人教版八上数学 全等构造(3)作垂线法

人教版八上数学 全等构造（3）作垂线法

1. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐷 为 △𝐴𝐵𝐶 外一点，且 ∠𝐶𝐷𝐵=45∘，且 ∠𝐷𝐴𝐵=67.5∘．写出图中除 △𝐴𝐵𝐶 外的所有等腰三角形，并予以证明．

2. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐷 为 △𝐴𝐵𝐶 外一点，且 𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，求证：∠𝐶𝐷𝐵=45∘．

3. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐷 为 △𝐴𝐵𝐶 外一点，且 ∠𝐶𝐷𝐵=45∘，求证：𝐶𝐷 平分 ∠𝐴𝐷𝐵．

4. 如图，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐷 为 𝐵𝐶 上一点，𝐷𝐴=𝐷𝐸，∠𝐴𝐷𝐸=90∘，求 ∠𝐷𝐵𝐸 的度数．

答案

1. 【答案】 △𝐷𝐵𝐶，△𝐵𝐸𝐶，△𝐷𝐴𝐸 都为等腰三角形．

延长 𝐶𝐴 至 𝐹，易知 𝐷𝐴 平分 ∠𝐸𝐴𝐹，过点 𝐷 作 𝐷𝑀⊥𝐴𝐹 于点 𝑀，作 𝐷𝑁⊥𝐴𝐸 于点 𝑁， ∴𝐷𝑀=𝐷𝑁，易证 ∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐷𝐶𝐴， ∴△𝐷𝑀𝐶≌△𝐷𝑁𝐵， ∴𝐷𝐶=𝐷𝐵，

易证 ∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐷𝐴𝑁=∠𝐷𝐸𝐴=67.5∘， ∴𝐵𝐸=𝐵𝐶，𝐷𝐴=𝐷𝐸．

2. 【答案】方法一：延长 𝐴𝐷 至点 𝐸，要证 ∠𝐶𝐷𝐵=45∘，

只证 𝐶𝐷 平分 ∠𝐵𝐷𝐸 即可，

过点 𝐶 作 𝐶𝐹⊥𝐷𝐸 于点 𝐹，作 𝐶𝐺⊥𝐵𝐷 于点 𝐺， ∴△𝐵𝐶𝐺≌△𝐴𝐶𝐹， ∴𝐶𝐹=𝐶𝐺， ∴𝐶𝐷 平分 ∠𝐵𝐷𝐸．

【解析】方法二：过点 𝐶 作 𝐶𝑀⊥𝐶𝐷 交 𝐵𝐷 于点 𝑀，要证 ∠𝐶𝐷𝐵=45∘， 故只证 △𝐶𝐷𝑀 为等腰直角三角形即可， 故只证 △𝐵𝐶𝑀≌△𝐴𝐶𝐷 即可．

3. 【答案】方法一：

过点 𝐶 作 𝐶𝐸⊥𝐶𝐷 交 𝐷𝐵 的延长线于点 𝐸， 利用 ∠𝐶𝐷𝐵=45∘ 构造等腰直角 △𝐶𝐷𝐸， 证 △𝐷𝐴𝐶≌△𝐸𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸=45∘ 即可． 【解析】方法二：

过点 𝐵 作 𝐵𝐸⊥𝐶𝐷 于点 𝐸，构造等腰直角 △𝐵𝐷𝐸，过点 𝐴 作 𝐴𝐹⊥𝐶𝐷 于点 𝐹， 证 △𝐵𝐶𝐸≌△𝐶𝐴𝐹， ∴𝐵𝐸=𝐶𝐹=𝐷𝐸， ∴𝐷𝐹=𝐶𝐸=𝐴𝐹，

∴△𝐴𝐷𝐹 为等腰直角三角形， ∴∠𝐴𝐷𝐹=45∘．

4. 【答案】方法一：

过点 𝐷 作 𝐷𝐹⊥𝐵𝐷 交 𝐵𝐴 的延长线于点 𝐹，△𝐴𝐷𝐹≌△𝐸𝐷𝐵， ∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐹=45∘． 【解析】方法二：

过点 𝐴 作 𝐴𝑀⊥𝐵𝐶 于点 𝑀，过点 𝐸 作 𝐸𝑁⊥𝐵𝐶 于点 𝑁，△𝐴𝑀𝐷≌△𝐷𝑁𝐸，𝐴𝑀=𝐷𝑁=𝐵𝑀，𝐷𝑀=𝐸𝑁=𝐵𝑁， ∴∠𝐷𝐵𝐸=45∘．