn}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{an},则数列{an}的前2020项和为 .(第一空2分,第二空3分)

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2021江苏盐城响水中学高二上期中) 在①Sn=件中任选一个填入下面的横线上并解答.

问题:在数列{an}中,Sn为{an}的前n项和,且 . (1)证明{an}为等比数列; (2)设bn=log3an,且Tn=

3𝑥+1-32

;②2Sn=an+1-3,a1=3这两个条

𝑥1𝑥2𝑥2𝑥3𝑥3𝑥4

+…+

𝑥𝑥𝑥𝑥+1

,证明Tn<1.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

18.(12分)(2021湖南长沙长郡中学高二上期中)已知椭圆𝑥2𝑥2

C:2+2=1(a>b>0)过点(0,4),离

𝑥𝑥心率为3

(1)求C的标准方程;

(2)求过点(3,0)且斜率为4

5的直线被C所截线段的中点坐标.

19.(12分)(2021江苏扬州一中高三上月考)已知函数f(x)=x-ln(x+1),g(x)=ex-1. (1)求f(x)的单调区间; (2)当x∈[2,+∞)时,证明:𝑥(𝑥)

𝑥(𝑥-1)

>2.

20.(12分)(2021吉林蛟河一中高三上月考)新冠肺炎疫情期间,某企业生产的口罩能全部售-3𝑥2+4𝑥-5,0<𝑥<7,

出,每月生产x万件(每件5个口罩)的利润函数为p(x)={(单位:e3

12-ln𝑥-𝑥,𝑥≥7万元).

(1)当每月生产5万件口罩时,利润为多少万元?

(2)当月产量为多少万件时,生产的口罩所获月利润最大?最大月利润是多少?

21.(12分)(2021江苏徐州一中、兴化中学高三上联考)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线C:x=2py(p>0),一平行于y轴的光线从上方射向抛物线上的点P,经抛物线2次反射后,又沿平行于y轴的方向射出,已知两平行光线间的最小距离为8.

(1)求抛物线C的方程;

(2)若直线l:y=x+m与抛物线C交于A,B两点,以点A为顶点作△ABN,使△ABN的外接圆圆心

T的坐标为(3,8),求弦AB的长度.

22.(12分)(2020江苏南通中学高三月考)中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤25,t∈N,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20≤t≤25时,高铁为满载状态,载客量为1000人;当5≤t<20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与(20-t)

*成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车时间间隔为t分钟时,高铁载客量为P(t)(单位:人). (1)求P(t)的表达式;

(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=4P(t)-40t+650t-2000(单位:元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益

答案全解全析第1章直线与方程

1.D 过点(0,1)且斜率为的直线方程为y-1=(x-0),即y=x+1,

𝑥2

𝑥(𝑥)

最大? 𝑥令y=0,则x=-2,即该直线在x轴上的截距是-2.故选D. 2.A 两直线方程可化为y=-ax+1,y=-则a+(a-2)=0,解得a=-2或a=1.

所以“a=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+(a-2)y-1=0垂直”的充分不必要条件,故选A. 3.C ∵直线l2经过点A(1,2),B(a-1,3),∴k2=𝑥-2. ∵l1∥l2,∴𝑥-2=4,解得a=3.故选C.

𝑥11

+,因为两直线垂直,所以-ax-()=-1, 𝑥2-2𝑥2-2𝑥2-2

4.C 因为点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是坐标原点, 所以要使线段OP最小,只需OP和直线垂直即可, 所以OPmin=|0+0-4|√1+1=2√2.故选C.

5.D ∵线段AB的中点为M(2,1),kAB=-2, ∴线段AB的垂直平分线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0,∵AC=BC,∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,∴△ABC的欧拉线方程为2x-y-3=0,故选D.

6.B 因为a>0,b>0,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=2ab,于是2ab≥10,ab≥20.当a=1时,没有这样的b满足条件;当a=3时,b=8;当a=5时,b∈{4,6,8};当a=7时,b∈{4,6,8},所以这样的直线的条数为7. 故选B.

7.D 如图所示,直线l:x-y+1=0与y轴的交点为C(0,1),且倾斜角为4, 因为A(1,1),所以AC∥x轴,所以∠ACy 的平分线在直线l上,

所以A(1,1)关于直线l:x-y+1=0的对称点在y轴上,设为点D,则D(0,2) 所以直线l为AD的中垂线,则PD=PA,所以PA+PB=PB+PD, 连接BD,当B,P,D三点共线时,PB+PD最小. 此时PA+PB的最小值为BD=√16+4=2√5.故选D.

π1

8.A 因为函数f(x)=x+ax+b(a,b∈R), 所以f(t)=t+at+b,f()=()++b,

𝑥𝑥𝑥因为存在非零实数t,使得f(t)+f()=-2,

𝑥所以存在实数t≠0,使(𝑥+𝑥)+a(𝑥+𝑥)+2b=0成立,

12𝑥a2+4b2的几何意义为坐标原点与点(a,2b)的距离的平方,

记2b=m,u=t+𝑥,则u≥4.

故(𝑥+𝑥)+a(𝑥+𝑥)+2b=0可化为ua+m+u=0,其表示动点(a,m)的轨迹,设为直线l,则原

点与点(a,m)的距离的最小值为原点到直线l的距离, 故a+4b≥(2

𝑥2

√𝑥2+1)=(√𝑥2+1-12

1√𝑥2+1),令s=u,s≥4.

因为y=√𝑥+1-所以y=√𝑥+1-2

√𝑥+11在[4,+∞)上是增函数, ≥4√55

√𝑥+1, 所以a+4b≥5,当且仅当t=±1时,取等号. 故选A.

9.BD 对于A,点P(1,2)在直线y=2x上,且该直线在x,y轴截距都为0,故A错误; 对于B,令x=0,则y=-2,所以直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,故B正确;

对于C,x-√3y+1=0可化为y=x+,则该直线的斜率k=tanα=,所以倾斜角α=30°,故C错误;

对于D,过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线上的所有点的横坐标为5,故D正确. 故选BD.

10.CD 对于选项A,直线l:√3x-y+1=0的斜率k=tanθ=√3,故直线l的倾斜角θ是,故A

3π

√33

错误;

对于选项B,因为直线m:x-√3y+1=0的斜率k'=,kk'=1≠-1(k为直线l的斜率),故直线l与直线m不垂直,故B错误;

对于选项C,点(√3,0)到直线l的距离d=|√3×√3-0+1|√(√3)2+(-1)2

√33

=2,故C正确;

对于选项D,过(2√3,2)与直线l平行的直线方程是y-2=√3(x-2√3),整理得√3x-y-4=0,故D正确. 故选CD.

11.AC 存在k=0,使得l2的方程为x=0,其倾斜角为90°,故A错误;

直线l1:x-y-1=0过定点(0,-1),直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R)⇒k(x+y+1)+x=0过定点(0,-1),故B正确;

当k=-2时,直线l2的方程为2x-2y-2=0,即x-y-1=0,l1与l2重合,故C错误;

两直线垂直,则1×(k+1)+(-1)×k=0,方程无解,故对任意的k,l1与l2都不垂直,选项D正确.

故选AC.

12.ABC 直线y=3x+3与x轴交点为A(-1,0),与y轴交点为B(0,3),又C(3,0),故可设

f(x)=a(x+1)(x-3),将B(0,3)代入,得3=a×1×(-3)⇒a=-1,

所以f(x)=-(x+1)(x-3)=-x+2x+3,其图象的对称轴为直线x=1. 设Q(1,a),

当AB=AQ时,√(-1-0)+(0-3)=√(-1-1)+(0-𝑥),解得a=±√6,所以Q(1,-√6）或2

Q(1,√6),所以A选项正确.

2222

当AB=BQ时,√(-1-0)+(0-3)=√(0-1)+(3-𝑥),解得a=0或a=6.由于点(1,6)在直线

y=3x+3上,故舍去,所以Q(1,0),所以B选项正确,D选项错误.

2222

当QA=QB时,√(-1-1)+(0-𝑥)=√(0-1)+(3-𝑥),解得a=1,故Q(1,1),所以C选项正确.

故选ABC.

13.答案 2x+y-1=0

解析与直线x-2y+3=0垂直的直线斜率为-2,又直线过点P(-1,3),则所求直线方程为

y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0.

14.答案 √5

解析由题意可得l1:y=x+3,l2:y=-x-1,

𝑥∵l1∥l2,∴=-,解得k=-4,

𝑥当k=-4时满足条件, 故直线l2为x-2y-2=0, 故直线l1,l2间的距离d=15.答案 8 解析根据题意,若直线x+2y+3=0与直线(a-1)x+by=2互相垂直, 则a-1+2b=0,变形可得a+2b=1, 则ab=2(a×2b)≤2×(即ab的最大值为8.

16.答案 x-3y+1=0

|3-(-2)|=√5.

√12+(-2)2

𝑥+2𝑥212

)=8,当且仅当a=2b=2时,等号成立,

解析因为中线CE所在直线方程为3x+y-7=0, 所以可设C(a,-3a+7),E(b,-3b+7)(a10

AE=

-3𝑥𝑥+𝑥=-3+𝑥+𝑥,

因为CE为等腰△ABC斜边上的中线,所以CE⊥AB,故k1

AB=3, 因为A、E、B三点在同一条直线上,所以k10

AE=-3+𝑥+𝑥=kAB=3, 所以a+b=3①,

又CE=AE,D是AC的中点,所以AC⊥DE, 所以k-3𝑥+5

CD·kDE=-1,即

-3𝑥+5

𝑥×

𝑥=-1,化简得2ab=3(a+b)-5②,

由①②解得a=1,b=2(a=2,b=1舍去), 所以点E(2,1),又因为k1

AB=3,

所以直线AB的方程为y-1=1

3(x-2),即x-3y+1=0. 17.解析 (1)因为l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0,① 又因为l1⊥l2,所以a(a-1)-b=0,② (3分) 由①②解得a=2,b=2. (5分) (2)因为l1∥l2,所以a×1=-b(a-1), 所以l2

2:ax-by-b=0,

又因为坐标原点到l1,l2的距离相等, 所以|4|-𝑥2|√𝑥2+𝑥=|2√𝑥2+𝑥2,解得b=±2. (8分)

当b=2时,a=2

3;当b=-2时,a=2.

𝑥=2,2

所以{

𝑥=-2或{𝑥=3, (10分)

𝑥=2.

18.解析直线mx+y-3m-1=0可化为m(x-3)+y-1=0, 由{

𝑥-3=0,𝑥-1=0

可得{𝑥=3,𝑥=1,所以点A的坐标为(3,1). (3分)

(1)设直线l的方程为x-2y+n=0,

将点A(3,1)代入方程可得n=-1,所以直线l的方程为x-2y-1=0. (5分) (2)①当直线l'的斜率不存在时,因为直线过点A,所以直线l'的方程为x=3,

符合原点到直线l'的距离等于3; (8分)

②当直线l'的斜率存在时,设直线l'的方程为y=kx-3k+1,即kx-y-3k+1=0, 因为原点到直线的距离为3,所以|-3𝑥+1|√𝑥2+1=3,解得k=-3,

所以直线l'的方程为4x+3y-15=0. (10分) 综上,直线l'的方程为x=3或4x+3y-15=0. (12分)

19.解析 (1)以灯柱底端O点为原点,灯柱OA所在直线为y轴,路宽OC所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,则A点的坐标为(0,h),C点的坐标为(23,0). (2分)

因为灯杆AB与灯柱OA成120°角,所以AB的倾斜角为30°,则B点的坐标为(2cos30°,𝑥+

sin30°),即(2

5√34

,𝑥+4).

因为BD⊥AB,所以kBD=-√3, (4分) 当h=10时,B点的坐标为(√3x+y-15=0.

故当h=10米,AB=米时,灯罩轴线BD所在的直线的方程为√3x+y-15=0. (6分)

5√34

,4),此时BD所在直线的方程为y-4=-√3(𝑥-

45455√34

),即

(2)易知点D的坐标为(2,0). 可求得B(2𝑥𝑥,

√323√32

-5+2𝑥𝑥), (8分)

23√31

-5+𝑥𝑥2223√3𝑥𝑥-22

所以直线BD的斜率k==-√3,解得AB=2.

所以当h=(

23√3-5)米且灯罩轴线2

BD正好通过道路路面的中线时,AB=2米. (12分)

20.解析 (1)证明:由(a+1)x+y-5-2a=0得a(x-2)+x+y-5=0, 则{

𝑥-2=0,𝑥=2,

解得{

𝑥+𝑥-5=0,𝑥=3,

(4分)

5+2𝑥所以无论a为何值,直线l必过一定点P(2,3).

(2)由题意得a≠-1.当x=0时,yB=5+2a,当y=0时,xA=𝑥+1, 55

由{

𝑥𝑥=5+2𝑥>0,𝑥𝑥=

5+2𝑥𝑥+11

>0得a>-1, (6分)

所以S△AOB=2·(5+2a)·𝑥+1=2[4(𝑥+1)+𝑥+1+12] ≥2[2√4(𝑥+1)·𝑥+1+12]=12, 当且仅当4(a+1)=𝑥+1,即a=2时,取等号. 所以A(4,0),B(0,6),

所以△AOB的周长为OA+OB+AB=4+6+√42+62=10+2√13. (8分) (3)直线l在两坐标轴上的截距均为整数,即5+2a,𝑥+1均为整数, 因为𝑥+1=2+𝑥+1,所以a=-4,-2,0,2, (10分)

又当a=-2时,直线l在两坐标轴上的截距均为零,也符合题意, 所以直线l的方程为3x-y-3=0,x-y+1=0,x+y-5=0,3x+y-9=0,3x-2y=0.

(12分)

55+2𝑥3

5+2𝑥9

5+2𝑥1

21.解析 (1)C(1,2)关于x轴的对称点C'(1,-2),直线C'M的方程为y=x-3, 由{

𝑥=𝑥-3,

得x=5∈[3,5],则此时N(5,2),

𝑥=-𝑥+7,

所以光所走过的路程C'N=4√2. (4分)

(2)对于线段y=-x+8,x∈[3,5],令其端点为A(3,5),B(5,3), 则kC'A=2,kC'B=4,所以反射光线斜率的取值范围是[4,2]. (8分) (3)若反射光线与直线y=-x+b垂直,光所走过的路程最短,则由{≥6,∴x=①当x=

𝑥+327

𝑥+3𝑥=-𝑥+𝑥,

得x=.∵b2𝑥=𝑥-3

≥2.

𝑥+32

∈[2,5],即6≤b≤7时,光所走过的最短路程为点C'到直线y=-x+b的距离,此时

(10分)

s=|1-2-𝑥|𝑥+1√2(𝑥+1)

=2=2; √2√②当x=

𝑥+32

∈(5,+∞),即b>7时,光所走过的最短路程为线段C'B',其中B'(5,b-5),

此时s=√(5-1)+(𝑥-3)=√𝑥2-6𝑥+25, √2(𝑥+1)

综上,s={2

√𝑥2-6𝑥+25,𝑥>7.

≤𝑥≤7,

(12分)

22.解析 (1)依题意,直线方程为3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0,

即(3x+y-6)m+3x-y-2=0,

43𝑥+𝑥-6=0,𝑥=3,

所以{解得{故直线过定点P(,2). (4分)

33𝑥-𝑥-2=0,𝑥=2,

(2)依题意设直线方程为𝑥+𝑥=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b), 将P(,2)代入得

43𝑥𝑥𝑥𝑥+=1.(*)

𝑥+𝑥+√𝑥2+𝑥2=12,𝑥=3,或{𝑥=4, (6分)

由题易得{1解得{

𝑥=4𝑥=3.𝑥𝑥=6,

其中{

𝑥=3,不满足(*),{𝑥=4,满足(*). 𝑥=4𝑥=3

𝑥𝑥4

所以存在直线+=1,即3x+4y-12=0满足条件.

(8分)

(3)由(1)知直线过定点P(,2),若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于M,N两点,则直线的倾

3斜角α∈(2,π), 所以PM=sin𝑥,PN=-3cos𝑥,

所以PM+2PN=sin𝑥-2×3cos𝑥=sin𝑥-cos𝑥=2×sin𝑥cos𝑥①, (9分) 令t=cosα-sinα=√2cos(𝑥+),

4由于α∈(,π),所以α+∈(

3π4π

cos𝑥-sin𝑥2

5π4

),所以cos(𝑥+4)∈[-1,-2),

π√2所以t=√2cos(𝑥+)∈[-√2,-1). (10分)

4则①可化为PM+2PN=2×1-𝑥2=12

3𝑥4

𝑥-𝑥,由于y=𝑥-t在[-√2,-1)上为减函数,所以y=13π4

𝑥-𝑥在[-√2,-1)上为增函数,故当t=-√2,即α=

时,PM+2PN取得最小值,为341+√2-√2=4√2.此时直线方程为

y-2=-(𝑥-3),即3x+3y-10=0. (12分)

第2章圆与方程

1.B 将方程x+y+2x-4y=0化为标准形式,得(x+1)+(y-2)=5, ∴圆的半径r=√5.故选B.

2.B 由圆的方程可知,圆心(-3,0),半径r=2, 圆心(-3,0)关于原点对称的点的坐标为(3,0),

则圆(x+3)+y=4关于原点O(0,0)对称的圆的方程为(x-3)+y=4.

故选B.

3.A 设圆的标准方程为(x-a)2

+(y-b)2

=r2

, 由题意得圆心(a,b)为AB的中点, 根据中点坐标公式可得a=3-212

=2,b=-1+212

=2, 易知r=

𝑥𝑥=√(3+2)2+(-1-2)2

=√3422

所以圆的标准方程为(𝑥-121217

2)+(𝑥-2)=2, 化简整理得x2

+y2

-x-y-8=0.故选A.

4.B 由题意可得圆的标准方程为(x+1)2

+(y-1)2

=4,则圆心(-1,1),半径为2, 圆心到直线x+y+√2a=0的距离为d=|√2𝑥|√1+1=|a|,

由圆x2

+y2

+2x-2y-2=0上的点到直线x+y+√2a=0的最大距离为4, 可得|a|+2=4,解得a=±2.故选B.

5.A 因为过点P(2,1)有且仅有一条直线与圆C:x2

+y2

+2ax+ay+2a2

+a-1=0相切, 所以点P(2,1)在圆上,

则22

+12

+4a+a+2a2

+a-1=0,解得a=-2或a=-1. 又x2

+y2

+2ax+ay+2a2

+a-1=0为圆的方程, 所以(2a)2

+a2

-4(2a2

+a-1)>0,即-23

,故a=-1.

故选A.

6.D 由题意知圆C的圆心为(-1,2),半径r=2, 因为M为线段AB的中点,所以CM=√𝑥2-(

𝑥𝑥22

)=1,

所以M在以C(-1,2)为圆心,1为半径的圆上, 又M在直线2x+y+k=0上,

所以直线2x+y+k=0与圆(x+1)2

+(y-2)2

=1有公共点, 于是|-2+2+𝑥|√5≤1,解得k∈[-√5,√5].故选D.

7.D 如图所示,圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为C'1(2,-3),半径为1, 点M关于x轴对称的点为M', 圆C2的圆心坐标为(3,4),半径为3,

由图可知,当P,M',N三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值,

且PM+PN的最小值为圆C'1与圆C2的圆心距减去两个圆的半径之和,

即C'1C2-3-1=√(3-2)+(4+3)-4=5√2-4,故选D.

8.A 圆C1化为标准方程为(x+1)+(y+2)=1,圆心C1(-1,-2),半径R=1, 圆C2化为标准方程为(x-2)+(y+1)=4,圆心C2(2,-1),半径r=2, 设点(-1,-2)关于直线l:y=x+2对称的点为(a,b),

𝑥+2+1

则{𝑥𝑥-2

=-1,=

𝑥-12

+2,

解得{

𝑥=-4,

𝑥=1.

设圆C1关于直线l:y=x+2对称的圆为圆C',则C'(-4,1),半径R'=1,则其方程为(x+4)+(y-1)=1,

设圆C'上的点M'与圆C1上的点M关于直线l对称,则有PM=PM', 原问题可以转化为P到圆C'和圆C2上的动点距离之和的最小值, 如图,连接C2C',与直线l交于点P,

此时点P是满足PN+PM'最小的点,

此时PN+PM'=C2C'-3=2√10-3,即MP+NP的最小值为2√10-3. 故选A.

9.BCD 圆M的一般方程化为标准形式为(x-4)+(y+3)=5, 故圆心为(4,-3),半径为5,故A错误,C正确;

令x=0,得y=0或y=-6,故y轴被圆M截得的弦长为6,故D正确; 令y=0,得x=0或x=8,故x轴被圆M截得的弦长为8,故B正确. 故选BCD.

10.AD ∵直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点, ∴圆心到直线的距离等于半径的3. 由题意知圆心为C(3,3),半径为r=6√2, ∴|3+3-𝑥|√21

=2√2,解得m=2或m=10.

故选AD.

11.AC 选项A中,因为圆O和圆M相交于A、B两点,所以两圆有两条公切线,故A正确; 选项B中,圆O:x+y=4和圆M:x+y-4x+2y+4=0的方程相减得y=2x-4,所以直线AB的方程为

y=2x-4,故B错误;

选项C中,圆心O到直线AB的距离d=

2454√5√2222√𝑥-𝑥=2√2-(5)=5,故

|-4|√1+4=

4√55

,所以线段AB的长为

C正确;

选项D中,因为λ∈R,λ≠-1,所以{程可化为x+y-4𝑥2

𝑥2+𝑥2-4=0,

恒成立,即过A、B两点,方

𝑥2+𝑥2-4𝑥+2𝑥+4=0

x+y+=0, 1+𝑥1+𝑥1+𝑥2

4𝑥-44𝑥2+16

(1+𝑥)

24𝑥2𝑥4𝑥-4

而(-1+𝑥)+(1+𝑥)-4×1+𝑥=

2𝑥>0恒成立,

所以方程(x+y-4)+λ(x+y-4x+2y+4)=0(λ∈R,λ≠-1)表示圆, 但此圆系不包括圆M,故D不正确. 故答案为AC.

12.BD 设点M(x,y),则𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,-y),𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y), 所以𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x-1)(-x+1)+y2

=3,即x2

+y2

=4, 所以M的轨迹方程为x2

+y2

=4,圆心为(0,0),半径为2, 由此可知圆(x-2a+1)2

+(y-2a-2)2

=1与x2

+y2

=4有公共点,

又因为圆(x-2a+1)2

+(y-2a-2)2

=1的圆心为(2a-1,2a+2),半径为1,

所以1≤√(2𝑥-1)2+(2𝑥+2)2

≤3,解得-1≤a≤12.

故选BD.

13.答案 ±√2 解析圆x2

+y2

=1的圆心为(0,0),半径为1, 由题意得|0-0+𝑥|√1+1=1,解得m=±√2.

14.答案 ±1

解析由题意得圆心C(a,0),半径r=1, 故圆心C(a,0)到直线l:x-y=0的距离d=|𝑥|√2, 因为直线l:x-y=0被圆C:(x-a)2

+y2

=1截得的弦长为√2,

所以√2=2√𝑥2-𝑥2=2√1-𝑥2

,解得a=±1.

15.答案 x=1或3x+4y-15=0

解析圆C:x2

+y2

-4x-2y+1=0的圆心C(2,1),半径r=2,

设圆心C到直线l的距离为d,则d=√𝑥2-(𝑥𝑥2

2)=√4-3=1, 当直线l的斜率不存在时,直线l:x=1,满足d=1; 当直线l的斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0, 所以d=|2𝑥-1+3-𝑥||𝑥+2|√𝑥2+1=√𝑥2+1=1,解得k=-3

, 所以l的方程为3x+4y-15=0,

综上所述,直线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.

16.答案 [-1-√5,-1+√5]

解析由题意知圆心C(m,2),半径r=2. 取AB的中点Q,连接CQ,则CQ⊥AB. 所以CQ=√𝑥2-𝑥𝑥2=√4-3=1, 所以点Q在圆(x-m)2

+(y-2)2

=1上. 易知𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,

设P(x0,y0),Q(x1,y1),则𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x1-x0,y1-y0),

𝑥=2(𝑥𝑥𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,2),所以{1-𝑥0),𝑥1=2+𝑥0,2=2(𝑥则{

1-𝑥0),𝑥1=𝑥0+1,

所以(𝑥+𝑥2

𝑥2

20-𝑥)+(𝑥0-1)=1,即(𝑥0-2)+(𝑥0-1)=1,

所以点P在以D(1

2𝑥,1)为圆心,1为半径的圆D上,

又点P在直线l:y=-2x上,所以直线l与圆D有公共点, 所以|𝑥+1|√5≤1,解得-1-√5≤m≤-1+√5.

17.解析圆M的标准方程为(x-6)2

+(y-7)2

=25, 所以圆心M(6,7),半径r=5.

(2分)

(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0), ∵圆N与x轴相切,与圆M外切, ∴0因此,圆N的标准方程为(x-6)2

+(y-1)2

=1.

(5分)

(2)当切线的斜率不存在时,切线l的方程为x=1,满足条件; (6分) 当切线的斜率存在时,设切线l的方程为y=k(x-1), ∴圆心M(6,7)到直线l的距离等于半径5, 即5=|6𝑥-7-𝑥|√𝑥2+1,化简得70k=24,解得k=12

, 故切线l的方程为12x-35y-12=0. (8分)

综上,切线l的方程为x=1或12x-35y-12=0. (10分) 18.解析 (1)圆C的方程化为标准形式为(x-2)2

+y2

=16, 故圆心C(2,0),半径r=4. (2分)

(2)因为直线l被圆截得的弦长最大,所以直线l过圆心C,

易求得kCP=3-2=1, (4分)

所以直线l的方程为y-1=x-3,即x-y-2=0.

(7分)

1-0

(3)易知CP垂直平分弦AB,又kCP=1,所以kAB=-1, (9分) 故直线AB的方程为y-1=-(x-3),即x+y-4=0. (12分)

19.解析 (1)圆C:x+y+2x-4y+m=0化为标准形式为(x+1)+(y-2)=5-m, (1分) 故圆C的圆心坐标为(-1,2),半径为√5-𝑥. (2分)

由于圆C与y轴相切,所以√5-𝑥=1,得m=4,所以圆C的半径为1.

(3分)

(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,圆C的圆心(-1,2)到直线x=-2的距离为1,所以直线l:x=-2为圆C的切线.

(5分)

|𝑥+2|√𝑥2+1当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2)+4,由直线l与圆相切得=1,解得

k=-4.此时切线l的方程为y=-4x+2. (7分)

综上,满足条件的切线l的方程为x=-2或y=-4x+2. (8分) (3)设P(x,y),则PM=PC-MC=(x+1)+(y-2)-1,PO=x+y, (9分) 由于PM=2PO,所以(x+1)+(y-2)-1=4(x+y), (10分) 整理得(𝑥-3)+(𝑥+3)=9, (11分) 所以点P的轨迹是以(,-)为圆心,

20.解析 (1)∵圆O:x+y=r(r>0)与直线x+2y-5=0相切, ∴|-5|√12+222

335

122217

√17为半径的圆. 3

(12分)

=r,∴r=√5, (2分)

∴圆O的方程为x+y=5. (3分) (2)∵直线l被圆O所截得的弦长为4, ∴圆心到直线l的距离d=√5-4=1. 当直线l的斜率不存在时,x=-1,满足题意; 当直线l的斜率存在时,设方程为y-3=k(x+1), 即kx-y+k+3=0, (5分) 则d=|𝑥+3|√𝑥2+14

=1, ∴k=-3,∴直线l的方程为4x+3y-5=0. (6分)

综上所述,直线l的方程为4x+3y-5=0或x=-1. (7分)

(3)设直线AB的方程为y=k1x+√5,

与圆方程联立,消去y得(1+𝑥22

1)x+2√5k1x=0,

∴x2√5𝑥√5𝑥B=-11√5-√5𝑥21

1+𝑥2,yB=

√5-√5𝑥21

1+𝑥2,即B(-

1+𝑥2,

1+𝑥2), (9分)

设直线AC:y=k2x+√5, 同理可得

x2√5𝑥C=-2

√5-√5𝑥2

1+𝑥2,yC=21+𝑥2,

∵k1

用-1

4√5𝑥4√5𝑥21k2=-1-√52,∴k2=-2𝑥,2𝑥代替k2得C(11+4𝑥2,

1+4𝑥2),

√5-√5𝑥212-4√5𝑥1-√5则k=1+𝑥21BC1+4𝑥21=2𝑥21-1-2√5𝑥13𝑥,

1+𝑥2-4√5𝑥111+4𝑥21

∴直线BC的方程为

y-√5-√5𝑥212𝑥2

1-1

2√5𝑥11+𝑥2=3𝑥(𝑥+1+𝑥2), (11分)

令x=0,可得y=√5𝑥1

2+1[

2(2𝑥21-1)

3+(1-𝑥2√51)]=3,

则直线BC过定点(0,√53). (12分) 21.解析 (1)设点E(x,y),☉E的半径为R, 则R=x+1

,EF=R+2

=x+1, (2分)

所以点E到直线x=-1的距离与到点F(1,0)的距离相等,

即x+1=√(𝑥-1)2

+𝑥2,

化简得动圆圆心E的轨迹C2

1的方程为y=4x. (4分) (2)由题意得,直线AC斜率不可能为零, 设点A(x1,y1),C(x2,y2),D(x0,y0), 直线AC的方程为x=my+t,

与y2

=4x联立,消去x得y2

-4my-4t=0, 则y1+y2=4m,y1y2=-4t,

故线段AC的中点M(2m2

+t,2m), (6分)

在曲线C1上存在A,B,C三点,使得四边形ABCD是平行四边形, 则点B,D关于点M对称,所以B(4m2

+2t-x0,4m-y0),

又因为点B在曲线C2

1:y=4x上,所以(4m-y2

0)=4(4m+2t-x0), 整理得my0+t=

𝑥20+𝑥08

,(*) (9分)

设点D到直线AC的距离为d, 则S1

|△ACD=2AC·d=2√1+𝑥2|y|𝑥𝑥1-y2|·0-𝑥0+𝑥=12

√2√1+𝑥2(4𝑥)+16𝑥·|my0-x0+t|, 将(*)代入上式,得S△ACD=√4𝑥2+4𝑥·|𝑥2008

𝑥2

-𝑥0|,

又因为𝑥22

0=4x0-4,所以

S√𝑥2+𝑥=√𝑥2+𝑥0𝑥△ACD=8

+02

-𝑥𝑥0

=√𝑥2+𝑥2

01𝑥2

-𝑥𝑥0=√(02

-𝑥)+2

, 当m=

𝑥0√22

时,△ACD的面积有最小值,且最小值为2. (12分)

22.解析 (1)设圆心C(t,3t),则由圆C与x轴正半轴相切,可得半径r=3|t|. 圆心到直线l:x-y=0的距离d=|𝑥-3𝑥|√2=√2|t|,由7+2t2=r2

,解得t=±1.

故圆心为(1,3)或(-1,-3),半径为3. (2分) ∵圆C与x轴正半轴相切,∴C(1,3), 故圆C的方程为(x-1)2

+(y-3)2

=9. (3分)

(2)①设A(xA,yA),M(x,y),则𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-xA,y-yA),𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(7-x,6-y), ∴{

𝑥-𝑥𝑥=14-2𝑥,𝑥𝑥=-14+3𝑥,

𝑥-𝑥∴{ (5分)

𝑥=12-2𝑥,𝑥𝑥=-12+3𝑥,

∵点A在圆C上运动, ∴(3x-14-1)2

+(3y-12-3)2

=9, ∴(x-5)2

+(y-5)2=1,

∴点M的轨迹方程为(x-5)2

+(y-5)2

=1,

它是一个以(5,5)为圆心,1为半径的圆. (7分) ②假设存在一点T(t,t),满足𝑥𝑥𝑥𝑥=λ(其中λ为常数),

设P(x,y),则√𝑥2+𝑥2

=λ,

√(𝑥-𝑥)2+(𝑥-𝑥)2

化简得x2+y2=λ2(x2-2tx+t2+y2-2ty+t2

), (9分) ∵P在轨迹Γ上,∴(x-5)2

+(y-5)2

=1, 化简得x2

+y2

=10x+10y-49,

∴10x+10y-49=λ2

(10x+10y-49-2tx-2ty+2t2

整理得x(10-10λ2

+2tλ2

)+y(10-10λ2

+2tλ2

)+49λ2

-2λ2t2

-49=0,

4910-10𝑥2+2𝑥𝑥2=0,

∴{解得t=. 1049𝑥2-2𝑥2𝑥2-49=0,

∴存在T(10,10)满足条件. (12分)

第3章圆锥曲线与方程

1.D 双曲线的渐近线方程为y=±𝑥x=±√3x.故选D.

2.D 因为椭圆的长轴长为6,离心率为3, 所以2a=6,e==,所以a=3,c=1, 又b=a-c=8, 所以椭圆的标准方程为故选D. 3.A

𝑥21

√𝑥2+1𝑥22

由双曲线𝑥2-y=1(a>0)的离心率为√3,可得𝑥=√3,解得

4949

𝑥1

𝑥1𝑥3

𝑥2𝑥29

=1.

a=2(负值舍去).故选A.

√24.C 设此弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则{

𝑥-𝑥1

=1,①

𝑥2𝑥222

+=1,②

𝑥21

①-②得𝑥1-𝑥2=-2(𝑥1+𝑥2)=-2,又kAB=𝑥1-𝑥2,则kAB=-2,故弦所在的直线方程为y-1=-2(x-1),化

𝑥+𝑥1𝑥-𝑥1

简得x+2y-3=0. 故选C.

5.A 由题意,可得抛物线的准线方程为x=-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以AB=x1+x2+4=16,即

x1+x2=12,

所以点P的横坐标为故选A.

6.B 由题意,不妨设点B在x轴上方,则B(-𝑥,𝑥),设P(0,t),又A(a,0),且

𝑥2𝑥√2𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-a,t)=√2(-𝑥,𝑥-𝑥),∴a=√2c,∴e=𝑥=2.

𝑥2

𝑥1+𝑥2

=6,所以点P到y轴的距离为6.

故选B.

7.D ∵直线FN与直线l1垂直, ∴kFN·𝑥=-1,即kFN=-𝑥,

𝑥𝑥𝑥=-𝑥,

𝑥∴直线FN的方程为y=-𝑥𝑥𝑥(x-c),联立{

𝑥=-𝑥𝑥(𝑥-𝑥),

𝑥2𝑥得{𝑥=-𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑥2-𝑥2, 𝑥2-𝑥2,

∴N(-𝑥2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥2-𝑥2,𝑥2-𝑥2), ∵OF=FN, ∴c2

-𝑥2𝑥2

𝑥2-𝑥2-𝑥)+(

𝑥𝑥𝑥𝑥2-𝑥2

,解得3b2=a2

∴e=√𝑥2

3𝑥2+𝑥22√3𝑥2=√3𝑥2

8.D 易知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 则直线AB:y=k1(x-2),直线AF:y=𝑥1

𝑥(x-1),直线BF:y=𝑥2

-1

𝑥x-1),

2-1

(由{

𝑥=𝑥1

𝑥(𝑥-1),1-1

得x2

-2x-4(𝑥1-1)2𝑥2=4𝑥𝑥2x+1=0,

则x1x3=1,∴x3=1

𝑥,

∴y𝑥13=1

𝑥-1)=-𝑥11

-1(𝑥1

𝑥, 1

同理,x1

𝑥4=

𝑥,y4=-

𝑥, 2

-𝑥1

𝑥2

∴k𝑥-(-𝑥2=

2)-

-𝑥2𝑥1+𝑥1𝑥2

11𝑥𝑥𝑥 1𝑥2

2-1

=-𝑥2[𝑥1(𝑥1-2)]+𝑥1[𝑥1(𝑥2-2)]=-𝑥1𝑥1𝑥2+2𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥1𝑥2-2𝑥1𝑥1

𝑥2-𝑥1

𝑥2-𝑥 1

2𝑥1(𝑥2-𝑥1)

𝑥=2k1.

2-𝑥1∴𝑥11

𝑥=2.故选D.

9.ACD 对于选项A,mx2

+ny2

=1可化为

𝑥2+𝑥2

11=1,

𝑥𝑥 67

因为m>n>0,所以𝑥<𝑥,此时曲线C是焦点在y轴上的椭圆,故A正确; 对于选项B,若m=n>0,则mx+ny=1可化为x+y=𝑥, 此时曲线C是圆心在原点,半径为对于选项C,mx+ny=1可化为

√𝑥𝑥1的圆,故B不正确;

𝑥2𝑥2

1+=1, 2

𝑥𝑥因为mn<0,所以与异号,此时曲线C是双曲线,令mx+ny=0,可得y=±√-x,故其渐近线

𝑥𝑥𝑥𝑥方程为y=±√-𝑥x,故C正确;

对于选项D,若m=0,n>0,则mx+ny=1可化为y=, 𝑥2

𝑥1

即y=±

√𝑥𝑥,此时曲线C是平行于x轴的两条直线,故D正确.

故选ACD.

10.ACD 由双曲线方程

𝑥𝑥2𝑥24

-2

=1知a=2,b=√2,焦点在y轴上,其渐近线方程为

y=±𝑥x=±√2x,故A正确;c=√𝑥2+𝑥2=√6,以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=6,故B错误;

联立{

𝑥2+𝑥2=6,𝑥=√2,𝑥=-√2,得{或{由对称性知M点的横坐标是±√2,故C正

𝑥=-2,𝑥=√2𝑥,𝑥=2

确;𝑥△𝑥𝑥1𝑥2=F1F2·|xM|=×2√6×√2=2√3,故D正确.故选ACD.

11.ACD 易知F(1,0),不妨设点A在第一象限. 若直线l的斜率不存在,则A(1,2),B(1,-2), 此时AB=4,OA+OB=2OA=2√5, 此时S△OAB=2×4×1=2,故B错误;

若直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k, 显然k≠0,则直线l的方程为y=k(x-1), 联立{

𝑥=𝑥(𝑥-1),2222

消去y,得kx-(2k+4)x+k=0, 2

𝑥=4𝑥,

2𝑥2+4

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=∴AB=x1+x2+2=4+𝑥2>4, 4

𝑥2

=2+𝑥2,

原点O到直线l的距离d=1

|𝑥|√𝑥2+14

, |𝑥|∴S△OAB=2×AB×d=2×(4+𝑥2)×√𝑥2+1=2√1+𝑥2>2, 1

综上,AB≥4,S△OAB≥2,故A正确,D正确;

如图,过点A向准线作垂线,垂足为N,则PA+AF=PA+AN,

故当P,A,N三点共线时,PA+AF取得最小值,最小值为3,故C正确. 故选ACD.

12.ACD 选项A中,因为F1F2=2,所以F2(1,0),PF2=1,所以QF1+QP=2√𝑥-QF2+QP≥2√𝑥-PF2=2√𝑥-1,当Q,F2,P三点共线时取等号,故A正确; 选项B中,若椭圆C的短轴长为2,则b=1,a=2,此时椭圆方程为椭圆外,故B错误;

选项C中,因为点P(1,1)在椭圆内部,所以𝑥+𝑥<1,又a-b=1,所以b=a-1,所以𝑥+𝑥-1<1,即

𝑥22

+y=1,由+1>1,可知点P在

a-3a+1>0,所以a>

取值范围为(0,

3+√56+2√5(1+√5)2

,所以√𝑥>1+√52

,所以e=1√<𝑥√5-1

,所以椭圆2

C的离心率的

√5-1

),故2

C正确;

选项D中,若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥1=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥1𝑥,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),所以𝑥+𝑥=1,又a-b=1,所以

a-11a+9=0,所以a=

故D正确. 故选ACD.

13.答案 4

11+√8522+2√85(√5+√17)2

,所以√𝑥=

√5+√17,所以椭圆C的长轴长为√5+√17,2

解析由题得a-4=9+3,解得a=4或a=-4(舍去),

故答案为4.

14.答案 3

5 解析由题易得抛物线的焦点为(1,0),

双曲线的渐近线方程为y=±3

4x,即3x+4y=0或3x-4y=0. 所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d=|3-0|3

√32+42=5

. 故答案为3

15.答案 4

解析不妨设点P位于第一象限,如图,

设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,由椭圆及双曲线的定义知{

𝑥𝑥1+𝑥𝑥2=2𝑥1,

𝑥𝑥

1-𝑥𝑥2=2𝑥2,

∴PF=a又Fπ11+a2,PF2=a1-a2,1F2=2c,∠F1PF2=3

, ∴由余弦定理得4c2

=(𝑥22π1+𝑥2)+(𝑥1-𝑥2)-2(a1+a2)(a1-a2)·cos3

化简得𝑥21+3𝑥2

2=4c2

∴𝑥21𝑥2+3𝑥2

𝑥2=4,即13𝑥2+2=4.故填4.

1𝑥2

16.答案 y2

=6x

解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),设两条平行光线间的距离为d, 由题意可知,d=|y1-y2|,

易知F(𝑥2,0),且直线PQ过点F,则可设直线PQ的方程为x=my+𝑥2,m∈R,

联立{𝑥2=2𝑥𝑥,2p2

𝑥=𝑥𝑥+𝑥,消去x,得y-2pmy-=0,

由根与系数的关系可得y1+y2=2pm,y2

1y2=-p,

则d=|y1-y2|=√4𝑥2𝑥2+4𝑥2=2p√1+𝑥2≥2p, 所以2p=6,

故抛物线的方程为y2

=6x.

17.解析 (1)若命题p为真命题,则满足{

𝑥2>2𝑥+8,2𝑥+8>0,

(3分)

解得-44,

即m的取值范围为(-4,-2)∪(4,+∞). (5分)

(2)若命题q为真命题,则(m-t)(m-t-1)<0,即t因为p是q的必要不充分条件,所以{m|t4}, (8分) 即-4≤t或t+1≤-2或t≥4,解得-4≤t≤-3或t≥4. 即实数t的取值范围为[-4,-3]∪[4,+∞). (10分)

18.解析 (1)设双曲线的标准方程为𝑥2𝑥2

𝑥2-𝑥2=1.由题意可得2a=2√3,2c=2√5, 所以a=√3,c=√5, (2分) 所以b2

=c2

-a2

=2,所以b=√2, 所以双曲线C的标准方程为

𝑥2-

𝑥23

=1. (5分)

𝑥2𝑥23

(2)联立{

=1,

√3消去y,整理可得x+2√3x-9=0, (8分) 𝑥=

𝑥-1,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2√3,x1x2=-9, (10分)

2所以AB=√1+(√3143

)|x21-x2|=√1+3

×√(𝑥1+𝑥2)-4𝑥1𝑥2=√3

×√48=8. (12分)

19.解析 (1)由题意知,椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为𝑥2𝑥2+𝑥2

𝑥2=1(a>b>0), 由椭圆的定义知c=2,

2a=√(5+2)2

+(-3)2

+√(5-2)2

222+(-2

)=2√10,

(3分)

所以a=√10,所以b2=a2-c2

=10-4=6, 故椭圆的标准方程为𝑥2𝑥2

10+

=1. (5分)

(2)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),

𝑥2𝑥2

联立{10+6=1,得8x2

+10x-25=0,

𝑥=𝑥+1,

所以x1+x2=-4,x1x2=-8. (8分) 设线段AB的中点坐标为(x0,y0),则x0=

525

𝑥1+𝑥2

=-8,y0=8, 53

所以线段AB的中点坐标为(-8,8). (10分)

22515√22

由弦长公式得AB=√1+12×√(𝑥1+𝑥2)-4𝑥1𝑥2=√2×√16=4. (12分)

20.解析 (1)由F1F2=2得c=1,又𝑥△𝑥𝑥1𝑥2=×2×b=√3,所以b=√3, (2分)

所以a=√1+3=2. 所以椭圆的标准方程为

𝑥2𝑥24

=1. (4分)

(2)证明:已知点B(1,2),当直线BB1的斜率不存在时显然不满足题意, 所以直线BB1的斜率存在.

设直线BB1:y-2=k(x-1),即y=kx+2-k,由于直线BB1,BB2关于直线x=1对称,因此直线BB2的斜率为-k,故直线BB2:y=-kx+2+k, (6分) 设B1(x1,y1),B2(x2,y2), 联立{𝑥2

𝑥=𝑥𝑥+2-𝑥,

𝑥23

=1,

整理得(3+4k)x+4k(3-2k)x+4k-12k-3=0, (7分)

4𝑥2+12𝑥-34𝑥2+3

222

则x1=

4𝑥2-12𝑥-34𝑥2+3

(方程有一解是x=1),同理x2=

, (9分)

8𝑥2-6

则𝑥𝑥1𝑥2=𝑥2-𝑥1=

𝑥-𝑥(-𝑥𝑥2++𝑥)-(𝑥𝑥1+-𝑥)2𝑥-𝑥(𝑥1+𝑥2)2𝑥-𝑥·2224𝑥+31

𝑥2-𝑥1

=24𝑥4𝑥2+3

=2,所以直线B1B2的斜率为

定值. (12分)

𝑥=3,𝑥=√6,21.解析 (1)由题意知3+2=1,解得{𝑥=2,

𝑥2𝑥2

𝑥=√2,{𝑥2=𝑥2+𝑥2,所以椭圆C的标准方程为

𝑥2𝑥26

𝑥√3(3分)

=1. (5分)

(2)由题意知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=kx+m,其中m≠±2,

𝑥=𝑥𝑥+𝑥,

联立{𝑥2

𝑥24

=1,

得(3k+2)x+6kmx+3m-12=0,

222

Δ=36k2m2-12(3k2+2)(m2-4)=24(6k2+4-m2),

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=3𝑥2+2,x1x2=3𝑥2+2, (6分)

-6𝑥𝑥3𝑥2-12

易得A(0,2),B(0,-2),因为AP⊥AQ,

所以𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+(kx1+m-2)(kx2+m-2) =(k+1)x1x2+k(m-2)(x1+x2)+(m-2)=0, 所以(k+1)×3𝑥2+2+k(m-2)×3𝑥2+2+(m-2)=0, 即(k+1)(3m-12)-6km(m-2)+(m-2)(3k+2)=0, 因为m≠±2,所以(k+1)(3m+6)-6km+(m-2)(3k+2)=0, 所以3km+6k+3m+6-6km+3km+2m-6k-4=0,即5m+2=0,

所以m=-,满足Δ>0.所以直线PQ的方程为y=kx-,即直线PQ过定点(0,-). (8分)

555解法一:因为△ABH存在,所以k≠0, 所以直线AH的斜率为-,方程为y=-x+2,

𝑥𝑥1

3𝑥2-12

-6𝑥𝑥2

联立{

𝑥=𝑥𝑥-5,𝑥=-𝑥1

解得点H的横坐标为xH=1, (10分) ()5𝑥+𝑥+2,𝑥1

125(|𝑥|+

1)|𝑥|

所以S△ABH=2AB×|xH|=2×4×

=245(|𝑥|+

1)|𝑥|

≤5,

当且仅当|k|=|𝑥|,即k=±1时取等号,即△ABH面积的最大值为5. 解法二:设直线PQ所过的定点为D,则D(0,-). (9分)

5因为AH⊥PQ,所以点H在以AD为直径的圆上, 所以(𝑥△𝑥В𝑥)max=AB×

(12分)

𝑥𝑥12

=×4×

2-(-)12

=,即△ABH面积的最大值为. (12分)

22.解析 (1)设点(x0,y0)在抛物线y=2px上,则𝑥20=2px0.下面证抛物线y=2px在点(x0,y0)处的切线方程为y0y=p(x+x0),

𝑥2=2𝑥𝑥,22联立{消去x,得y-2y0y+2px0=0,即y-2y0y+𝑥20=0, (2分) 𝑥0𝑥=𝑥(𝑥+𝑥0),

所以关于y的方程y-2y0y+𝑥20=0有两个相等的实根,即y1=y2=y0,此时x=

𝑥20

=x0, 2𝑥因此直线y0y=p(x+x0)与抛物线y=2px相切,且切点为(x0,y0). 设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(1,t), 则以A为切点的切线方程为y1y=2(x+x1),

同理,以B为切点的切线方程为y2y=2(x+x2), (4分) 因为两条切线均过点P(-1,t),所以{

𝑥𝑥1=2(-1+𝑥1),2𝑥1-𝑥𝑥1-2=0,

即{

𝑥𝑥2=2(-1+𝑥2),2𝑥2-𝑥𝑥2-2=0,

所以点A、B的坐标满足直线2x-ty-2=0的方程, 所以直线AB的方程为2x-ty-2=0,

令y=0,可得x=1,所以直线AB过定点(1,0). (6分) 1

(2)设点P到直线AB的距离为

d,则𝑥△𝑥𝑥𝑥𝑥·𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥=2△𝑥𝑥𝑥12𝑥·𝑥𝑥=𝑥𝑥. 由题意可知,直线AB不与x轴重合,可设直线AB的方程为x=my+1,

设C(x3,y3),D(x4,y4),联立{𝑥2=4𝑥,𝑥=𝑥𝑥+1,

得y2-4my-4=0,Δ=16(m2+1)>0恒成立, 由根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-4, (8分)

由弦长公式可得AB=√1+𝑥2|y22

1-y2|=√1+𝑥2×√(𝑥1+𝑥2)-4𝑥1𝑥2=4(m+1),

𝑥2

联立{

+3=1,得(3m2+4)y2+6my-9=0,Δ=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0恒成立, 𝑥=𝑥𝑥+1,

则y6𝑥9

3+y4=-3𝑥2+4,y3y4=-3𝑥2+4,

(10分)

由弦长公式得CD=√1+𝑥2|y2

12(𝑥2+1)3-y4|=√1+𝑥2×√(𝑥3+𝑥4)-4𝑥3𝑥4=

3𝑥2+4

所以𝑥△𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥4(𝑥2+1)3𝑥2+424≥4𝑥==𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥12(𝑥2+1)=3=m+33, △3𝑥2+4

当且仅当m=0时,等号成立. 因此

𝑥1𝑥的最小值为4. 分)

(12第4章数列

1.D 当n=1时,S1=2a1-1=a1,解得a1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,

所以{an-1

n}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2,

所以{na0

n}的前5项和为1×2+2×2+3×2+4×2+5×2=129,故选D.

2.A 设等比数列{an}的公比为q,依题意可得q≠1. 1

∵an>0,a1

n-1

1=2

(1-𝑥𝑥)2

,Sn<2,∴2

×q>0,

1-𝑥<2,∴0∴0<1-qn<1,

∴4-4q≥1,解得q≤3

4.综上可得,{an}的公比的取值范围是(0,4].故选A.

3.C 设等比数列{an}的公比为q.由a102a103-1>0,得a102a103>1,则𝑥2102×q>1,所以q>0,

所以等比数列{an}的各项均为正数,由𝑥102-1<0,得(a102-1)(a103-1)<0,又a1>1,

103

𝑥-1

所以a102>1,a103<1,所以T204=a1·a2·…·a203·a204=(𝑥102·𝑥103)

102

>1,

T205=a1·a2·…a203·a204·a205=𝑥103103<1,

故使得Tn>1成立的最大正整数n的值为204,故选C.

4.B 设数列3,4,6,9,13,18,24,…为{an},易得an-an-1=n-1(n≥2),a1=3, 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =(n-1)+(n-2)+…+1+3=所以a19=

5.C 由an+1=2an(n∈N)可知数列{an}是公比为2的等比数列, 所以an=2·(2)

1𝑥-11

*(𝑥-1+1)·(𝑥-1)

+3=

𝑥(𝑥-1)

+3.

19×182

+3=174.故选B.

=2𝑥,所以bn=

𝑥-2𝑥n=(n-2λ)2, 𝑥𝑥*因为数列{bn}是递增数列,所以bn+1>bn对于任意的n∈N恒成立, 即(n+1-2λ)2>(n-2λ)2,整理得λ<

6.B 因为数列{an}满足a0=1,a2n+1=an,a2n+2=an+an+1(n∈N),

所以a1=a3=a7=…=𝑥2𝑥-1=1,k∈N,𝑥2𝑥+1=𝑥2𝑥-1+𝑥2𝑥=1+𝑥2𝑥,k∈N,

**n+1

n𝑥+22

,又n∈N,∴λ<,故选C.

𝑥2𝑥+1=𝑥2𝑥-1,𝑥2𝑥+2=𝑥2𝑥-1+𝑥2𝑥-1+1,𝑥2𝑥+3=𝑥2𝑥-1+1,……,𝑥2𝑥+1=𝑥2𝑥-1+𝑥2𝑥,k∈N*,

设S(k)=𝑥2𝑥+1+𝑥2𝑥+2+…+𝑥2𝑥+1, 所以

S(k)=𝑥2𝑥+1+𝑥2𝑥+2+…+𝑥2𝑥+1=3(𝑥2𝑥-1+1+𝑥2𝑥-1+2+…

+𝑥2𝑥)+2𝑥2𝑥-1-2𝑥2𝑥=3S(k-1)-2,

又a0=1,所以a1=1,a2=2,a3=1,a4=3,S(1)=a3+a4=4,

所以S(k)-1=3[S(k-1)-1],S(1)-1=3,所以S(k)-1=3,即S(k)=3+1,所以a1+a2+…+a128=1+2+S(1)+…+S(6)=3+(3+1)+(3+1)+…+(3+1)=1101. 故选B.

7.A 对任意的n∈N有Sn=3an-3,可得a1=S1=3a1-3,解得a1=-2,

kk2222

当n≥2时,Sn=an-,Sn-1=an-1-,两式相减得Sn-Sn-1=an-an-1=an,即an=-2an-1,所以{an}是首项为222222

333333-2,公比为-2的等比数列, 所以a(-2)𝑥]

nn=(-2)n,所以S-2×[1-n=

1-(-2)

=-3

[1-(-2)],

所以1[1-(-2)]<12,所以2

<(-2)<19,

当k=2和k=4时不等式成立,所以k的值为2或4,故选A.

8.B ∵an+1=𝑥2𝑥+an,a1=2,

∴an>0,∴an+1-an=𝑥2𝑥>0,即数列{an}为递增数列, ∴a1

n+1=an(an+1)≥6,即𝑥=1

𝑥+1𝑥𝑥(𝑥𝑥+1)=1

𝑥-

≤6

𝑥𝑥𝑥+1

易得1

𝑥.

𝑥+1=𝑥-𝑥𝑥𝑥+1

∵2𝑥𝑥1

𝑥+1

=2(1-𝑥𝑥𝑥+1

∴S2𝑥1

+2𝑥2

+…+

2𝑥m=

𝑥𝑥1+1𝑥2+1

𝑥𝑥+1

=2(1-1

)+2(1-1

𝑥1

𝑥2

)+…+2(1-𝑥𝑥+1

)

=2m-2(

𝑥1+1+

𝑥2+1

+…+

𝑥𝑥+1

)

=2m-2(1

𝑥-1

𝑥2

+𝑥-2

𝑥3

+…+𝑥-𝑥𝑥𝑥+1

)

=2m-2(11

𝑥-1

𝑥𝑥+1

)

=2m-1+

𝑥,

𝑥+1

∵m∈N*,a2=𝑥21+a1=6, ∴2m-1+2

𝑥≤2m-1+𝑥+1

𝑥=2m-3, 2

∵Sm<2020恒成立, ∴2m-2

<2020,即m<1010+1

, ∴正整数m的最大值为1010.

9.AC 因为Sn为数列{an}的前n项和,且S*n=2an+1(n∈N),所以S1=2a1+1, 因此a1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,

所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,故C正确; 所以an=-2,因此a5=-1×2=-16,故A正确; 又Sn=2an+1=-2+1,所以S5=-2+1=-31,故B错误;

因为S1+1=0,所以数列{Sn+1}不是等比数列,故D错误.故选AC.

10.BC 由a2a3a4=64得𝑥33=4,则a3=4.设等比数列{an}的公比为q(q≠0),由a2+a4=10,得

n-14

+4q=10,即2q-5q+2=0,解得q=2或q=2.又数列{an}单调递增,所以q=2,所以2a1+8a1=10,解𝑥得a1=1,所以an=2,Sn=

11.ABD 若q<0,则a6<0,a7>0,∴a6a7<0,与a6a7>1矛盾,故舍去;若q≥1,则

n-1

1×(1-2𝑥)

1-2

=2-1,所以Sn+1-Sn=2-1-(2-1)=2.故选BC.

nn+1nna6>1,a7>1,∴𝑥6-1>0,与𝑥6-1<0矛盾,故舍去,∴07

𝑥-1𝑥-1

∵𝑥6-1<0,∴a6>1>a7>0,∴a6a8=𝑥27∈(0,1),B正确.

𝑥-1

∵an>0,∴Sn单调递增,即Sn的最大值不为S7,C错误.

当n≥7且n∈N时,an∈(0,1),当1≤n≤6且n∈N时,an∈(1,+∞),∴Tn的最大值为T6,D正确.故选ABD.

12.ABD 数列{an}的前n项和满足an+1=2Sn(n∈N),

当n≥2时,an=2Sn-1,两式相减,整理得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an(n≥2), 所以an+1=3an(n≥2),即所以

𝑥𝑥+1

=3(n≥2),又𝑥𝑥***a1=1,a2=2S1=2a1=2,

1,𝑥=1,

2·3𝑥-2𝑥≥2.

𝑥2

=2,所以数列{an}的通项公式为𝑥1

𝑥𝑥+12·3𝑥-12

an={

当n≥2时,Sn==2

=3,又S1=a1=1,符合此式,

n-1

所以数列{an}的前n项和Sn=3,又ABD.

13.答案 100

𝑥𝑥+13𝑥==3,所以数列{Sn}为公比为𝑥𝑥3𝑥-13的等比数列.故选

222

解析 𝑥35·a7=𝑥5·(a5·a7)=𝑥5·𝑥6=(𝑥5·𝑥6)=(𝑥3·𝑥8)=100.

14.答案 7×5𝑥-13𝑥 解析由题意知,数列{an}满足2Sn=5an-7,当n≥2时,2Sn-1=5an-1-7, 两式相减,可得2Sn-2Sn-1=5an-7-(5an-1-7),即2an=5an-5an-1(n≥2), 即𝑥𝑥5𝑥=3(n≥2),当n=1时,2S1=5a7

1-7,即2a1=5a1-7,解得a1=3, 𝑥-1

所以数列{a75

n}是首项为3,公比为3的等比数列, 所以数列{a7

5𝑥-1n}的通项公式为an=3·(3)=

7×5𝑥-1

3𝑥.

15.答案 1349

解析当k=1时,a1=1,符合题意.

当k≥2时,a1·a2·a3·…·ak=log45·log56·…·logk+2(k+3)=log4(k+3).令logmm4(k+3)=m,m∈Z,则k+3=4,∴k=4-3.

令2≤k=4m-3≤2020,则5≤4m≤2023,∴2≤m≤5,m∈Z.

∴区间[1,2020]内所有“幸福数”的和为1+(42

-3)+(43

-3)+(44

-3)+(45

-3) =(4-3)+(42

-3)+(43

-3)+(44

-3)+(45

-3) =4×(1-45)1-4

-15=1349.

16.答案 2n-2;4

解析因为Sn+2=an+1=Sn+1-Sn,所以Sn+1=2Sn+2,

所以Sn+1+2=2(Sn+2),所以{Sn+2}是等比数列且公比q=2, 又Sn1+2=a1+2=2,所以Sn+2=2,所以Sn=2n-2. 当n≥2时,a𝑥n=Sn-Sn-1

n-1=2,则

𝑥+11𝑥=, 𝑥+48

因为𝑥𝑥+1<𝑥𝑥+12𝑥+1-21𝑥2𝑥𝑥,所以𝑥+4

22𝑥-2<8, 化简得22n-16·2n+14>0,解得2n>8+5√2或2n<8-5√2, 因为n∈N*

,所以2n>8+5√2,则nmin=4.

17.解析 (1)当n=1时,S𝑥1=𝑥-1(a1-1)=a1,所以a1=a.

(1分)

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=整理得

𝑥(an-an-1), 𝑥-1

(3分)

𝑥𝑥=a,即数列{an}是以𝑥𝑥-1

n-1

na为首项,a为公比的等比数列,

所以an=a·a=a(a≠0,a≠1). (5分) (2)由(1)知,bn=

2×

𝑥(𝑥𝑥-1)𝑥-1

𝑥𝑥+1=(3𝑥-1)𝑥𝑥-2𝑥(𝑥-1)𝑥𝑥,∴b1=3,b2=

3𝑥+2

𝑥,b3=

3𝑥2+2𝑥+2

𝑥2

, (7分)

由数列{bn}是等比数列,得𝑥22=b1·b3, 所以(

3𝑥+22

𝑥)=3·

3𝑥2+2𝑥+2

𝑥2

,解得a=. (10分)

18.解析 (1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a2=7,S4=40,所以{解得{

𝑥1+𝑥=7,

4𝑥1+

4×32

𝑥=40,

(2分)

𝑥1=1,

𝑥=6,

(4分) (6分)

所以an=6n-5. (2)由(1)得bn=

𝑥𝑥𝑥𝑥+11

=(-), (8分) (6𝑥-5)(6𝑥+1)26𝑥-56𝑥+1

3111

所以Tn=2(1-7+7-13+…+6𝑥-5-6𝑥+1)=2(1-6𝑥+1)<2. 要使2Tn≤λ-2020对所有n∈N都成立,

*(10分)

只需满足1≤λ-2020,故λ≥2021,故λ的取值范围为[2021,+∞). (12分) 19.解析 (1)易知{an}的各项均不为0.因为(n+1)an+1=2(n+2)an,所以则an=a1·分)

当n=1时,a1=2,满足此式,所以an=(n+1)·2. (2)证明:Sn=2·2+3·2+4·2+…+(n+1)·2①, 2Sn=2·2+3·2+4·2+…+n·2+(n+1)·2②, (8分) ①-②得-Sn=2+2+2+2+…+2-(n+1)·2 =2+

2(1-2𝑥-1)

1-2

𝑥𝑥+12(𝑥+2)

=, 𝑥𝑥(𝑥+1)

(2分)

𝑥2𝑥3𝑥4𝑥345𝑥+1n-1n-1

···…·𝑥=2·a1·(···…·=(n+1)·2(n≥2), )𝑥1𝑥2𝑥3𝑥𝑥-1234𝑥n-1

(6分)

n-1

n-1nn-1n-(n+1)·2=-n·2,所以Sn=n·2, (10分)

nnnnnn所以2an-Sn=(n+1)·2-n·2=2>0,所以Sn<2an. 20.解析 (1)因为点(n+1,Sn+3)在抛物线y=x上, 所以Sn+3=(n+1),所以Sn=n+2n-2. (2分) 当n=1时,a1=S1=1;

(12分)

(3分)

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+2n-2-[(n-1)+2(n-1)-2]=2n+1.

(5分)

1,𝑥=1,

当n=1时,a1=1≠2×1+1,所以an={(6分)

2𝑥+1,𝑥≥2,𝑥∈N*.-8,𝑥=1,

(2)易得an-9={(8分)

2𝑥-8,𝑥≥2,𝑥∈N*.当n=1时,T1=|-8|=8.

当1当n=1时,-1+7×1+2=8=T1,满足此式,所以当n≤4,n∈N时,Tn=-n+7n+2. (9分) 当n≥5,n∈N时,Tn=T4+[Sn-S4-9(n-4)]=14+n+2n-2-22-9n+36=n-7n+26. (11分) -𝑥2+7𝑥+2,𝑥≤4,𝑥∈N*,

综上,Tn={2(12分)

𝑥-7𝑥+26,𝑥≥5,𝑥∈N*.21.解析 (1)∵数列{an}中,a1=1,a2=,且an+1=

(𝑥-1)𝑥𝑥*2

*22

𝑥-𝑥𝑥(n=2,3,4,…),

∴a3=

(2-1)𝑥2

12-𝑥22-4

(3-1)𝑥32×71413-𝑥33-10

=14

=7,

(2分)

==. (3分)

𝑥+1

𝑥𝑥-1=(𝑥-1)𝑥-1=(𝑥-1)𝑥=𝑥-1(𝑥-1), (4分)

𝑥𝑥𝑥(2)当n≥2时,𝑥𝑥-𝑥𝑥(1-𝑥)𝑥1

∴当n≥2时,bn=𝑥-1bn-1,∴bn+1=∴bn=

𝑥𝑥+1*bn,n∈N, 𝑥(6分)

𝑥𝑥-1𝑥-2𝑥-32

××××…××b1=nb1, 𝑥-1𝑥-2𝑥-3𝑥-411

*∵b1=𝑥-1=3,∴bn=3n,n∈N.

(8分)

=tan(3n+3)-tan3n, (10分)

(3)∵cn=

sin3

cos𝑥𝑥·cos𝑥𝑥+1cos3𝑥·cos(3𝑥+3)

sin(3𝑥+3-3𝑥)

∴Sn=c1+c2+…+cn=(tan6-tan3)+(tan9-tan6)+…+[tan(3n+3)-tan3n] =tan(3n+3)-tan3.

(12分)

𝑥33

22.解析 (1)因为a1=a=4,a2=a1+1=5,a3=a2+1=6,a4=所以集合A中的所有元素为4,5,6,2,3,1.

=2,a5=a4+1=3,a6=

𝑥53

=1,a7=a6+1=2,……,

(2分)

*(2)不妨设成等比数列的连续7项中的第一项为ak,k∈N,

若ak是3的倍数,则ak+1=ak;若ak被3除余1,则由递推关系可得ak+2=ak+2,所以ak+2是3的倍

数,所以ak+3=3ak+2;若ak被3除余2,则由递推关系可得ak+1=ak+1,所以ak+1是3的倍数,所以

ak+2=3ak+1.

所以成等比数列的连续7项的公比为3. (5分)

因为an∈N,所以这7项中的前6项一定都是3的倍数,而第7项一定不是3的倍数(否则构成等比数列的连续项数会大于7).

设第7项为p,则p是被3除余1或被3除余2的正整数,则ak=p×3, 因为3<2020<3,所以ak=3或ak=2×3. (7分)

由递推关系式可知,在该数列的前k-1项中,满足小于2020的项只有

*ak-1=36-1或2×36-1,ak-2=36-2或2×36-2,

所以a的所有可能取值构成的集合为{3,2×3,3-1,2×3-1,3-2,2×3-2}. (9分) (3)证明:若ak被3除余1,则ak+1=ak+1,ak+2=ak+2,ak+3=(ak+2);

若ak被3除余2,则ak+1=ak+1,ak+2=(ak+1),ak+3≤(ak+1)+1;

若ak被3整除,则ak+1=3ak,ak+3≤3ak+2. 所以ak+3≤3ak+2, (10分)

所以ak-ak+3≥ak-(3𝑥𝑥+2)=3(ak-3).

所以对于数列{an}中的任意一项ak,若ak>3,则ak>ak+3. 因为ak∈N,所以ak-ak+3≥1,

所以数列{an}中必存在某一项am≤3(否则会与上述结论矛盾). 若am=1,结论得证.

若am=3,则am+1=1;若am=2,则am+1=3,am+2=1,所以1∈A. (12分)

第5章导数及其应用

1.C f(x)在[0,π]上的平均变化率为

2.C 因为lim

𝑥(2+Δ𝑥)-𝑥(2-Δ𝑥)

=2f'(2)=-2,所以

Δ𝑥Δ𝑥→0

3π4

*11

𝑥(π)-𝑥(0)π2

π-0

=π=π.故选C.

f'(2)=-1,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))

处的切线斜率为-1,故所求切线的倾斜角为

.故选C.

3.B 因为f(x)为幂函数,所以设f(x)=x,又

α√21√2f(x)的图象过点(2,2),所以(2)

𝑥=2,所以

α=2,所以f(x)=x,所以g(x)=e𝑥,则g'(x)=

𝑥2

𝑥(2-𝑥)e𝑥.

当x>2或x<0时,g'(x)<0;当00, 所以g(x)=

4.A ∵f(x)=e-(a-1)x+1,∴f'(x)=e-a+1,∵f(x)在(0,1)上不单调,

∴f'(x)在(0,1)上有变号零点,又∵f'(x)单调递增,∴f'(0)·f'(1)<0,即(1-a+1)(e-a+1)<0,解得2∴a的取值范围是(2,e+1).故选A.

5.A 由题意得f'(x)=3ax+2ax+7.a=0时,f'(x)=7>0,f(x)单调递增,无极值点;a≠0时,则

𝑥(𝑥)e𝑥的递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),故选B.

xxΔ=4a2-84a≤0,解得06.D 由f(x)=x+cosx,得f'(x)=1-sinx,所以对任意x∈R,f'(x)≥0恒成立,所以y=f(x)在x∈R上单调递增,又0.3>2D.

7.B f(x)=

-𝑥-1

-0.3

>log20.2,所以f(0.3)>f(2

-1-0.3

)>f(log20.2),所以c𝑥𝑥-sin𝑥𝑥,x∈[-π,0)∪(0,π],其定义域关于原点对称,因为

𝑥f(-x)=-𝑥-sin(-𝑥)=𝑥-sin𝑥=f(x),所以f(x)=𝑥-sin𝑥,x∈[-π,0)∪(0,π]为偶函数,其函数图

象关于y轴对称,所以排除A.易得f'(x)=

𝑥'(𝑥-sin𝑥)-(𝑥-sin𝑥)'𝑥(𝑥-sin𝑥)

𝑥cos𝑥-sin𝑥(𝑥-sin𝑥)

2.令

g(x)=xcosx-sinx,则g'(x)=-xsinx,所以当x∈(0,π]时,g'(x)≤0,所以g(x)=xcosx-sinx在x∈(0,π]上单调递减,所以g(x)8.B 设函数g(x)=

𝑥(𝑥)e𝑥𝑥𝑥-sin𝑥在(0,π]上单调递减,故排除C,D.故选B.

,则g'(x)=

𝑥 '(𝑥)e𝑥-𝑥(𝑥)e𝑥𝑥 '(𝑥)-𝑥(𝑥)

(e𝑥)

e𝑥,

因为f'(x)因为f(x+1)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(2)=1,所以f(0)=1,所以

g(0)=

𝑥(0)e0

=1,不等式f(x)x𝑥(𝑥)e𝑥<1,即g(x)0,即不等式f(x)x(0,+∞).故选B.

9.ABC 对于A,若y=x+ln2,则y'=2x,故A中结论错误;对于B,若y=(2x+1)=4x+4x+1,则

x2x2xy'=8x+4,故B中结论错误;对于C,若y=x2ex,则y'=2x·e+x·e=(x+2x)e,故C中结论错误;

对于D,若y=

ln𝑥1

𝑥,则y'=𝑥·𝑥-ln𝑥1-ln𝑥𝑥2

𝑥2

,故D中结论正确.故选ABC.

10.BC 根据题中图象可知,当x∈[-2,-1]时,f'(x)≤0,则f(x)在[-2,-1]上是减函数,故A错误;当x=-1时,f'(x)=0,当x∈(-2,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,2)时,f'(x)>0,故当x=-1时,f(x)取得极小值,故B正确;当x∈[-1,2]时,f'(x)≥0,故f(x)在[-1,2]上是增函数,当x∈[2,4]时,f'(x)≤0,故f(x)在[2,4]上是减函数,故C正确;当x=3时,f(x)不能取到极小值,故D错误.故选BC.

11. BCD 易知函数y=cosx,y=

cos5𝑥5

,y=

cos9𝑥9

的周期分别是2π,

2π2π5

,其最小公倍数为2π,

cos(-5

5π

所以f(x)的最小正周期为2π,故A中结论错误;因为 f(-2)=cos(-2)+所以函数f(x)的图象关于点(-π2

+cos(-9

9π)2

=0,,0)对称,故B中结论正确;f'(x)=-sinx-sin5x-sin9x=

5π2

f'(π-x),故C中结论正确; 易知当x=2时,f'(x)取得最小值,f'(2)=-sin2-sinsin 12.CD

9π2

=-3,故D中结论正确.故选BCD.

构

造

=函数

2g(x)=

𝑥(𝑥)-𝑥2

𝑥+1

,则

g'(x)=

[𝑥 '(𝑥)-2𝑥](𝑥+1)-[𝑥(𝑥)-𝑥2](𝑥+1)𝑥 '(𝑥)-𝑥(𝑥)-𝑥2-2𝑥(𝑥+1)

(𝑥+1)

因为(x+1)f'(x)-f(x)(𝑥+1)𝑥 '(𝑥)-𝑥(𝑥)-𝑥2-2𝑥(𝑥+1)

2<0在x∈(0,+∞)上恒成立,即g(x)在(0,+∞)上递减,

所以g(2)𝑥(2)-4𝑥(1)-13

,整理得2f(2)-3f(1)<5,故A错误; ,整理得f(3)-2f(1)<7,故C正确;

𝑥(3)-9𝑥(1)-14

若f(1)=2,x>1,则g(x)𝑥(𝑥)-𝑥2𝑥(1)-11

<2=2,整理得𝑥+1

f(x)11

若f(1)=2,0g(1)在(0,1)上恒成立,所以正确. 故选CD.

13.答案 x-y-1=0

𝑥(𝑥)-𝑥21

>,整理得𝑥+12

f(x)>x2+2x+2,故D

解析易得f'(x)=e+xe+2x,f(0)=-1,根据导数的几何意义可知曲线f(x)在点(0,-1)处的切线斜率为f'(0)=1,∴切线方程为y+1=x,即x-y-1=0.

14.答案 3

解析由题意得f'(x)=3x+2f'(0),令x=0,得f'(0)=2f'(0),则f'(0)=0, 则f(x)=x,所以f'(x)=3x,所以f'(1)=3.

15.答案 [8,+∞)

解析由题意知h'(x)=2x-𝑥,f(x)=2x-𝑥-5lnx-5ln2,g(x)=x-bx+4, ∴f'(x)=2+𝑥2-𝑥=

52𝑥2-5𝑥+2(𝑥-2)(2𝑥-1)

xx𝑥2

𝑥21

∴f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,2)上单调递减. 易知f(x)在区间(0,1]上的最大值为f()=-3,

2∃x1∈(0,1],∀x2∈[1,2],都有f(x1)≥g(x2)成立,

即f(x)在(0,1]上的最大值大于或等于g(x)在[1,2]上的最大值, 即{

16.答案 0或-√2e2+1;e

解析由k=-2e,得g(x)=f(x)+2ex,则当x≥1时,g(x)=f(x)-kx=lnx+2ex>0恒成立,所以不存在x0,使g(x0)=0;

当x<1时,g(x)=-x+x+2ex,因为g(x0)=0,所以-𝑥30+x0+2ex0=0,

𝑥(2)≥𝑥(1),

-3≥5-𝑥,

即{解得b≥8,即实数b的取值范围为[8,+∞). -3≥8-2𝑥,𝑥(2)≥𝑥(2),

解得x0=0或x0=-√1+2e2或x0=√1+2e2(舍去).

易知x=0为函数g(x)的一个零点.当x≠0时,令f(x)-kx=0,则k=

ln𝑥𝑥(𝑥)

. 𝑥即k={

-𝑥+1,𝑥<1且𝑥≠0.

2ln𝑥𝑥,𝑥≥1,

令φ(x)=

𝑥,x≥1,则φ'(x)=

1-ln𝑥𝑥2

,x≥1,

当x∈[1,e)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增, 当x∈(e,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,

所以当x=e时,函数φ(x)取得极大值,极大值为φ(e)=, e

ln𝑥1

作出直线y=k与函数y={

𝑥,𝑥≥1,

-𝑥+1,𝑥<1且𝑥≠0

的图象,如图所示,

ln𝑥要使函数g(x)恰好有4个零点,只需直线y=k与函数y={

𝑥,𝑥≥1,

-𝑥+1,𝑥<1且𝑥≠0

的图象有

3个不同的交点,由图可知,当k=时,满足条件.

𝑥综上,要使函数g(x)恰好有4个零点,则k=e.

17.解析 (1)由题意得f'(x)=x-2x+a, (1分) ∵当x=1+√2时,f(x)取得极值,∴f'(1+√2)=0, ∴(1+√2)-2(1+√2)+a=0, ∴a=-1,∴f'(x)=x-2x-1. (3分)

当x<1-√2时,f'(x)>0;当1-√21+√2时,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,1-√2)上单调递增,在(1-√2,1+√2)上单调递减,在(1+√2,+∞)上单调递增, ∴f(1+√2)是函数f(x)的极小值.

(2分)

(5分)

(2)由(1)知f(x)=3x-x-x,设f(x)=g(x),整理得3x-x-3x=b,

设F(x)=1

322

3x-x-3x,则F'(x)=x-2x-3, 令F'(x)=0,解得x=-1或x=3. (7分) 列表如下:

x -3 (-3,-1) -1 (-1,3) 3 (3,4) F'(x) + 0 - 0 + F(x)

-9

↗

极大值

↘

极小值

↗

易得F(-1)=5

3,F(3)=-9.

(9分)

∵函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点, ∴函数F(x)的图象与直线y=b有两个公共点, 结合图象(图略)可知-20

318.解析 (1)当a=1时,f(x)=lnx-(x-1),则f'(x)=1

1-𝑥𝑥-1=𝑥, (1分)

令f'(x)=0,得x=1, (2分)

∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, (3分)

∴f(x)在x=1处取得极大值,也是最大值, ∴f(x)max=f(1)=0. (4分)

(2)∵f(x)在区间(2,e)上存在零点,∴lnx-𝑥-1

𝑥=0在(2,e)上有解, (5分)

即a=𝑥-1

ln𝑥在(2,e)上有解. 令

g(x)=𝑥-1

ln𝑥,x∈(2,e),则

g'(x)=

ln𝑥-1+1

𝑥(ln𝑥)2,x∈(2,e), (6分)

设y=lnx-1+1

𝑥-1

>0,∴y>ln2-1+1

2𝑥,x∈(2,e),∴y'=𝑥-𝑥2=𝑥22=ln√e>0, (7分)

∴g'(x)>0,∴g(x)在(2,e)上单调递增, (9分) 即g(x)>g(2)=1

ln2,g(x)1ln2

,e-1). (12分)

19.解析 (1)易得f'(x)=2x-𝑥2𝑥2-2𝑥-𝑥𝑥-2=

𝑥(x>0). (1分)

由题意得f'(x)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,

即a≤2x2

-2x在x∈(0,+∞)上恒成立,而2x2

-2x=2(𝑥-121

2)-2≥-2,

(3分)

4 203

∴a≤-2. (4分)

(2)由题意知2x-2x-a=0在(0,+∞)内有2个不等实根x1,x2,则-2𝑥(𝑥1)

𝑥1

𝑥+

𝑥(𝑥2)𝑥2

=(𝑥1-

𝑥ln𝑥1

-2)𝑥1

+(𝑥2-

𝑥ln𝑥2

-2)𝑥2

=-3-a(

ln𝑥1

𝑥1

ln𝑥2

𝑥2

)=-3+2x1x2(

ln𝑥1

𝑥1

ln𝑥2

𝑥2

)=2x2lnx1+2x1lnx2-3=2(1-x1)lnx1+2x1ln(1-x1)-3, (7分)

令g(x)=(1-x)lnx+xln(1-x)(0<𝑥<),

2则g'(x)=-lnx+

1-𝑥𝑥+ln(1-x)-1-𝑥=ln(𝑥-1)+𝑥(1-𝑥), 𝑥11-2𝑥(9分)

显然𝑥-1>1,1-2x>0,x(1-x)>0,故g'(x)>0,则g(x)在(0,2)上单调递增, (10分) 所以g(x)𝑥(𝑥1)𝑥(𝑥2)

+的取值范围是(-∞,-2ln2-3). (12𝑥1𝑥2

分)

20.解析 (1)因为半球的半径与圆柱的底面半径都为rdm, 所以半球体积V1=πrdm,圆柱的体积V2=πrhdm.

因为V1+V2=18π,所以V2=πrh=18π-3πr, (2分) 所以h=

182𝑥2

𝑥223

. (3分)

(4分)

因为V1=πr<18π,所以r<3,因此0,定义域为{r|02

(2)易得半球的表面积S1=2πrdm,圆柱的侧面积S2=2πrhdm,圆柱的底面积S3=πrdm. (6分) 设

容

2𝑥3

器的总

2𝑥3

造

价

为

2𝑥3

y)a=

4π𝑥3

元

,则

y=3aS1+aS2+

S3=6πr2a+2πrha+

·πr=3πra+2πr(𝑥2-

(4𝑥2+𝑥)(02

令f(r)=4r+𝑥,则f'(r)=8r-𝑥2=

278𝑥3-27

𝑥2

令f'(r)=0,得r=3

(9分)

当0(0,3

2时,f'(r)<0,则f(r)在2)上为单调递减函数; 当3

20,则f(r)在(3

2,3)上为单调递增函数.

(11分)

因此当r=3

2时,f(r)取得极小值,也是最小值,为27,此时y有最小值36πa. 所以当容器的总造价最低时,圆柱的底面半径r为3

2dm. (12分)

21.解析 (1)易得f(x)的定义域为(0,+∞), (1分)

f'(x)=a-(lnx+1)=a-1-lnx.

(2分)

令f'(x)>0,解得0;令f'(x)<0,解得x>ea-1

, (3分)

所以f(x)的单调递增区间为(0,ea-1

),单调递减区间为(ea-1

,+∞). (4分) (2)证明:由(1)可知,f(x)的极大值为f(ea-1

)=aea-1

-ea-1

lnea-1

=ea-1

, 因为函数f(x)的极大值为1,所以ea-1

=1,所以a=1, (5分) 所以f(x)=x-xlnx,所以f'(x)=1-lnx-1=-lnx, 当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减, 因为1f(m), (7分) 所以

g(n)-f(n)=2𝑥𝑥2-1

𝑥2+1-(n-nlnn)=n(ln𝑥-𝑥2+1),

(8分)

设φ(n)=lnn-𝑥2-1

𝑥2+1

,n>1, 则φ'(n)=

(𝑥2-1)

2𝑥(𝑥2+1)

>0,

所以φ(n)在(1,+∞)上单调递增,所以φ(n)>φ(1)=0, (10分)

所以lnn-𝑥2-1

𝑥2+1>0,所以g(n)>f(n). 又f(n)>f(m),所以f(m)22.解析 (1)由题意可得f(x)的定义域为R,f'(x)=m-ex. 当m≤0时,f'(x)<0恒成立, 则f(x)在R上单调递减,f(x)无极值. (2分)

当m>0时,令f'(x)=0,解得x=lnm,

当x∈(lnm,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(-∞,lnm)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, (3分)

∴f(x)在x=lnm处取得极大值,极大值为f(lnm)=mlnm-m+3,无极小值,

综上所述,当m≤0时,f(x)无极值,当m>0时,f(x)的极大值为mlnm-m+3,无极小值. (5分) (2)把{

𝑥=0,𝑥(𝑥)=𝑥𝑥-e𝑥+3

代入(x-a)[f(x)-2]0, ∴ex-1>0, ∴a-x<𝑥+2

e𝑥-1, ∴a<𝑥+2

e𝑥-1+x,x>0(*). (7分) 令g(x)=𝑥+2

e𝑥-1+x,则g'(x)=e𝑥(e𝑥-𝑥-3)(e𝑥-1)

2. (8分)

设h(x)=ex-x-3.

由(1)可知,当m=1时,f(x)=-ex+x+3在(0,+∞)上单调递减, ∴函数h(x)=ex-x-3在(0,+∞)上单调递增,又{

𝑥(1)<0,

𝑥(2)>0,

(9分)

∴h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点x0,且x0∈(1,2). ∴g'(x)在(0,+∞)上也存在唯一的零点,且为x0. 当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0, ∴g(x)min=g(x0). (10分) 由g'(x0)=0得e𝑥0=x0+3, ∴g(x0)=x0+1,

∴g(x0)∈(2,3), (11分) 由(*)式可知,a(12分)

期中学业水平检测

1.D 直线y=3

2x的方程可化为6x-4y=0,

所以两条平行直线间的距离d=5=5√132

-4)

√6+(故选D.

2.A 由题意可得1×(2m-15)+m×3=0,解得m=3. 故选A.

3.D 依题意可知直线过圆心(1,-2),即3+4a-11=0,解得a=2. 故(2,-2)=(1,-1).

圆C的方程可化为(x-1)+(y+2)=5,易得点(1,-1)与圆心的距离为1,故所求弦的长度为2

𝑥𝑥2√5-1=4. 故选D.

4.A 设此抛物线方程为y2=2px(p>0), ∵灯口直径是20cm,灯深10cm, ∴点(10,10)在抛物线y2

=2px(p>0)上, ∴100=2p×10,∴p=5. ∴𝑥2=2.5.

∴光源到反射镜顶点的距离为2.5cm. 故选A.

5.A 已知O为原点,OP=1,

所以点P的轨迹为圆,其方程为x2

+y2

=1, 又M(1√34,-4),

所以OM2

=(1

-0)

+(-√314-0)=4

,即

OM=1

2, 所以点M在圆内,则有PM≥1-OM=1, 线段PM的长的最小值为12

. 故选A.

6.B 双曲线

𝑥2𝑥2-𝑥2

𝑥2

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±𝑥1𝑥𝑥x,故P(2,±2𝑥),

设F11(-c,0),F2(c,0),则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥1=(-𝑥-2

,∓𝑥2𝑥),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥2=(𝑥-1𝑥2,∓2𝑥). 因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥1·⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥2=0,

所以-(𝑥+11

𝑥2

2)(𝑥-2)+4𝑥2=0,即4ac-a=b2

=c2

-a2

所以4a2c2-c2

=0, 因为c2

≠0,所以4a2

-1=0,

因为a>0,所以a=1

2. 故选B.

7.D 不妨设点P在x轴上方,如图所示:

将x=-c代入

𝑥2𝑥2

𝑥2+𝑥2

=1, 解得y=±𝑥2

𝑥2

𝑥,所以P(-𝑥,

𝑥), 因为∠F𝑥1PF2=60°,所以tan60°=1𝑥2𝑥𝑥=2𝑥2=√3, 1𝑥𝑥所以2ac=√3b2

, 即2ac=√3(a2

-c2), 所以√3e2

+2e-√3=0, 解得e=√3√33(e=-√3舍去),所以该椭圆的离心率是3. 故选D.

8.B 如图所示:

由题意可知A(0,-2),设B(x0,y0)(x0>0,y0≠-2), 则B点的坐标满足

𝑥20𝑥2

=1,

∴𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x0,y0+2).

∵𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1

4𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1

4𝑥0,4𝑥0+2), ∴P(1

4𝑥0,4𝑥0-2),∴𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1

4𝑥0,4𝑥0-6). ∵直线AB与圆M相切于P点,

∴𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,

∴1

)·(y1

0+2)=0,即224x0·x0+(4𝑥0-64𝑥0+4𝑥0-3y0-3=0, 将

𝑥20+

𝑥2

=1代入上式可得

𝑥20+24

y0+1

=0.

解得y20=-3

或y0=-2(舍去), ∴B(8

3,-3),P(3,-3), ∴AB=√(8

24√53-0)+[-3-(-2)]=

,BP=3

4AB=√5,

MP=√(22

3)+[-51

22√53-(-3)]=

又∵∠BPM=90°,

2√5∴tan∠ABM=𝑥𝑥32𝑥𝑥=√5=3.

故选B.

9.BC 选项A,由点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3, 可得

|6+4+𝑥|

=3,解得c=5或c=-25,

则“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充分不必要条件, 故选项A错误;

选项B,直线xsinα-y+1=0的斜率k=sinα∈[-1,1], 设直线的倾斜角为θ,则0≤tanθ≤1或-1≤tanθ<0, ∴θ∈[0,π

4]∪[

3π4

,π),故选项B正确;

选项C,直线y=-2x+5的方程可化为2x+y-5=0, 易知其与直线2x+y+1=0平行,

又圆x2

+y2

=5的圆心O(0,0)到直线2x+y-5=0的距离d=|-5|√4+1=√5, 所以直线2x+y-5=0与圆x2

+y2

=5相切,故选项C正确; 选项D,离心率为𝑥𝑥=√3,则𝑥𝑥=√2, 若此双曲线的焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±√2x, 若此双曲线的焦点在y轴上,则其渐近线方程为y=±√22x, 故选项D错误.

故选BC.

10.ACD 对于选项A,点M到抛物线的准线x=-1的距离为(AF+BF)=AB,于是以线段AB为直

径的圆与直线x=-1一定相切,进而与直线x=-2一定相离,故A正确. 对于选项B,显然线段BM中点的横坐标与2BM不一定相等,故B错误.

对于选项C,D,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+1,联立直线与抛物线方程,可得

y2-4my-4=0,则y1y2=-4,所以x1x2=1,若设A(4a2,4a)(a≠0),则B(4𝑥2,-𝑥),于是AB=x1+x2+p=4a2+4𝑥2+2≥2+2=4(当且仅当4a2=4𝑥2,即a2=4时,等号成立),故AB的最小值为4;

当𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时,y1=-2y2,

即4a=-2(-𝑥),所以a=2,则AB=2,故C、D均正确.

111

119

故选ACD.

11.AD 设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B,与F1F2切于点M,则

PA=PB,F1A=F1M,F2B=F2M.

又点P在双曲线的右支上,所以PF1-PF2=2a, 故F1M-F2M=2a,

设点M的坐标为(x,0),可得(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a, 故内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴,故A、D正确,B错误.

因为直线OP与△PF1F2的边F1F2上的中线重合,所以△PF1F2的内切圆的圆心不一定在直线OP上,故选AD.

22212.BD 由题意可得𝑥21-𝑥1=𝑥2+𝑥2,所以A错误;

可设P是第一象限的点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,PF1=m,PF2=n, 由椭圆及双曲线的定义可得m+n=2a1,m-n=2a2,

222解得m=a1+a2,n=a1-a2,又𝑥21-𝑥1=𝑥2+𝑥2=c,且∠F1PF2=3,

所以在△F1PF2中,由余弦定理可得

𝑥𝑥12+𝑥𝑥22-𝑥1𝑥22𝑥2+𝑥2-4𝑥21

cos∠F1PF2=2𝑥𝑥·𝑥𝑥=2𝑥𝑥=2, 12

222222

即𝑥21+3𝑥2=4c,则𝑥1-3𝑥2=𝑥1-c-(3c-3𝑥2)=0,即𝑥1=3b2,故B正确;

𝑥21322213𝑥2

由𝑥1+3𝑥2=4c,可得𝑥2+𝑥2=4,即4𝑥2+4𝑥2=1,故

C错误;

)≥×(4+2√3)=1+,当且仅当𝑥22=√3𝑥1

√32222

𝑥21+𝑥2=(2+2)(𝑥1+𝑥2)=(1+3+2+

1131

𝑥2

3𝑥21

24𝑥1

𝑥2

4𝑥1

𝑥2

42时取得等号,故𝑥22√31+𝑥2的最小值为1+2

,故D正确.

故选BD.

13.答案 x+y+1=0

解析倾斜角为135°的直线的斜率为tan135°=-1. 所以该直线的方程为y=-x-1,即x+y+1=0.

14.答案 x=2或3x-4y+2=0

解析圆C:(x-1)2

+y2

=1的圆心为C(1,0),半径为1, 当过点P(2,2)的直线垂直于x轴时, 直线的斜率不存在,其方程是x=2, ∵圆心C(1,0)到直线x=2的距离d=1=r, ∴直线x=2符合题意;

当过点P(2,2)的直线不垂直于x轴时, 设直线方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0. 由题意可知点C(1,0)到直线kx-y-2k+2=0的距离d'=|𝑥-2𝑥+2|√𝑥2+1=1,解得k=3

此时直线方程为3x-4y+2=0. ∴切线方程为x=2或3x-4y+2=0. 15.答案 𝑥2+

𝑥23

解析易得圆的方程为x2

+y2

=b2

,因为圆与直线y=x+2相切, 所以2=b,则b=2√12+(-1)2

√2=√2, 𝑥2=(√2)2

所以{+𝑥2,𝑥=

𝑥√3所以a=√3,故椭圆的标准方程为

𝑥2𝑥23

=1.

𝑥=

16.答案 4π;

5√2-32

解析设D(x,y),当点D在圆C2内时,由题意得1-√(𝑥-4)+(𝑥-2)=,化简得(x-4)+(y-2)=4,即点D的轨迹为以(4,2)为圆心,2为半径的圆,其周长为2π×2=π.

122229

当点D在圆C2外时,由题意得√(𝑥-4)+(𝑥-2)-1=,化简得(x-4)+(y-2)=,即点D的轨

111

迹为以(4,2)为圆心,3为半径的圆,其周长为2π×3

=3π.

故所求轨迹的长度为4π. 设B(x,y),则OB=√𝑥2+𝑥2,故OA=2√𝑥2+𝑥2, 所以A(2𝑥𝑥2𝑥2𝑥√𝑥2+𝑥2×√𝑥2+𝑥,22√𝑥2+𝑥2×√𝑥2+𝑥2),即A(𝑥2+𝑥2,𝑥2+𝑥2), 因为点A在圆C2𝑥-1)2

+(2𝑥2

1上,所以(𝑥2+𝑥2𝑥2+𝑥2-1)=2, 整理得x+y-1=0,故点B的轨迹为直线,其方程为x+y-1=0. 当点D的轨迹为以(4,2)为圆心,1

2为半径的圆时,

C2到直线x+y-1=0的距离为|4+2-1|5√2√2=2

, 此时BD的最小值为

5√2-15√2-12

当点D的轨迹为以(4,2)为圆心,3

同理可得,此时BD的最小值为5√2-32为半径的圆时,2

因为5√2-1>

5√2-3-32

,所以BD的最小值为

5√22

17.解析 (1)圆C的圆心为C(3,4),半径r=2, ∵直线l被圆C截得的弦长为2√3, 2∴圆心C到直线l的距离d=√22-(2√32

)=1. (2分)

①当直线l的斜率不存在时,l:x=2,显然满足d=1;

②当直线l的斜率存在时,设l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0. 由圆心C到直线l的距离d=1得|𝑥-1|√𝑥2+1=1,解得k=0,故l:y=3.

综上所述,直线l的方程为x=2或y=3. (5分)

(2)由题意可知直线l的斜率一定存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),

|2𝑥-4|即kx-y-k=0,则圆心C到直线l的距离d'=√𝑥2+1, 又∵△CPQ的面积S=12222√-(𝑥'2

-2)2

2×d'×2√4-𝑥'=d'√4-𝑥'=√𝑥'(4-𝑥')=+4,

∴当d'=√2时,S取得最大值2, (8分) 由d'=|2𝑥-4|√𝑥2+1=√2,得k=1或k=7,

∴直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0. (10分) 18.解析 (1)由已知得a2

=12,b2

=4,故c=√𝑥2+𝑥2=4,

所以F1(-4,0)、F2(4,0), (2分)

因为曲线C是以F2为圆心且过原点的圆,所以此圆圆心为(4,0),半径为4, 所以曲线C的方程为(x-4)2

+y2

=16. (4分)

(2)设点M(x,y),P(x0,y0),则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥1𝑥=(x+4,y),𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x0-x,y0-y), 由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥1𝑥=𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x+4,y)=(x0-x,y0-y), (6分) 即{

𝑥+4=𝑥𝑥=2𝑥+4,𝑥0-𝑥,

=𝑥,解得{0𝑥

0-𝑥0=2𝑥,

(9分)

因为点P在曲线C上,所以(𝑥2

0-4)+𝑥20=16, 即(2x+4-4)2

+(2y)2

=16,化简得x2

+y2

=4. 所以点M的轨迹方程为x2

+y2

=4. (12分)

19.解析 (1)建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,2a),B(0,a),设M(x,y), 由题意得,若狼能吃掉兔子,则𝑥𝑥≤𝑥𝑥2𝑥2𝑥,整理得x+(𝑥-

2𝑥)23

≤

4𝑥29

, (3分)

所以点M在以(0,2𝑥3

)为圆心,

2𝑥3

为半径的圆上及其内部,

所以S(a)=

4π𝑥2

. (6分)

(2)由题意可知直线AD的斜率存在且不为0,故可设lAD:y=kx+2a(k≠0), 兔子要想不被狼吃掉,则需|2𝑥-2𝑥3|2𝑥√𝑥2+1>3

, (8分)

解得k∈(-√3,0)∪(0,√3),

可得0<∠ADC<3,所以θ∈(6,2). (12分)

20.解析 (1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2),所以可设圆心的坐标为(m,2)(m>0), πππ

则圆C的半径为m,又MN=3, 所以m2

=4+(3225

2)=4, (2分)

解得m=5

2(负值舍去),

所以圆C的方程为(𝑥-52

2)+(y-2)=4.

(4分)

(2)证明:令y=0,得(𝑥-5292)=4, 解得x=1或x=4, (6分) 所以M(1,0),N(4,0).

当直线AB的斜率为0时,易知kAN=kBN=0, 即kAN+kBN=0,为定值. (7分)

当直线AB的斜率不为0时,设直线AB:x=1+ty, 联立{

𝑥=1+𝑥𝑥,𝑥2+𝑥2-4=0,

整理得(t2

+1)y2

+2ty-3=0. (8分) 设A(x1,y1),B(x2,y2), 2𝑥所以{

𝑥1+𝑥2=-𝑥2+1,𝑥-3

(9分)

1𝑥2=𝑥2+1,

则k𝑥1

𝑥2

𝑥𝑥AN+kBN=𝑥1

-4+𝑥-4=12

𝑥𝑥1

-3+𝑥𝑥 2

-3

2𝑥𝑥𝑥6𝑥1𝑥2-3(𝑥1+𝑥2)-

6𝑥2+1+

𝑥2+1(𝑥𝑥1-3)(𝑥𝑥2-3)

(𝑥𝑥=0,为定值.

1-3)(𝑥𝑥2-3)

综上可知,kAN+kBN=0,为定值. (12分)

21.解析 (1)∵椭圆的离心率为√2𝑥√22

,∴𝑥=2. ∵直线𝑥𝑥22

1𝑥+𝑥=1与圆x+y=2相切,∴1=√2. √1𝑥2+𝑥2又∵c2

+b2

=a2

,∴a2

=6,b2

=3. ∴椭圆C的标准方程为

𝑥2+𝑥26

=1. (4分)

(2)①当直线l的斜率不存在时,

分)

(2设直线l的方程为x=n(-√6=2

∴S△ABO=|n|×√3(1-𝑥26

√105×√142√7√5=5. (6分)

②当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m(m≠0),

A(x1,y1),B(x2,y2).

𝑥=𝑥𝑥+𝑥,

联立{𝑥2

𝑥2得(2k2+1)x2+4kmx+2m2

-6=0,

=1,

消去y,∴Δ=16k2m2

-8(2k2

+1)(m2

-3)=8(6k2

-m2

+3)>0,即6k2

-m2

+3>0. ∴x4𝑥𝑥2𝑥2-6

1+x2=-2𝑥2+1,x1x2=2𝑥2+1.

∴线段AB的中点M(-2𝑥𝑥𝑥2𝑥2+1,2𝑥2+1). (8分) 当k=0时,M(0,m),∵OP=√15OM, ∴√3=√15|m|,∴m2

5, ∴S△ABO=|m|×√6(1-𝑥23

2√75

. (9分)

当k≠0时,射线OM所在的直线方程为y=-1

2𝑥x. 𝑥=-1

联立{2𝑥𝑥,

𝑥2

得𝑥212𝑥2

𝑥=2𝑥2+1,𝑥𝑥=2𝑥2+1.

𝑥2消去y,2

=1,

∴𝑥𝑥|𝑥𝑥|𝑥𝑥=|𝑥|=√𝑥21𝑥3(2𝑥2+1)=√15.

∴5m2

=2k2

+1.经检验满足Δ>0. (10分) 设点O到直线l的距离为d,则d=|𝑥|√𝑥2+1.

∴S1

2△ABO=2d×√𝑥2+1|x1-x2|=√2|𝑥|√6𝑥2+3-𝑥2𝑥2+1=√2|𝑥|√14𝑥25𝑥2

=2√75.综上,△ABO的面积为

2√75

. (12分)

22.解析 (1)因为曲线C3

2过点P(1,2),所以代入得p=8,

所以曲线C2

2的方程为y=4x.

(1分)

由题意得 1𝑥2+4𝑥2

=1,𝑥2 𝑥1所以{=4,

𝑥=2,

𝑥2=3,

{𝑥2

=𝑥2+𝑥2,则曲线C1的方程为

𝑥2+𝑥24

=1. (2分)

(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),

由题意,设直线l3

1的方程为y=k(x-1)+2. 𝑥=𝑥(𝑥-1)+3

联立{222𝑥2

𝑥2得(4k+3)x+4k(3-2k)x+4k2

-12k-3=0,

=1,所以x4𝑥2-12𝑥-31=

4𝑥2+3

联立{

𝑥=𝑥(𝑥-1)+2,22

9𝑥2=9

得kx+[𝑥(3-2𝑥)-4]x+k2

-3k+9

4=0, 4𝑥,

所以x4𝑥2-12𝑥+9

2=4𝑥2, (4分)

因为PB=3PA,所以√(𝑥232

1)2

+(𝑥32

2-1)+(𝑥2-2)=3√(𝑥1-1-2), 则√1+𝑥2(x-12𝑥+9-12𝑥-6

2-1)=3√1+𝑥2(x1-1),即4𝑥2=3·4𝑥2+3, (6分)

化简得(2k+3)(16k2

-6k+3)=0,且k<-1

, 解得k=-3

2,所以直线l1的方程为3x+2y-6=0, (7分) ②设C(x3,y3),D(x4,y4).

因为直线l2与直线l3

1的倾斜角互补,所以直线l2的方程为y=-k(x-1)+2.

同理可得x2+12𝑥+9

4𝑥4𝑥2

,x4𝑥2+12𝑥-34=

4𝑥2+3

,PC=√1+𝑥2·

-12𝑥-94𝑥2

,PD=√1+𝑥2·6-12𝑥4𝑥2+3,

又因为PC>0,所以k<-3

(9分)

因为𝑥1𝑥𝑥·𝑥𝑥·sin∠𝑥∈(1,322111),所以2𝑥𝑥𝑥1∈(1,3

𝑥𝑥·𝑥𝑥·sin∠𝑥𝑥𝑥2111), 即𝑥𝑥·𝑥𝑥13

𝑥𝑥·𝑥𝑥∈(21,11),

所以(2𝑥+1)(4𝑥+3)

(2𝑥-1)(4𝑥-3)∈(21,11),所以k∈(-2,-1)∪(-8,-16). (11分) 又因为k<-3

所以k∈(-2,-1). (12分)

期末学业水平检测

1.D 将直线方程化为斜截式得y=-x-,所以斜率为-.故选D.

2.A 设该等比数列的公比为q,则x=q>0,由题意知x=16, ∴x=4.故选A.

3.D y'=1-2x.当x=1时,y'=1-2=-1.所以曲线y=x-x在点(1,0)处的切线方程为

√33√33√33

y=-1×(x-1),即x+y-1=0.故选D.

4.C 圆C1:(x+1)+(y+2)=4,圆心 C1(-1,-2),半径r1=2;圆C2:(x-2)+(y-2)=9,圆心C2(2,2),半径r2=3.

圆心距C1C2=√(-1-2)+(-2-2)=5.∵C1C2=r1+r2,∴两圆外切,有3条公切线.故选C.

5.A 设只能堆放n层,则从最上层往下,每层铅笔数组成首项为1,公差为1的等差数列,且余下的铅笔数小于n+1,于是数为100-

6.B ∵A(2,2)在抛物线y=2px上,∴4=4p,∴p=1,

∴抛物线为y=2x.由题意知直线AB,AC的斜率存在.设过点A的切线斜率为k,∴切线方程为

𝑥(𝑥+1)

≤100,且100-

𝑥(𝑥+1)

*13×142

=9.故选A.

y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,∵点(2,0)到切线的距离为1,

∴2√1+𝑥2=1,∴k=√3或k=-√3.

则切线方程为y-2=±√3(x-2). 设B(x1,y1),C(x2,y2). 联立{

𝑥-2=√3𝑥-2√3,消去x得y2-2√3y+4√3-4=0, 33𝑥2=2𝑥,

2√33

由y1+2=∴B(

,得y1=

2√3-63

,∴x1=

8-4√33

, 8-4√33

,),

100

同理,C(

8+4√33

-2√3-63

),∴kBC=-2, 2√3+63

∴直线BC的方程为y+

=-2(𝑥-

18+4√33

),即3x+6y+4=0.

7.A 连接F2Q,易知PF2=F1F2=2c,则PF1=2a-2c.因为2PF1=3F1Q, 所以F1Q=3(a-c),F2Q=3a+3c. 在△PF1F2中,cos∠PF1F2=在△QF1F2中,cos∠QF1F2=

(2𝑥-2𝑥)+4𝑥2-4𝑥2𝑥-𝑥1-𝑥4𝑥(2𝑥-2𝑥)

424

2𝑥=

2𝑥. .

(𝑥-𝑥)+4𝑥2-(𝑥+𝑥)

因为cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0,所以解得e=5或e=1(舍去).故选A.

21244

+𝑥2-𝑥3333

4424×(𝑥𝑥-𝑥)(𝑥-𝑥2)33

124

𝑥-13+𝑥-3𝑥2

422𝑥(𝑥-𝑥)3

==,即5e-8e+3=0,

8.A 构造函数g(x)=xf(x)+1,其中x≠0,则g'(x)=f(x)+xf'(x). 当x≠0时,f'(x)+

𝑥(𝑥)𝑥𝑥 '(𝑥)+𝑥(𝑥)

=>0.当x<0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)<0,此时函数y=g(x)𝑥𝑥单调递减,则g(x)>g(0)=1;当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,此时函数y=g(x)单调递增,则

g(x)>g(0)=1.所以当x<0时,F(x)=f(x)+𝑥=

1𝑥𝑥(𝑥)+1

𝑥<0;当x>0时,F(x)=f(x)+=

𝑥1𝑥𝑥(𝑥)+1

𝑥>0.综上所述,函数F(x)的零点个数为0.故选A.

9.ACD 由2x-y=8,得

𝑥2𝑥24

=1,所以a=4,b=8,所以a=2,b=2√2,c=2√3,所以离心率

e=𝑥=

𝑥2√32

=√3,实轴长2a=4,虚轴长2b=4√2,顶点坐标为(±2,0).故选ACD.

10.ABC 由S6=S12,得S12-S6=a7+a8+a9+a10+a11+a12=0,即3(a9+a10)=0,即a9+a10=0.由a9+a10=0,得2a1+17d=0,所以a1∶d=-17∶2,故A正确.S18=

18(𝑥1+𝑥18)

18(𝑥9+𝑥10)

=0,故B正

确.a6+a14=a9+a11=a9+a10+d=d,若d>0,则a6+a14=d>0,故C正确.当d<0时,a6+a14=d<0,则a6<-a14,

101

因为d<0,所以a6>0,a14<0,所以|a6|<|a14|,故D不正确.故选ABC.

11.BC 方程x=√1-𝑥2可化为x+y=1(x≥0),表示圆x+y=1的右半部分. 当直线y=x+b过点A(0,1)时,b=1;当直线y=x+b过点B(0,-1)时,b=-1; 当直线y=x+b与半圆相切于点C时,由圆心到直线y=x+b的距离等于半径, 可得|0-0+𝑥|√22

=1,解得b=-√2或b=√2(舍).

由图可知,直线y=x+b与曲线x=√1-𝑥2恰有一个公共点时,-1f(x+2π)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,A

2π3

正或0

确;f'(x)=2cos2x-2cosx=2(cosx-1)(2cosx+1),当x∈[-π,π]时,令f'(x)=0,得x=-或

2π3

,所以f(x)在(-π,-)=

5√32

2π3

),(

2π3

,π)上单调递增,在(-

2π3

)上单调递减,又

f(-

2π3

,f(π)=√3,f(

2π3

)=-2,f(-π)=√3,所以函数f(x)在[-π,π]上有2个零点,故B

√3错误;由于f(2π-x)=√3-2sin(2π-x)+sin[2(2π-x)]=√3+2sinx-sin2x,所以

f(2π-x)+f(x)=2√3,所以函数f(x)的图象关于(π,√3)对称,C正确;由B选项可知,f(x)的

最大值为

13.答案 3或-4

解析 ∵直线l1:2x-y+a=0与l2:-4x+2y+1=0,l1与l2间的距离是10, ∴

14.答案 (0,1)

解析 f'(x)=k-𝑥.因为x∈(1,+∞),所以𝑥∈(0,1).当k≥1时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,不符合;当k≤0时,f'(x)<0恒成立,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,

102

|1+2𝑥|7√5√16+47√55√32

,D正确.故选ACD.

=10,解得a=3或a=-4.

不符合;

当00,所以f(x)在(1,𝑥)上单调递减,在(𝑥,+∞)上单调递增,符合题意.综上,k∈(0,1).

15.答案 1.44

解析建立如图所示的直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,焦点

F在x轴上.

设抛物线的标准方程为y=2px(p>0),由已知条件可得,点A(1,2.4)在抛物线上,所以2p=2.4,解得p=2.88.

所以抛物线的标准方程为y=5.76x,焦点坐标为(1.44,0). 所以抛物线的焦点到顶点的距离为1.44m.

16.答案 34;1347 解析由题意可得{Fn}={1,1,2,3,5,8,13,21,34,…},所以

F9=34.数列

{an}={1,1,0,1,1,0,1,1,0,……},所以数列{an}是一个周期为3的周期数列.2020÷3=673……1,所以数列{an}的前2020项和为2×673+1=1347.

17.证明 (1)选条件①:当n=1时,S1=a1=3, (1分) 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=

3𝑥+1-33𝑥-32

=3, (3分)

n*n经检验,a1=3符合此式,所以an=3,n∈N. (4分) 又

𝑥𝑥+1

=3, 所以数列{an}是以𝑥𝑥3为首项,3为公比的等比数列. (5分)

选条件②:当n=1时,2S1=a2-3,即a2=2a1+3=9, (1分)

2𝑥=𝑥𝑥+1-3,

当n≥2时,由{𝑥得2an=an+1-an,即an+1=3an. (3分)

2𝑥𝑥-1=𝑥𝑥-3,又a2=3a1,所以

𝑥𝑥+1*=3,n∈N. 𝑥𝑥103

所以数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列. (5分) (2)由(1)得bn=n. (6分)

所以T1

11111

n=1×2+2×3+3×4+…+𝑥(𝑥+1)=1-2+2-3+3-4+…+𝑥-𝑥+1 =1-1

𝑥+1

. (9分)

所以Tn<1. (10分)

18.解析 (1)将(0,4)代入C的方程得16

𝑥2=1,∴b=4.

(2分)

∵e=𝑥3𝑥2-𝑥29

169

𝑥=5,∴𝑥2=25,即

1-𝑥2=25,∴a=5. (4分) ∴C的标准方程为

𝑥2+

𝑥225

=1. (5分)

(2)易知过点(3,0)且斜率为4的直线方程为y=45

(x-3). (6分) 设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 𝑥=4

3),

联立{5(𝑥-2

𝑥2

)

𝑥2得x-3x-8=0,∴x1+x2=3,y1+y2=-5, (9分16

=1,

∴

𝑥1+𝑥23𝑥1+𝑥2

=2,2

=-5, (11分)

∴所求中点坐标为(3

-6

2,5). (12分)

19.解析 (1)f'(x)=1-1𝑥𝑥+1=𝑥+1,x>-1. (1分)

令f'(x)=0,得x=0.当-10时,f'(x)>0. (3分) 所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (4分) (2)证明:当x∈[2,+∞)时,要证𝑥(𝑥)

𝑥(𝑥-1)>2,即证g(x)-2x(x-1)>0. (5分) 令h(x)=g(x)-2x(x-1)=ex-1-2x(x-1), 则h'(x)=ex-4x+2.

(6分)

令I(x)=h'(x)=ex-4x+2, 则I'(x)=ex-4≥e2

-4>0,

所以I(x)=h'(x)在[2,+∞)上单调递增. (8分) 所以h'(x)≥h'(2)=e2

-6>0, 所以h(x)在[2,+∞)上单调递增,

(10分)

所以h(x)≥h(2)=e2

-1-2×2=e2

-5>0恒成立.

104

所以当x∈[2,+∞)时,𝑥(𝑥)

𝑥(𝑥-1)>2.

(12分)

20.解析 (1)当02

3x+4x-5,

∴p(5)=-252020

3+20-5=3,即当每月生产5万件口罩时,利润为3万元. (3分) (2)当02

3(x-6)+7,

∴当x=6时,p(x)取得最大值,最大为p(6)=7万元. (5分)

当x≥7时,p(x)=12-lnx-e3

e3e3-𝑥𝑥,p'(x)=-𝑥+𝑥2=𝑥2

令p'(x)=0,解得x=e3

. (8分) ∴当7≤x时,函数p(x)单调递增; 当x≥e3

时,函数p(x)单调递减.

∴当x=e3

时,p(x)取得最大值,最大为p(e3

)=12-lne3

-1=8万元. (10分) ∵8>7,∴当x=e3

时,p(x)取得最大值.

故当月产量为e3万件时,生产的口罩所获月利润最大,最大月利润为8万元. (12分) 21.解析 (1)易得F(0,𝑥𝑥2).设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为y=kx+2,k∈R.

联立{𝑥2=2𝑥𝑥,2p2

𝑥=𝑥𝑥+𝑥,得x-2pkx-=0,

∴x2

1+x2=2pk,x1x2=-p, (2分)

∴两平行光线间的距离d=|x1-x2|=√4𝑥2𝑥2+4𝑥2≥2p, (4分)

∴2p=8,∴抛物线C的方程为x2

=8y. (5分) (2)设A(xA,yA),B(xB,yB),AB的中点M(x0,y0).

联立{𝑥2=8𝑥,2

𝑥=𝑥+𝑥,

得x-8x-8m=0,令Δ>0,得m>-2.

∴x0=

𝑥𝑥+𝑥𝑥2

=4,y0=4+m. (7分)

易知MT⊥AB, 49∴k4+𝑥-MT·kAB=-1,即

4-3

×1=-1,解得m=9

, (9分)

∴xAxB=-9,又xA+xB=2x0=8,

∴AB=√1+12|x2

A-xB|=√2·√(𝑥𝑥+𝑥𝑥)-4𝑥𝑥𝑥𝑥=10√2.

(12分)

22.解析 (1)当5≤t<20时,不妨设P(t)=1000-k(20-t)2

, 由P(5)=100,解得k=4.

(2分)

105

1000-4(20-𝑥)2

因此P(t)={,5≤𝑥<20,𝑥∈N*

,1000,20≤𝑥≤25,𝑥∈N*.

(4分) (2)设y(t)=

𝑥(𝑥)

𝑥. ①当5≤t<20,t∈N*时,Q(t)=𝑥24P(t)-40t+650t-2000=-t3

+500t-2000, 因此y(t)=

𝑥(𝑥)𝑥=-t2-2000*𝑥+500,5≤t<20,t∈N, (5分)

y'(t)=-2t+2000-2(𝑥3-1000)

𝑥2=

𝑥2

当5≤t<10,t∈N*时,y'(t)>0,y(t)单调递增; 当10②当20≤t≤25,t∈N*时,Q(t)=-40t2

+900t-2000, 因此y(t)=

𝑥(𝑥)𝑥=900-40(𝑥+50𝑥),20≤t≤25,t∈N*. (8分)

易得y'(t)=

-40(𝑥2-50)

𝑥2

<0,所以y(t)单调递减,

所以y(t)max=y(20)=0. (10分)

综上,当发车时间间隔为10分钟时,单位时间的净收益𝑥(𝑥)

𝑥最大.(12分)

106

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