一元函数极限及其求法综述

摘 要：本文简单介绍了一元函数极限的基本概念及其性质并系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量、泰勒公式、洛必达法则、迫敛法则、四则运算法则、双侧极限、综合方法等9种常用求一元函数极限的方法,并结合实际问题对各个方法进行了详细的举例说明.

关键词：极限;方法;函数;泰勒公式

A Limit of Binary Function and its Method Summary

Abstract: This paper briefly introduces the basic concept of limit of binary and its properties are introduced in a systematic way using the definition, two important limits, infinitesimal, Taylor formula, L’Hospital Rule, forced convergence rule, four arithmetic operations, bilateral limit, the synthetic method of nine kinds of commonly used for a limit of binary function method, and the combined with the practical problems of various methods were detailed examples.

Key Words: limit; method; function; Taylor formula

0 前言

高等数学是以函数为研究对象,以极限理论和极限方法为基本方法,以微积分学为主要内容的一门学科,极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位.高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化,如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的,离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值,因此极限运算是高等数学的基本运算.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限,又由于极限运算分布于整个高等数学的始终,许多重要的概念是由极限定义的.极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具.反过来,我们也可以利用这些概念来求一些极限,所以运算方法繁多.针对这种情况,本文通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法.

1 一元函数极限的基本概念

1.1[1] 一元函数极限的定义

(1) 函数f(x) 在点xa的空心邻域U（a)有定义,A是一个确定的数,若对

0 1

0,存在0,使得当0xa时,都有f(x)A,则称x趋向于a时极限存在,

且以A为极限,记作limf(x)A.

xa(2) 函数f(x)是U()(或U()或U())上的函数,A是一个确定的数,若

0,总存在M0,使得当xM（或xM或XM）时,都有f(x)A,则

称函数f(x)当x趋于（或或）时极限存在,并以A为极限,记为limf(x)Ax+（或limf(x)A或limf(x)A.

xx00(3) 若函数f(x)在U(a,')（或U(a,')）内有定义,A是一个确定的常数,若

0,总存在0,使当axa(或axa)时,都有f(x)A,则称函数

f(x)在x趋于a(或a)时右（或左）极限存在,并以A为右（或左极限）,记作

xa+limf(x)A(或limf(x)A).有时也记作f(a0)limf(x)或f(a0)limf(x).

xaxaxa1.2 一元函数极限的性质

(1) 唯一性 若limf(x)存在,则它只有一个极限.

xa(2) 局部有界性 若limf(x)存在,则f(x)在a的某个空心邻域U0(a)内有界.

xa(3) 局部保号性 若limf(x)A0(或0),则对任意正数r(0rA),存在

xaa的某一空心邻域U0(a),使对xU0(a),恒有f(x)r0或f(x)r0.

(4) 保不等式性 若limf(x)A,limg(x)B,且有'0,f(x)g(x),

xaxaxU0(a,')成立,则AB,即limf(x)limg(x).

xaxa(5) 迫敛性 若limf(x)limg(x)A,且有'0,f(x)h(x)g(x),

xaxaxU(a,'),则limh(x)A.

xa2[2] 一元函数极限的求解方法

2.1 利用定义

利用数列极限的定义求出数列的极限.设xn是一个数列,a是实数,如果对任意给定的0,总存在一个正整数N,当nN时,都有xna,我们就称a是数列

2

xna. xn的极限.记为limn例1[2] 按定义证明lim10. nn!解 令

11,则让n即可, n111 n!n(n1)(n2)1n1存在N,当nN时,不等式

111 n!n(n1)(n2)1n成立,所以lim10. nn!2.2[3] 利用两个重要极限

两个重要极限公式： (1) limsinx1limxsin1

x0xxx11x (2) lim(1)lim(1x)xe

xx0x在这一类型题中,一般也不能直接运用公式,需要恒等变形进行化简后才可以利用公式.

(1) 利用limlimsinx1来求极限

x0xsinx1的扩展形为：令gx0,当xx0或x时,则有

x0xsing(x)sing(x)1或lim1.

xx0xg(x)g(x)lim例2[4] 求limsinx .

xx解 令tx,则sinxsin(t)sint,且当x时t0 故

limsinxsintlim1.

xxt0t1(2) 利用lim(1)xe来求极限

xx 3

11x1lim(1)e的另一种形式为lim(1)e.事实上,令.

0xxx11xx0.所以elim(1)lim(1)e.

x0x例3 求lim(12x)的极限.

x0[5]

1x112x2解 原式=lim(12x)(12x)xe2. x0利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限.一般常用的方法是换元法和配指数法. 2.3 利用无穷小量

利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量,无穷小量与无穷大量互为倒数的关系,以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等.

无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量.如果

xx0limf(x)0,g(x)在某区间(x0,x0),(x0,x0)有界,那么limf(x)g(x)0.这种

xx0方法可以处理一个函数不存在但有界,和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题.

例4[5] 求lim 解 因为lim1sinx的值. xx211limsinxlimsinx 是无穷小量,而是有界变量,所以xxx2x2x还是无穷小量,即lim2.4 利用泰勒公式

1sinx=0. xx2泰勒展开式：若f(x)在x0点有直到n1 阶连续导数,那么

f//(x)2f(x)nfxf(0)f(0)xxxRn(x)2!n!

n/fn1()n1Rn(x)x(n1)!(其中在0与1之间)

由于泰勒公式的特殊形式,对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用.

4

例5 求lim(5x5x45x5x4).

x01111515 解 原式=limx(1)(1)(令t=)

xxxx111to(t)1to(t)11155=2. 55 =lim(1t)(1t)=

t0t5t2.5 利用洛必达法则

0法则一：型

0(1) limf(x)=limg(x)=0;

xx0xx0(2) 在点x0的某空心领域U0(x0)内两者都可导且g'(x)0; (3) limxx0f(x)g(x)A(A可为实数也可为或)则limxx0x12f(x)g(x)limxx0f'(x)g(x)'A.

例6 求lime(12x).

x0ln(1x2)解 利用ln(1x2)~x2(x0)得

lime(12x)e(12x)e(12x)limlim==x0x0x0x22xln(1x2)e(12x)x02x32x12x12x12

=lim21. 2法则二：

xx0型 xx0(1) limf(x)=limg(x)=;

(2) 在点x0的某右领域u0（x0）内两者都可导且g'(x)0; (3) limxxf'(x)g(x)'0=A (A可为实数也可为或)则limxxf(x)g(x)0limxxf'(x)g(x)'A.

0例7 求limlnx.

xx解：原式= lim(lnx)1lim0.

x(x)xx5

其它类型不定式极限

不定式极限还有0,1,00,0,等类型.这些类型经过简单的变换,都可

0以化为型和型的不定式极限.

0xlnx. 例8 求limx0解 这是一个1型的不定式极限,作恒等变形xlnx=

lnx,将它转化为型的不1x定式极限,并用洛比达法则得到

1

lnxxlim(x)0limxlnxlimlim. x0x01x01x02xx 2.6 利用迫敛法则

定理 设limf(x)limg(x)A,且在某Uo(x0,')内f(x)h(x)g(x),

xx0xx0则limh(x)A.

xx01例9[5] 求lim的极限. xx0x1解 1x1x. 且lim(1x)1 由迫敛性知

x0x1limx1. x0x 做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数,并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限. 2.7 利用四则运算法则

极限的四则运算性质：

若{an}与对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. {bn}为收敛数列,则{an-bn},{an+bn},{an.bn}也都是收敛数列且有

lim{an±bn}=liman±limbn； lim{an.bn}=liman.limbn.

nnnnnn 6

特别当bn为常数c时有lim{an+c}=liman+c limcan=climan 若再假设b≠

nnnnaa0,则{n}也是收敛数列,且有lim{n}=liman/limbn.

nbnnbnn通常在这一类型的题中,一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算.首先对函数施行各种恒等变形.例如分之,分母分解因式,约去趋于零但不等于零的因式；分之,分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项.

1aa2Lan例10 求lim,其中a1,b1.

n1bb2Lbn解 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限

1an11bn12n1aaLa,1bbLb,

1a1b2n1an1lim原式=n1alim1bn1bn111a11b1b. 1a2.8 利用双侧极限

这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限,首先必须考虑分段点的左、右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分界点处的极限存在,否则极限不存在.

1xsin,x0例11 设f(x),求f(x)在x0的极限 x1x2,x0 解 由于limxsinx0121x1 1 limx0x则

x0limf(x)limf(x)1x0

故 x0limf(x)1。

1cosx,x0x2例12[5] 设f(x)5,x0求limf(x).

x0x20costdt,x0x 7

f(x)lim解 f(00)limx0x01cosx1 2x2f(00)limf(x)limx0x0x0cost2dtx1

因f(00)f(00),所以limf(x)不存在.

x02.9 利用综合方法

虽然以上已将讲解了八种求解一元函数极限的方法,但是有些题目并不能单一的利用一种方法解答出来,这是就要灵活综合运用以上八种方法,也就是运用综合方法求解一元函数极限.

例13 设函数f(x)有二阶连续导数,且limx0f(x)0,f''(0)4, xf(x)lim1. x0x1xf(x)解 因为1ex1x1xln(1f(x))xx,而

'(x)1xff(x)xf'(x)f(x)f(x)lim1lim2 lim22x0x0x0f(x)xxx1xf(x)2e所以有lim1. x0x1x1例14 求极限limne(1)n,但不允许用洛必达法则.

nn解 令

1x,则nx0,于是有 n1e(1x) limne(1)nlimnx0nx而(1x)e1xln(1x)x1xex1o(x)2,所以有

1xxo(x)21e(1x)1elimne(1)nlimelimnx0nx0xx

8

x1(1o(x))e2 elim.

x0x2结束语

以上方法是在数学分析里求解一元函数极限的重要方法.在做求解一元函数极限的题目时,仅仅从表面掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的,必须要细心分析仔细甄选,选择出适当的方法，起到事半功倍的效果.

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