高中数学学习材料
唐玲出品
2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（一）
文科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束
后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．． 3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要
求的一项。
1、设集合M＝{x|x2－2x<0}，N＝{x|y＝lg(4－x2)}，则( )
A．M∪N＝M B．(∁RM)∩N＝R C．(∁RM)∩N＝∅ D．M∩N＝M
3π5π
2、若θ∈(4，4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )
1
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x C．f(x)＝ln x＋2x－6 D．f(x)＝sin x
lg|x|
4、函数y＝x的图象大致是 ( )
5、、等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则 ( )
A．a1＝1 B．a3＝1 C．a4＝1 D．a5＝1
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6、已知f(x)＝sin x＋3cos x (x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是 ( )
ππππA.2 B.3 C.4 D.6
7、若|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a，b的夹角为 ( )
A．45° B．60° C．120° D．135° 8、设不等式组0x2,，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，
0y2则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( ) （A）
4 （B）
22 （C）
6 （D）
4 415D.8
→→
9、在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则AE·AF＝( ) ． 5A.3
5
B.4
10
C.9
10若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取
值范围是 ( )．
3333333A.－， B.－，0∪0， C.－， D.－∞，－∪
33333333
，＋∞ 3
11、设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于 ( )
132123A.2或2 B.3或2 C.2或2 D.3或2 12、已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取
值范围是
( )．
3
A.－2，3
3
B.2，6 C．[3,12]
3
D.－2，12
第Ⅱ卷 注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上．．．．．作答无效。 ．．．．
3.第Ⅱ卷共10小题，共90分。
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
113、在ABC中，a1，b2，cosC，则sinA . 414、某顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，
每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 工作日.
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工序 时间 粗加工 精加工 原料 9 15 原料A 6 原料B 21 15、已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C 的准线上一点，则△ABP的面积为___________． 16、定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
log2(1x),x0，则f(2 016)的值为__________．
f(x1)f(x2),x0三、解答题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17、（本小题满分12分）已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an) (n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列．
(1)设a为常数，求证：{an}成等比数列；
(2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n项和是Sn，当a＝2时，求Sn. 18、（本小题满分12分）对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如下图.
(1)根据图中数据，制作2×2列联表；
(2)若要采用分层抽样的方法从男生中共抽取5名候选人，再从5人中选两人分别做文体活动协调人，求选出的两人恰好是一人更爱好文娱，另一人更爱好体育的学生的概率；
(3)是否可以认为性别与是否爱好体育有关系？ 参考数据： P(K2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
19、（本小题满分12分）如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视
图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME； (2)证明：平面BDE⊥平面BCD. (3)求三棱锥D－BCE的体积．
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0.05 0.025 3.841 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 20、（本小题满分12分）设直线l：y＝k(x＋1) (k≠0)与椭圆x2＋3y2＝a2 (a>0)相交于两个不同的点A、B，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
3k22
(1)证明：a>；
1＋3k2→→
(2)若AC＝2CB，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．
1
21、（本小题满分12分）已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋2x2. (1)求f(x)的解析式及单调区间；
1
(2)若f(x)≥2x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．
请考生从第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 22、（本小题满分10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中
点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB， 证明：(1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
23、（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为
x＝3cos α，
(α为参数)． y＝sin α
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极
π
轴)中，点P的极坐标为4，，判断点P与直线l的位置关系；
2
(2)设点Q是曲线C 上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
24、（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲
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已知函数f(x)x22x1 （1）解不等式f(x)2；
（2）对任意xa,，都有f(x)xa成立，求实数a的取值范围.
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文科数学（一）参考答案
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要
求的一项。
1、答案 D
解析 依题意，化简得M＝{x|0 2、B [由三角函数线知识得当θ∈(4，4)时，sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故选B.] 3、答案 D解析 依题意知可输出的函数既是奇函数又存在零点，所选D。 4、答案 D 5 5、B [因为{an}是等比数列，所以a1·a5＝a2·a4＝a23，代入已知式T5＝1，得a3＝1，所以a3＝1.] πππ 6、．D [f(x)＝2sinx＋3，y＝f(x＋φ)＝2sinx＋3＋φ的图象关于x＝0对称，即为偶函数，∴3＋φ πππ＝2＋kπ，φ＝kπ＋6，k∈Z，当k＝0时，φ＝6.] 7．A [由a⊥(a－b)，得a2－a·b＝0，即a2＝a·b，所以|a|2＝|a||b|cos θ.因为|a|＝1，|b|＝2，所以cos 2 θ＝2，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝45°.] 0x28、【答案】D【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方 0y21222244形面积减去四分之一圆的面积部分，因此P，故选D。 224→1→→→→→1→→ →2→1→ 9解析 法一 依题意，不妨设BE＝EC，BF＝2FC，则有AE－AB＝(AC－AE)，即AE＝AB＋AC； 2233→1→1→2→1→→→→→→→→1→2→→→2AB AF－AB＝2(AC－AF)，即AF＝3AB＋3AC.所以AE·AF＝3＋3AC·(AB3AB＋3AC＝9(2AB＋AC)· 5→1→→→→1＋2AC)＝9(2AB2＋2AC2＋5AB·AC)＝9(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝3，选A. 法二 由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°， 323，F如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E－，0－，0， 33 2533→→23·＝23·∴AE·AF＝－＋(－1)·(－1)＝3＋1＝3，选A. ，－1－，－1－－ 3333 10、解析 C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)． 当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点； 当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x3 ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±3，即直线处于两精心制作仅供参考唐玲出品 3333 切线之间时满足题意，则－3 c1c3 圆，则2a＝6k,2c＝3k，e＝a＝2.若圆锥曲线为双曲线，则2a＝4k－2k＝2k,2c＝3k，e＝a＝2.] 12、解析 因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以f′(x)＝3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，x2，且x1∈[－f′－2≥0，f′－1≤0， 2，－1]，x∈[1,2]，所以f′1≤0， f′2≥0， 2 12－8b＋c≥0， 3－4b＋c≤0，即3＋4b＋c≤0，12＋8b＋c≥0， 画出可行域如图所示．因为f(－1)＝2b－c，由图知经过点A(0，－3)时，f(－1)取得最小值3，经过点C(0，－12)时，f(－1)取得最大值12，所以f(－1)的取值范围为[3,12]． 答案 C 第Ⅱ卷 二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。 13、【答案】 115【解析】由余弦定理得c2a2b22abcosC142212，即c2； 482b2c2a24417157 cosA，∴sinA12bc22288814、【答案】42 15、解析 如图，设抛物线方程为 p|AB|12 y2＝2px(p＞0)．∵当x＝时，|y|＝p，∴p＝＝＝6. 2 2 2 1 又P到AB的距离始终为p，∴S△ABP＝×12×6＝36. 2 16、解析 由已知得f(－1)＝log22＝1， f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1， f(2)＝f(1)－f(0)＝－1， f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0， f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1， f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2 016)＝f(0)＝0. 三、解答题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17、（本小题满分12分）已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an) (n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列． (1)设a为常数，求证：{an}成等比数列； (2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n项和是Sn，当a＝2时，求Sn. (1)证明 f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，…………………………………………(2分) + 即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n2. 精心制作仅供参考唐玲出品 a2n2a2n2an ∴＝＝2n an－1a2n－1＋2a ＝a2 (n≥2)为定值．……………………………………………………………(4分) ∴{an}为以a2为公比的等比数列．…………………………………………………(5分) (2)解 bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2 ＋ ＝(2n＋2)a2n2.……………………………………………………………………(7分) ＋ 当a＝2时，bn＝(2n＋2)(2)2n2 ＝(n＋1)2n＋2. Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，① 2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3，② ①－②，得 －Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3 …………………………………(9分) 241－2n－1＝16＋－(n＋1)·2n＋3 1－2 ＝16＋2n＋3－24－n·2n+3－2n+3＝－n·2n+3. + ∴Sn＝n·2n3.……………………………………………………………………(12分) 18、（本小题满分12分）对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如下图. ＋ ＋ (1)根据图中数据，制作2×2列联表； (2)若要从更爱好文娱和从更爱好体育的学生中各选一人分别做文体活动协调人，求选出的两人恰好是一男一女的概率； (3)是否可以认为性别与是否爱好体育有关系？ 参考数据： 0.020.010.00P(K2≥k0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.001 5 0 5 ) 0.450.701.322.072.703.845.026.637.8710.82k 5 8 3 2 6 1 4 5 9 8 1．解 (1) 更爱好体育 更爱好文娱 合计 15 10 25 男生 5 10 15 女生 20 20 40 合计 ……(3分) (2)恰好是一人更爱好文娱，另一人更爱好体育的概率是：P（A）= …………………(6分) nac－bd2 (3)K＝ a＋bc＋da＋cb＋d40×15×10－5×102＝ 20×20×25×158 ＝3≈2.666 7…<2.706， ……(9分) ∴我们没有足够的把握认为性别与是否更喜欢体育有关系． ……(12分) 2 精心制作仅供参考唐玲出品 3519、（本小题满分12分）如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视 图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示． (1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME； (2)证明：平面BDE⊥平面BCD. (3)求三棱锥D－BCE的体积． 1 (1)证明 连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，又MN＝AE＝2CD， ∴四边形ANME为平行四边形， ∴AN∥EM.∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，∴AN∥平面CME. (2)证明 ∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD.由(1)，知AN∥EM， ∴EM⊥平面BCD.又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD. 1122×48 (3)解 VD－BCE＝VE－BCD＝3S△BCD·|EM|＝3×2×2＝3. 20、（本小题满分12分）设直线l：y＝k(x＋1) (k≠0)与椭圆x2＋3y2＝a2 (a>0)相交于两个不同的点A、B，与x轴相交于点C，记O为坐标原点． 3k22 (1)证明：a>； 1＋3k2→→ (2)若AC＝2CB，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程． 11 (1)证明 依题意，由y＝k(x＋1)，得x＝ky－1.将x＝ky－1代入x2＋3y2＝a2， 12 消去x，得k2＋3y2－ky＋1－a2＝0.①(2分) 由直线l与椭圆相交于两个不同的点， 142 得Δ＝k2－4k2＋3(1－a)>0， 13k222 整理得k2＋3a>3，即a>.(5分) 1＋3k2 2k (2)解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由①得y1＋y2＝， 1＋3k2－2k→→ 由AC＝2CB，C(－1,0)，得y1＝－2y2，代入上式，得y2＝.(8分) 1＋3k21 于是，S△OAB＝2|OC|·|y1－y2| 33|k|3|k|3＝2|y2|＝＝2，(10分) 2≤1＋3k23|k| 3其中，上式取等号的条件是3k2＝1，即k＝±3， －2k3 由y2＝2，可得y2＝±3， 1＋3k 3333 将k＝3，y2＝－3及k＝－3，y2＝3这两组值分别代入①，均可解出a2＝5，所以，△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程是x2＋3y2＝5.(12分) 精心制作仅供参考唐玲出品 1 21、（本小题满分12分）已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2. 2(1)求f(x)的解析式及单调区间； 1 (2)若f(x)≥2x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值． 解 (1)由已知得f′(x)＝f′(1)ex1－f(0)＋x.所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1. － 1 又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e.从而f(x)＝ex－x＋2x2.由于f′(x)＝ex－1＋x， 故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.从而，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得ex－(a＋1)x≥b.① 1－b (i)若a＋1<0，则对任意常数b，当x<0，且x<时，可得ex－(a＋1)x 当x∈(－∞，ln(a＋1))时，g′(x)<0；当x∈(ln(a＋1)，＋∞)时，g′(x)>0. 从而g(x)在(－∞，ln(a＋1))上单调递减，在(ln(a＋1)，＋∞)上单调递增． 故g(x)有最小值g(ln(a＋1))＝a＋1－(a＋1)ln(a＋1)． 1 所以f(x)≥2x2＋ax＋b等价于b≤a＋1－(a＋1)·ln(a＋1)．② 因此(a＋1)b≤(a＋1)2－(a＋1)2ln(a＋1)．设h(a)＝(a＋1)2－(a＋1)2ln(a＋1)，则 11 h′(a)＝(a＋1)[1－2ln(a＋1)]．所以h(a)在(－1，e－1)上单调递增，在(e－1，＋∞)上单调递减， 221ee 故h(a)在a＝e2－1处取得最大值．从而h(a)≤2，即(a＋1)b≤2. 1e2 11 当a＝e2－1，b＝2时，②式成立．故f(x)≥2x2＋ax＋b. e 综上得，(a＋1)b的最大值为2. 22、（本小题满分10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于 F，G两点．若CF∥AB， 证明：(1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD. 证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD， 精心制作仅供参考唐玲出品 连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF. 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC. (2)因为FG∥BC，故GB＝CF. 由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG. 由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB. 而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC， 故△BCD∽△GBD. 23、（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为 x＝3cos α， (α为参数)． y＝sin α (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极 π 轴)中，点P的极坐标为4，，判断点P与直线l的位置关系； 2 (2)设点Q是曲线C 上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值． π 解 (1)把极坐标系下的点P4，化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的直角坐标(0，4)满足直 2 线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上． (2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为d π2cosα＋＋4 6|3cos α－sin α＋4|π ＝＝＝2cosα＋＋22， 622 π 由此得，当cosα＋＝－1时，d取得最小值，且最小值为2. 6 24、（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)x22x1 （1）解不等式f(x)2； （2）对任意xa,，都有f(x)xa成立，求实数a的取值范围. 24．解：（1）f(x)-2 当x2时，x42, 即x2，∴x； y 3 4 x 22,∴x1 33当x1时，x42, 即x6, ∴1x6 2综上，{x|x6} ………5分 3当2x1时，3x2,即x精心制作仅供参考唐玲出品 x4,x2（2）f(x)3x,2x1 函数f(x)的图像如图所示： x4,x1令yxa，a表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时，a2； ∴当-a2，即a-2时成立； …………………8分 a, 2当a2，即a2时，令x4xa， 得x2∴a 2+a,即a4时成立，综上a-2或a4。 …………………10分 2精心制作仅供参考唐玲出品 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容