由三波耦合方程推导二次谐波

由三波耦合方程推导二次谐波

光学二次谐波是三波混频的特例，是最早发现的非线性光学现象。以下分两种情况研究光学倍频效应：一种是不消耗基频光的小信号近似情况；另一种是消耗基频光的高转换效率情况

已知三波混频方程为

E1(z)D1(2)ix(1;2,3)E2E3eikzz2cn1 （3.1.28）

E2(z)D2(2)ix(2;3,1)E3E1eikzz2cn2 （3.1.29）

E3(z)D3(2)ix(3;1,2)E2E1eikzz2cn3 (3.1.30)

式中的相位失配因子为

kk1k2k3 （3.1.31）

一、小信号近似情况

在小信号近似情况下，设基波频率12，二次谐波频率32，倍频情况下简并因子D=1.

由于在小信号近似情况下，E1(z)和E2(z)随z的变化可以忽略，得到

dE1(z)0dz （3.2.1）

dE2(z)0dz （3.2.2）

k2k1k3dE3(z)i(2)2x(2;,)E1(z)eikzdzcn3 （3.2.3）式中

（3.2.4）

假设晶体长度为L，基波场和二次谐波场的边界条件分别为：E1(z)E(0) E3(0)0,对方程式（3.2.3）积分得输出晶体的二次谐波振幅，即

i(2)2x(2;,)E1(z)eikEdzcn3E3(L)dE3(z)0LL0L0i(2)2x(2;,)E1(0)eikEdzcn3L0ikzi(2)2ex(2;,)E1(0)cn3ikx(2)cn3kE12(0)(eik1) （3.3.5）

引进倍频系数d代替极化率

x(2)d2 （3.2.6）

令n1n,n3n2，则式（3.2.5）变成

E3(L)2dcnkE21(0)(eikL1)2 (3.2.7)

由式（3.2.7）得

E23(L)42d24c2n22E1(0)(coskL1isinkL)(coskL1isinkL)2k42d24c2n2k2E1(0)(22coskL)242d2cn2E1(0)42222sin2(kL/2)2k42d224sin(kL/2)c2n22E1(0)2k(kL/2)2(3.2.8)

又由光强与振幅的关系

I)12E21(00cn1(0) (3.2.9)

和 I(L)12320cn2E3(L) 代入式（3.2.8），得到出射倍频率波光强和入射基频波光强的关系：82d2L2I22kL3(L)32I1(0)sinc()0cn2n2 (3.2.11)

二、基波光高消耗情况

(3.2.10)

dE1(z)0dz 在高转换效率下基波会被消耗，因此不能看做常量，此时的 设在相位匹配

情况下，k0，n1n2n3n，对基频光有12,E1E2以及简并因子D=2;对信频光

(2)22d。 3有，以及简并因子D=1;以信频系数d代替极化率，

由方程（3.2.8）和（3.1.30）得

E1(z)2idE1E3zcn (3.2.15)

E3(z)2id2E1zcn (3.2.16)

对方程（3.2.15）两边取复数共轭在乘以E1得

E(z)2id2E11E1E3zcn (3.2.15.1)

对方程（3.2.16）两边乘以

E3,得

E3E3(z)2id2E1E3zcn (3.2.16.1)

将方程（3.2.15.1）和（3.2.16.1）左右相加得

E1(z)E3(z)E1E30zz （3.2.16.2）

将方程（3.2.16.2）两边取复共轭，得

E1(z)E(z)EE330zz （3.2.16.3）

1将方程（3.2.16.2）与方程（3.2.16.3）左右相加得

E1(z)E1(z)E3(z)E3(z)(E1E1(z))(E3E3)0zzzz

d22E1(z)E3(z)0推出 dz （3.2.17）

也就是

E1(z)E3(z)22常数。由z=0边界条件：E3(0)0,E1(0)0

得到

E1(z)2E3(z)E1(0)22 (3.2.18)

对式（3.2.15）两边取模得

E1(z)E1(z)42d22222E1(z)E3(z)zzcn （3.2.18.1）

由方程（3.2.18.2）和方程（3.2.16.3）得

E1(z)E1(z)2E3(z)E3(z)E1E3zzzz （3.2.18.2）

2

将方程（3.2.18.2）代入方程（3.2.18.1）得

E3(z)E3(z)42d2422E1(z)zzcn （3.2.18.3）

再将（3.2.18）代入方程（3.2.18.3）

E3(z)E3(z)42d242222E1(0)1E3(z)/E1(0)zzcn得 (3.2.18.4)

令

E3(z)E3(z)eiTz，则

E3(z)E3(z)eiTz

代入式（3.2.18.4）得

(dE3(z)224)K2E1(0)1E3(z)/E1(0)dz (3.2.19)

式中

k2dcn 简化得

dE3(z)/E1(0)2KE1(0)1E3(z)/E1(0)dz (3.2.20)

令

vE3(z)/E1(0)代入式（3.2.20）得

dvkE1(0)dz1v2 （3.2.21）

对方程（3.2.21）两边积分得

dv1v2kE1(0)z

arctanvkE1(0)z

vtankE1(0)z

则 E3(z)E1(0)tankE1(0)z 再将式（3.2.22）代入式（3.2.18）得

E1(z)E1(0)seckE1(0)z 3.2.23）3.2.22） （

（