长沙理工大学概率论与数理统计下册考试参考题

概率论与数理统计试卷

一、填空题（每小题2分，共2×10＝20分）.

1、假设x1，x2，„，xn是样本1，2，„，n的一个样本值或观测值，则样本均值x表示样本值的集中位置或平均水平，样本方差S2和样本修正方差S*2表示样本值对于均值x的_________________.

2、样本方差S2和样本修正方差S*2之间的关系为_________________. 3、矩估计法由英国统计学家皮尔逊（Pearson）于1894年提出，它简便易行，性质良好，一直沿用至今. 其基本思想是：以样本平均值（一阶原点矩）

作为相应总体的____________________；以样本方差（二阶中心矩）S2或

者以样本修正方差S作为相应总体的___________________________.

*24、总体未知参数的最大似然估计ˆ就是___________________函数的极大值点.

5、我们在估计某阶层人的月收入时可以说：“月收入1000元左右”，也可以说：“月收入在800元至1200元间”. 前者用的是___________，后者就是_________________.

6、在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度直接有关. 一般来讲，信度较大，其置信度（1－）较小，对应置信区间长度也较短，此时这一估计的精确度升高而可信度降低；相反地，信度较小，其置信度（1－）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这一估计的精确度_________而可信度_____________.

7、无论总体方差是否已知，正态总体均值的置信区间的中心都是

2_________________.

8、假设检验中统计推断的唯一依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第一类错误为弃真错误，显著水平就是犯这类错误的概率；第二类为取伪错误，记犯这类错误的概率为. 则关系式＋＝1是________________(正确、错误)的.

9

、

假

设

检

验

中

做

出

判

断

的

根

据

是

______________________________________________.

10、对于单正态总体，当均值已知时，对总体方差 的假设检验用统计量及分布为__________________________________.

二、简答题（每小题2分，共2×10＝10分）.

1、若临界概率＝0.05，求临界值答：

2(0.01；14)2、若临界概率＝0.01，自由度k＝14，求临界值.

2u2.

答：

10). 3、若临界概率＝0.05，自由度k＝10，求临界值t(0.05；答：

10,15). 4、若临界概率＝0.05，自由度k1＝10，k2＝15，求临界值F(0.05；答：

5、设1，2，„，n是的样本，且～ N(,)，试求：E、D、ES.

2*2答：

6、对于总体有E＝，D＝，1，2，3是的样本，下列无偏估

2计量中哪一个最有效？

1ˆ2＝3(1＋2＋3） ˆ1＝1，答：

7、设总体服从二项分布b(n，p)，p为待估参数，(1,2,,n)为的

一个样本，求p的矩估计量. 答：

8、假设初生婴儿的体重服从正态分布,随机抽取12名初生男婴,测得其体重

为(单位:g):

2950，2520，3000，3000，3000，3160，

3560，3320，2880，2600，3400，2540. 当以95%的置信度求初生男婴的平均体重的置信区间时，应该选用什么统计量？ 答：

9、某种电子元件，要求使用寿命不得低于1000 h .现从一批这种元件中随

机抽取25 件，测其寿命，算得其平均寿命950 h ，设该元件的寿命

～N（，1002），在＝0.05的检验水平下，要确定这批元件是否合格需用什么检验方法？

答：

10、某卷烟厂生产两种香烟，现分别对两种烟的尼古丁含量作6次测量，结果为

甲厂：25 28 23 26 29 22 乙厂：28 23 30 35 21 27

若香烟中尼古丁含量服从正态分布，且方差相等，要判断这两种香烟中尼古丁含量有无显著差异（＝0.05），应该使用什么检验方法?

答：

三、应用题（每小题10分，共6×8＝48分）

1、设总体服从泊松分布，即分布列为

mP(＝m)＝m!的联合分布列.

e，＞0为参数，m＝1,2，„，试求样本(1，2，„，n)

2、设总体服从指数分布，分布密度为

ex　x0 x0, p(x)＝0　　　>0为待估参数，x1,x2,,xn为的一个观察值，求的最大似然估计值.

3、已知某厂生产的电子零件的长度～N（12.5，），从某天生产的零件

2中随机抽取4个，测得长度为（单位：mm）

12.6 13.4 12.8 13.2，

求的置信度为0.95的置信区间.

4、已知某种木材横纹抗压力的实验值～N（，），对10个试件作横纹

22抗压力试验，得数据如下(单位：公斤/平方厘米)：

578 572 570 568 572 570 570 596 584 572.

试对进行区间估计(＝0.05).

2

5、已知舞阳钢铁公司的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.53，0.1082)，某日随机测定了9炉铁水，含碳量如下：

4.43 4.50 4.58 4.42 4.47 4.60 4.53 4.46 4.42 若已知总体方差无变化，能否认为该日生产的铁水的平均含碳量仍为4.53（＝0.05）?

6、已知神马集团生产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常情况下服从正态分布N（1.405，0.0482），某日随机测定了5根纤维，纤维度如下： 1.32 1.55 1.36 1.40 1.44 问这天维尼纶纤度波动情况是否正常（＝0.05）?

四、论述题（每小题10分，共2×6＝12分）

1、假设检验的基本原理是什么？

2、请你谈谈学习数理统计的目的及方法？

长沙理工大学模拟试卷第八套

一、填空题（每小题2分，共2×10＝20分）. 1、离散程度.

n1*2S2

n2、S＝.

3、期望；方差. 4、似然.

5、点估计，区间估计. 6、大，长，降低，升高. 7、. 8、错误.

9、小概率事件实际不可能发生原理.

10、＝i1

2n(i)22～(n).

2二、简答题（每小题2分，共2×10＝10分）.

u1、

2＝u0.025＝1.96.

22(0.01；14)02、＝.01(14)＝29.141.

10)＝t0.05(10)＝1.8125 3、t(0.05；10,15)＝F0.05(10,15)＝2.54 4、F(0.05；25、E＝,D＝nn122*2Sn，E＝，ES＝.

2ˆ2最有效. 6、ˆ＝n＝n. ˆ＝，所以 p7、因＝E＝np，所以p＝n. 又ˆ8、t检验法. 9、u检验法. 10、t检验法.

三、应用题（每小题10分，共4×12＝48分）

1、解 设(x1，x2，„，xn)为(1，2，„，n)的任一组样本值，则样本(1，2，„，n)的联合分布列为

P(1=x1，2=x2，„，n=xn)＝

P(=x)

i1iin＝

i1nnxixi!e

＝

xii1x!ii1nen.

n(x,x,,x;)12n2、解 由L＝i1nPi(xi;)知，的似然函数为

nL(x1,x2,,xn;)＝相应的对数似然函数为

(ei1xi)＝enxii1.

lnL(x1,x2,,xn;)＝

nlnxii1n.

两边对求导，并令一阶导数等于0可得

nxii1n＝0，

解之得，的最大似然估计值为

nˆ  3、解 因

＝

xi1ni1＝x.

(i14i)2＝(12.6－12.5)2＋(13.4－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(13.2－12.5)2＝1.4.

又 1－＝0.95，＝0.05，

2220＝.025(4)＝11.143，

查附表3得

21220＝.975(4)＝0.484.

故置信度为0.95的置信区间为

1.41.4 （11.143，0.484），

即（0.13，2.89）. 4、解（35.83，252.43）.

5、解 设该日生产的铁水含碳量～N（，），已知＝ 0.108, n＝9，

2则待检假设为

Ho：＝4.53, H1：≠4.53. 当Ho成立时，有统计量

4.53u＝0.108/9～N（0，1）

对于给定显著水平＝0.05，查标准正态分布函数数值表（附表2）得1.96，使得

P（|u|>1.96）＝0.05.

u2＝

4.494.53由样本观察值计算得x＝4.49，于是有 |u|＝|0.108/9|＝1.11＜1.96，

因小概率事件没有发生，故接受Ho，即在显著水平＝0.05下，可认为该

日生产的铁水的平均含碳量仍为4.53.

6、解 设该日生产的维尼纶的纤度～N（，），已知＝1.405，＝

20.048, n＝5，则待检假设为

Ho：＝0.0482，H1：≠0.0482.

22当Ho成立时，有统计量

(i1.405)222＝0.0482i1～(5).

5对于给定显著水平＝0.05，查分布临界值表（附表3）得和

222＝12.833

212＝0.83使得

2P（＞12.833）＝2，P（＜0.83)＝2.

222由样本观察值计算得，＝13.683. 于是有

2＝13.683＞12.833

因小概率事件发生，故拒绝Ho，即在显著水平＝0.05下，可认为该日生产的维尼纶的纤度的均方差不正常.

四、论述题（每小题10分，共2×6＝12分） 1、略. 2、略.

长沙理工大学模拟试卷第九套

概率论与数理统计试卷

一、填空题（每小题2分，共2×10＝20分）.

1、在进行抽样时，样本的选取必须是随机的，即总体中每个个体都有同等机会被选入样本. 因此，抽取样本1，2，„，n，要求满足下列两个特性：1）_________；2）_________. 具备这两个特性的样本称为简单随机样本，简称样本.

2、假设x1，x2，„，xn是样本1，2，„，n的一个样本值或观测值，则样本均值x表示样本值的集中位置或平均水平，样本方差S2和样本修正方差S*2表示样本值对于均值x的__________________.

3、样本方差S2和样本修正方差S*2之间的关系为__________________. 4、矩估计法由英国统计学家皮尔逊（Pearson）于1894年提出，它简便易行，性质良好，一直沿用至今. 其基本思想是：以样本平均值（一阶原点矩）

作为相应总体的____________________；以样本方差（二阶中心矩）S2或

者以样本修正方差S作为相应总体的___________________________.

*25、ˆ具有无偏性的意义是：ˆ取值因随机性而偏离的真值，但_________________即没有系统的偏差.

ˆˆˆˆ6、设1和2都是无偏估计量，如果________________，则称1比2有效.

7、在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度直接有关. 一般来讲，信度较大，其置信度（1－）较小，对应置信区间长度也较短，此时这一估计的精确度升高而可信度降低；相反地，信度较小，其置信度（1－）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这一估计的精确度_________而可信度_____________.

8、假设检验中统计推断的唯一依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第一类错误为__________________，第二类为__________________.

9、常用的假设检验方法有四种，分别为1）__________________、2）__________________、3）__________________、3）__________________.

10、对于单正态总体，当均值已知时，对总体方差 的假设检验用统计量及分布为____________________________________.

二、简答题（每小题2分，共2×10＝10分）.

1、若＝0.05，求答：

2(0.01；14)2、若＝0.01，k＝14，求.

2u2.

答：

10). 3、若＝0.05，k＝10，求t(0.05；答：

10,15). 4、若＝0.05＜0.5，k1＝10，k2＝15，求F(0.05；答：

5、设1，2，„，n是的样本，且～ N(,)，试求：E、D、ES.

2*2答：

6、对于总体有E＝，D＝，1，2，3是的样本，下列统计量

2中哪一个最有效？

411ˆ3＝3(1＋2＋3） ˆ2＝31－32，ˆ1＝1，答：

7、设总体服从二项分布b(n，p)，p为待估参数，(1,2,,n)为的

一个样本，求p的矩估计量. 答：

8、已知一批元件的长度测量误差服从N（，），，为未知参数，

22现从总体中抽出一个容量是6的样本值

-1.20，-0.85，-0.30，0.45，0.82，0.12，

求，的最大似然估计值.

2答：

9、已知洛阳轴承厂生产的滚珠直径～N（，），其中为已知，为

22待估参数. 从某天生产的滚珠中随机抽取一个样本1，2，„，n，对于事先给定的信度，试写出总体均值的置信区间.

答：

10、已知洛阳轴承厂生产的滚珠直径～N（，），其中为未知知，22为待估参数. 从某天生产的滚珠中随机抽取一个样本1，2，„，n，对于事先给定的信度，试写出总体均值的置信区间.

答：

三、应用题（每小题10分，共4×12＝48分）

1、已知某厂生产的电子零件的长度～N（12.5，），从某天生产的零件

2中随机抽取4个，测得长度为（单位：mm）

12.6 13.4 12.8 13.2，

求的置信度为0.95的置信区间.

2、已知某种木材横纹抗压力的实验值～N（，），对10个试件作横纹

22抗压力试验，得数据如下(单位：公斤/平方厘米)：

578 572 570 568 572 570 570 596 584 572.

试对进行区间估计(＝0.05).

2

3、已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.53，0.1082)，某日随机测定了9炉铁水，含碳量如下：

4.43 4.50 4.58 4.42 4.47 4.60 4.53 4.46 4.42 若已知总体方差无变化，能否认为该日生产的铁水的平均含碳量仍为4.53（＝0.05）?

4、已知某涤纶厂生产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常情况下服从正态分布N（1.405，0.0482），某日随机测定了5根纤维，纤维度如下： 1.32 1.55 1.36 1.40 1.44 问这天维尼纶纤度总体的均方差是否正常（＝0.05）?

四、论述题（每小题10分，共2×6＝12分）

1、假设检验的基本原理是什么？

2、请你谈谈学习数理统计的意义？

长沙理工大学模拟试卷第九套

一、填空题（每小题2分，共2×10＝20分）. 1、1）独立性等；2）代表性. 2、离散程度.

2

3、S

n1*2Sn＝.

4、期望；方差. 5、Eˆ＝.

ˆˆ6、D1＜D2.

7、大，长，降低，升高. 8、“弃真”，“取伪”.

29、1）U检验法、2）t检验法、3）检验法、3）F检验法.

n210、＝i1

(i)222～(n).

二、简答题（每小题2分，共2×10＝10分）.

u1、

2＝u0.025＝1.96.

22(0.01；14)02、＝.01(14)＝29.141.

10)＝t0.05(10)＝1.8125 3、t(0.05；10,15)＝F0.05(10,15)＝2.54 4、F(0.05；25、E＝,D＝nˆ3最有效. 6、n1222*2，ES＝n，ES＝.

ˆ＝n＝n. ˆ＝，所以 p7、因＝E＝np，所以p＝n. 又ˆ18、＝6[(-1.20)＋(-0.85)＋(-0.30)＋0.45＋0.82＋0.12]＝－0.16.

12S2＝6[(-1.20+0.16)2＋(-0.85+0.16)2＋(-0.30+0.16)2

＋(0.45+0.16)2＋(0.82+0.16)2＋(0.12+0.16)2]＝0.4980.

n9、（u2，＋nu)2.

S*2)n10、（

t2S*2n，＋

t2.

三、应用题（每小题10分，共4×12＝48分） 1、解 因

(i14i)2＝(12.6－12.5)2＋(13.4－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(13.2－12.5)2＝1.4.

又 1－＝0.95，＝0.05，

2220＝.025(4)＝11.143，

查附表3得

21220＝.975(4)＝0.484.

故置信度为0.95的置信区间为

1.41.4 （11.143，0.484）， 即（0.13，2.89）.

2、解（35.83，252.43）.

3、解 设该日生产的铁水含碳量～N（，），已知＝ 0.108, n＝9，

2则待检假设为

Ho：＝4.53, H1：≠4.53. 当Ho成立时，有统计量

4.53u＝0.108/9～N（0，1）

对于给定显著水平＝0.05，查标准正态分布函数数值表（附表2）得1.96，使得

P（|u|>1.96）＝0.05.

由样本观察值计算得x＝4.49，于是有

u2＝

4.494.53 |u|＝|0.108/9|＝1.11＜1.96，

因小概率事件没有发生，故接受Ho，即在显著水平＝0.05下，可认为该日生产的铁水的平均含碳量仍为4.53.

4、解 设该日生产的维尼纶的纤度～N（，），已知＝1.405，＝

20.048, n＝5，则待检假设为

Ho：＝0.0482，H1：≠0.0482.

22当Ho成立时，有统计量

(i1.405)222＝0.0482i1～(5）.

5对于给定显著水平＝0.05，查分布临界值表（附表3）得和

222＝12.833

212＝0.83使得

2P（＞12.833）＝2，P（＜0.83)＝2.

222由样本观察值计算得，＝13.683. 于是有

2＝13.683＞12.833

因小概率事件发生，故拒绝Ho，即在显著水平＝0.05下，可认为该日生产的维尼纶的纤度的均方差不正常.

四、论述题（每小题10分，共2×6＝12分）1、略. 2、略