《相似》全章导学案

27.1 图形的相似-1（第一课时）

教学目标：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 教学过程：

一、预习检测案：

相似图形的概念： 二、合作探究案：

线段的比：两条线段的比，就是两条线段长度的比．

成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如

（2）（小）

宽宽（大） ； ．

长长（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？ 3．观察下列图形，指出哪些是相似图形：

ac，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （即adbc）

bd例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）

5．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？

6．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？

课后反思：

27.1 图形的相似-2（第二课时）

教学目标：知道相似多边形的主要特征：会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．

一、预习检测案：(阅读教材P36页思考，回答以下问题)

1、相似图形性质： 2、成比例线段 二、合作探究案：

实验探究：如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．

例2一张桌面的长a1.25m，宽b0.75m，那么长与宽的比是多少？ （1）如果a125cm，b75cm，那么长与宽的比是多少？ （2）如果a1250mm，b750mm，那么长与宽的比是多少？

小结：上面分别采用m,cm,mm三种不同的长度单位，求得的

a的值是________的，所以说，b两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____． 三、达标测评案：

1、下列说法正确的是（ ）

A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B．商店新买来的一副三角板是相似的.

C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的. 2、填空题

形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或

而得到的。

问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等？ 4．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，

（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm； （大）长是_______cm，宽是_______cm；

1

结论：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．

点，连接E,F，所得新矩形ABFEA与原矩形ABCD相似，求a:b的值．

几何语言：∵ ∴ （2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形． 三、达标测评案：

反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．

21．ABC与DEF相似，且相似比是，则DEF 与ABC与的相似比是（ ）．

32324 A． B． C． D．

32592．下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）

（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度．

课后反思：

27.2.1相似三角形的判定-1（第三课时）

教学目标：会用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∽ABC ;知道当ABC 与ABC的相似比为k时，ABC与ABC的相似比为1．理解掌握平行线分线段成比例定理

'''''''''k教学过程：

一．预习检测案：

1、相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？ 2、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．

在ABC与ABC中，

如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且

'''ABBCCAk． ABBCCA'''

4．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？

6．如图，AB∥EF∥CD，CD4，AB9，若梯形CDEF与梯形FEAB相似，求EF的长．

我们就说ABC与ABC相似，记作ABC∽ABC，k就是它们的相似比． 反之如果ABC∽ABC，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且注意：（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。 （2）用符号“∽”表示相似三角形如ABC∽ABC;

（3）相似比是带有顺序性和对应性的：当ABC与ABC的相似比为k时，ABC与

'''''''''''''''ABBCCA． ABBCCAABC的相似比为

1． k二、合作探究案：

探究一：见课本P40探究1

7．如图，一个矩形ABCD的长ADacm，宽ABbcm，E,F分别是AD,BCAD的中

2

问题：AB:ACDE:，BC:AC:DF．强调“对应线段的比是否相等”

归纳总结：平行线分线段成比例定理：三条_______截两条直线，所得的_____线段的比________。

做一做： 如图，若AB=3cm，BC=5cm，EK=4cm，写出求FK的长?

EKAB= _____ =_____，____=______。KFAC 探究二：见课本P41图27.2-2

平行线分线段成比例定理推论：平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其27.2.1相似三角形的判定-2（第四课时）

教学目标：经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程．

会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 教学过程： 一．预习检测案

他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.

三、达标测评案：

1.如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.

2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．

3．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．

4 .已知：梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，AE=FC，EB6314，DF53，求：AE的长。

课后反思：

1、相似多边形的主要特征是什么？

2、平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么？

3、什么是相似三角形？

4、问题：如果两个三角形的相似比k1，这两个三角形有怎样的关系？

二、合作探究案：

如果ABC∽ADE,那么你能找出哪些角的关系？边呢？

问题：如图，在ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D,E。

（1）ADE与ABC满足“对应角相等”吗？为什么？

（2）ADE与ABC满足对应边成比例吗？由DE∥BC的条件可得到哪些线段的比相等？

（3）根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？你能证明AE:ACDE:BC吗？

归纳总结：相似三角形的预备定理：

例1 如图ABC∽DCA，AD∥BC，BDCA．

（1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角；

（3）若AB10，BC12，CA6．求AD,DC的长．

三．达标测评案：

3

1.下列各组三角形一定相似的是（ ）

A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 2.如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）A．1对B．2对 C．3对 D．4对 3.如图，AB∥EF∥CD，图中共有 对相似三角形，写出来并说明理由；

两个三角形全等有哪些判定方法？我们学习过哪些判定三角形相似的方法？

二．合作探究案： 探究一：见课本P42探究2

三角形相似的判定方法1： 探究二：课本P44探究3

三角形相似的判定方法2：

例1 根据下列条件，判断ABC与A'B'C'是否相似，并说明理由：

（1）

A120,AB7cm，AC14cmA'120,A'B'3cm,A'C'cmAB4cm,BC6cm,AC8cm

4.如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．

5. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)

6.如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．

（2）

A'B'12cm,A'C'21cm,B'C'18cm

三、达标测评案：

1. 如图，在四边形ABCD中，BACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7

1，求AD的长． 2

课后反思：

27.2.1相似三角形的判定-3（第五课时）

教学目标：1.掌握相似三角形的两种判定方法.2.能运用三角形相似的条件解决简单问题． 教学过程：

一．预习检测案：

4

2. 如果在ABC中B30，AB5cm,AC4cm，在A'B'C'中，B'30,A'B'10cm，

A'C'8cm，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？

3. 如图，ABC中，点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点，求证：ABC∽DEF．

归纳：三角形相似的判定方法3： 例1．如图，ABC与ABD都是圆O的内接三角形，AC和BD相交与点E,找出图中的一对相似三角形，并说明理由。

例 2 弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证: PA•PB=PC•PD.

例 3 已知：如图，在RtABC和RtABC中，C求证：RtABC∽RtABC

''''''

4. 如图，P为正方形ABCD边BC上的点，且BP=3PC，Q为DC的中点， 求证：ADQ∽QCP

C'90,

ABAC, ''''ABAC

课后反思：

27.2.1相似三角形的判定-4（第六课时）

教学目标：掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 教学过程：

一、预习检测案：

1、我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？

2、如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；

二、合作探究（课堂导学）

实验探究：如上题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？

5

2

三．达标测评案： 1、填一填

（1）如图，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时， △ACD∽△ABC。

（2）如图，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件 ，就可以使△ADE与原△ABC相似。

（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形；

（3）底角相等的两个等腰三角形相似。

2．如图，在RtABC中，CD是斜边上的高，ACD和CBD都与ABC相似吗？证明你的结论。

3. 如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE ∽△EFC.

课后反思：

27.2.2 相似三角形应用举例（第七课时）

4 、图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。

5 、图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。

教学目标：能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如

测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 教学过程：

一、预习检测案： 测量旗杆的高度

操作：在旗杆影子的顶部立一根标杆，借助太阳光线构造相似三角形，旗杆AB的影长BDa米，标杆高FDm米，其影长DEb米，求AB： 分析：∵太阳光线是平行的 A ∴∠____________＝∠____________ 又∵∠____________＝∠____________＝90° ∴△____________∽△____________

∴__________________，即AB=__________

二．合作探究案：

探究一：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度． 如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．

B D E F ''6 、在ABC和A'BC中，如果A80，C60，A'80，B'40，那么这两个三

角形是否相似？为什么？

7、已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证：

AFEF． BFFD

分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的

影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．

解：

6

探究二：.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？ 方案一：先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ A C B O D 探究三：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝6cm和CD＝12m，两树的根部的距离BD＝

5m．一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？ 分析：如图，说观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB、CD于点H、K．视线FA、FG的夹角∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域I和II都在观察者看不到的区域（盲区）之内．

三．达标测评案：

1．已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是( ) 。 A．15m B．60 C．20m

D．103m

如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度(精确到0.1米)．

第4题

5. 如图：小明想测量一颗大树AB的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上，测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米，那么树的高度是多少？

6、如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB，若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m,则A、B两点间的距离为多少？

I

I

I

I

C

7、如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离是_______.

D

A E B

2．一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的高度为

11( ) A．m

710B．m

79C．m

73D．m

2

3．如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED。

4如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米.

7

8. 8.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD长0.55m，求该梯子的长。

课后反思：

27.2.3 相似三角形的周长与面积（第八课时）

教学目标：理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相 似比的平方．利用相似三角形及相似多边形的性质解决相关的问题． 导学过程：

一、预习检测案：

''''''如图，已知RtABC ∽ RtABC，且CC90,AC3,BC4,AC6,

相似多边形面积的比等于 例1 如图，在ABC和DEF中，AB=2DE,AC=2DF,AD,ABC的周长为24，面积是

125，求DEF的面积与周长？

例2 如果两个三角形相似，它们的对应边上的中线之间有什么关系？写出推导过程。

三、达标测评案： 1.若

ace1ace,则=_____________. bdf2bdfB'C'8.

（1）计算出两个三角形的周长以及周长之比。 （2）计算出两个三角形的面积以及面积之比。

（3）两个相似三角形的周长之比、面积之比、相似比之间有怎样的关系？ 二．合作探究案：

探究1：如图，ABC∽ A'B'C'，相似比为k，它们对应边上的高之比为多少？面积之比为

12.个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23,它们周长的差是40,则

这两个三角形的周长分别为( )A.75,115 B.60,100 C.85,125 D.45,85

3.一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( )A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍

4.两个相似三角形对应边的比为1∶2 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．

6.如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么

多少？

CADE:C探究1 ：

探究2：

ABC ．SADE:SABC . 7.如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D, △ABC的周长是24,面积是

18,求△DEF的周长和面积.

探究2：如图，四边形ABCD与四边形ABCD相似，相似比为k2，它们的面积之比为多少？

归纳 ：相似三角形对应的高的比等于

''''A

D

相似三角形面积的比等于

8

8.图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,P为AB上一点,Q为BC上一点,且PQ⊥AB,若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的

B C E F

（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行． 二．合作探究案：

探究1：如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA、OB、OC上取一点D、E、F，使得

1,AB=5 cm,PB=2 cm,求△ABC的面积. 427.3 位似-1 （第九课时）

ODOEOF3,连接DE、EF、FD，所得△DEF与△ABC是否相似？证明你的结论。 OAOBOCD A O F C E 教学目标：了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位

似图形的性质．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形 放大或缩小．

教学过程：

一、预习检测案：

图中多边形相似吗？观察下面的四个图，你发现每个图中的两个多边形各对应点的连线有什么特征？

探究2：把图中的四边形ABCD缩小到原来的 分析：把原图形缩小到原来的

1． 2 B 1，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各2对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．

作图时要注意:

1、首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；

2、确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点； 3、确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小； 4、符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关， 并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形 四、课堂检测（当堂训练）

1、如图，以O为位似中心，将ABC放大为原来的两倍。

（1）位似图形：如果两个多边形不仅 ，而且对应顶点的连线 ，对应边

或 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，

0

这时的相似比又称为 ．

2．画出所给图中的位似中心．

（2）掌握位似图形概念，需注意：

①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是 图形，而相似图形不一定是 图形； ②两个位似图形的位似中心只有一个；

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； ④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似． （3）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于 ．

9

三．达标检测案：

1、四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形，位似中心是点O，则它们的对应点的连线一定经过____________。

2、四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形，点O是位似中心。如果OA：OA1=1:3，那么AB：A1B1=____________

3、如果四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，且位似比为a,下列说法正确的是________。①△ABC∽△EFG ②

教学目标：掌握位似图形在直角坐标系下的点的坐标的变化规律

能利用直角坐标系下位似图形对应点坐标变化的规律来解决问题 教学过程：

一、预习检测案：

在平面直角坐标系中有两点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为1:2，把线段AB缩小

ABBCCDDAACBDa。 a③

EFFGGHHEEGFH4、如果正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：FG=2：3，则下列结论正确的是( )

A、2DE=3MN B、3DE=2MN C、3∠A=2∠F D、2∠A=3∠F

5、用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在( ) A、原图形的外部 B、原图形的内部 C、原图形的边上 D、任意位置

6、如图，△ABC与是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )

B D A、6 B、5 C、9 D、8

F 3C O A E 7．已知：如图，△ABC，画ABC，使ABC∽△ABC，且使相似比为1.5，要求 （1）位似中心在△ABC的外部； （2）位似中心在△ABC的内部； （3）位似中心在△ABC的一条边上； （4）以点C为位似中心．

归纳：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 ；

三、达标测评案：

1.如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）． （1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺TA′∶TA=3∶1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′

10

''''''方法一： 方法二：

探究：（1）在方法一中，A'的坐标是 ，对应点坐标之比是 ；B'的坐标是 ，

（2）在方法二中，A''的坐标是 ，B''的坐标是 ，对应点坐标之比是 二、合作探究案：

如图，ABC三个顶点坐标分别为A2,3B2,1C3,1，以点O为位似中心，相似比为２，将ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

位似变换后A,B,C的对应点坐标为：A' B' C'

课后反思：

27.3 位似-2（第十课时）

的坐标； (3)把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，则B3的坐标是_______ y y O ACx（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化A后点C的对应点C′的坐标． OBB Tx 2.如图，△ABC与△ABC是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是_______ 3.如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k12，四边形A′B′C′D′和四 课后反思： 边形A″B″C″D″位似，位似比k21．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？ 位似比是多少？ yyB'ABAA'C OxCOC'DBx 4.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求△COD和△AOB的相似比． 5.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－1），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍． 6.如图，△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（-1，-1）． (1)把△ABC向左平移5格后得到△A1B1C1，则点B1的坐标为____________ (2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90o后得到△A2B2C，则点B2的坐标为___________ 11 yAOBCx