《机械工程测试技术》复习题
第五章习题
、选择题
1.两个正弦信号间存在下列关系：同频（
。相关，不同频（
。相关。
A. 一定 B. 不一定 C. 一定不
2.自相关函数是一个（ 。函数。 A.奇
B.
偶
C.
非奇非偶
D. 三角
)
定周期的不衰减，则说明该信号（ 3.如果一信号的自相关函数 RxC ）呈现一 A.均值不为0
B.
含有周期分量
C.
是各态历经的
）o
4. 正弦信号的自相关函数是（ A.
）,余弦函数的自相关函数是（
同频余弦信号 B.脉冲信号 C.偶函数 D.正弦信号
）是正弦信号的（ ）o 可能 B. 不可能 C. 必定 D. 自相
5. 经测得某信号的相关函数为一余弦曲线，则其（ A. 关函数
6. 对连续信号进行采样时，采样频率越高，当保持信号的记录的时间不变时，则（） A.泄漏误差就越大 C.采样点数就越多
B. D.
量化误差就越小 频域上的分辨率就越低
）。
7. 把连续时间信号进行离散化时产生混叠的主要原因是（ A.记录时间太长 B. C.记录时间太短 D.
采样间隔太宽 采样间隔太窄
）
8. 若有用信号的强度、信噪比越大，则噪声的强度（ A.不变 B. 越大 C. 越小 D. 不确定 9. A/D转换器是将（ A.随机信号
B.
。信号转换成（。信号的装置。
模拟信号 C.周期信号 D.数字信号
10. 两个同频方波的互相关函数曲线是（ ）o A.余弦波 B. 方波 C. 三角波
11. 已知x （t。和y （t。为两个周期信号，T为共同的周期，其互相关函数的表达式为
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《机械工程测试技术》复习题
（）o
A.
1 2T 0
T
x（t） y（t • ）dt
B.
1
T
2T 0
x（t • ）y（t）dt
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《机械工程测试技术》复习题
1 T
C
. J0⑴川
X
D. — T x(t)y(t - .)dt
)dt
2T .0
12.
关函数为( A.周期信号
B. 常数 C. 零
两个不同频率的简谐信号，其互相)
0.7 A. fs =你 B. fs 2 fh C. fs ：： J D.
13. 数字信号处理中，采样频率fs与限带信号最高频率f h间的关系应为()
14.正弦信号x(t)二xo sin的自相关函数为() A. x02 sin ■
B. Xcos 肌
2
2 。
C .
X。
2
2
sin ⑷ E D
X。 cos ・•
2
」当t > 0. a > 0 e
15.函数 f(t)二 J
当t < 0 o
的自相关函数为 ()。
1
：1
e-
B. 1 A
2二 2： 2 2 二
1
亠 e
e 1 C. — D.
16. 已知信号的自相关函数为3 cos A..9
B.3 C.
)。
B. D.
,3
，则该信号的均方根值为()
D.6
17. 数字信号的特征是( A.时间上离散，幅值上连续 C.时间上连续，幅值上量化
时间、幅值上都离散 时间、幅值上都连续
)。
18. 两个同频正弦信号的互相关函数是( A.保留二信号的幅值、频率信息
B. 只保留幅值信息
C.保留二信号的幅值、频率、相位差信息 19. 信号x (t。的自功率频谱密度函数是 Sx( f )() A. x (t。的傅氏变换
B. x (t。的自相关函数Rx()的傅氏变换 C. 与x (t的幅值谱Z (f)相等
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《机械工程测试技术》复习题
20. 信号x (t。和y (t。的互谱Sxy(f)是()。 A. x (t )与y (t)的卷积的傅氏变换 B. x ( t )和y (t)的傅氏变换的乘积 C. x(t )?y(t)的傅氏变换 D. 互相关函数Rxy ()的傅氏变换
二、填空题
1. _________________________________________________________在相关分析中，自相关函数 RxG)，保留了原信号x (t )的 _____________________________ 信息，丢失了— —信息，互相关函数Rxy G )则保留了 _________信息。
2•信号x ( t )的自相关函数的定义式是Rx(E = ________ 互相关函数的定义式是 Rxy G )=
3. 自相关函数Rx\")是一个周期函数，则原信号是一个 ________ ;
2
4. 已知某信号的自相关函数Rx(E)=100 cos 50耽，则该信号的均方值普x = __________ 。 5. 相关分析在工业中的主要应用有 ____ 、 ______和_____ 等应用。
6. 自谱Sx(f )反映信号的频域结构，由于它反映的是 _______ 的平方，因此其频域结构特 征更为明显。
7. 在同频检测技术中，两信号的频率的相关关系可用 ____ 、 _____ 来进行概括。 9. 频率混叠是由于 ____ 引起的，泄漏则是由于 _____ 引起的。
10. 测试信号中的最高频率为100Hz，为了避免发生混叠，时域中采样间隔应小于 ______ —s。
11. 若信号满足关系式y(t) = k x(t)(式中k为常数)则其互相关系数 pxy^ ) = _ ___ 。
12. 频率不同的两个正弦信号，其互相关函数
R
xy
(忑)= ____ 。
13. 同频率的正弦信号和余弦信号，其互相关函数 Rxy “ ) = ______ 。
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《机械工程测试技术》复习题
14Sx(f).和Sy(f)分别为系统输入和输出的自谱，H( f)为系统的频响函数，贝尼们
间的关系式满足：Sy(f )= ________ 。如果Sxy(f)是它们的互谱，则Sxy(f)= ____________ 。 15. _________________________________ 当T =0时，信号的自相关函数值为 ，它也等于信号 ___________________________________ x (t )的 。 16. _______________________________ 自相关函数能将淹没在噪声中的 信号提取出来， _____________________________________ 其 保持不变，而丢失 了 _____ 信息。
17采样定理的表达式是 ____ ,其目的是为了避免信号在频域内发生混叠现象。 生在 _____ 频率处。
18. 巴塞伐尔说明了信号在时域中计算的总能量等于在频域中计算的总能量，其数学表 达式为 _____ 0
19. 对周期信号进行 ___ 截断，这是获得准确频谱的先决条件。
20. 信号经截断后，其带宽将变为 ____ ，因此无论采样频率多高，将不可避免地发生 _____ 从而导致 _____ 0
混叠发
参考答案
一、 选择题
1.A;C 2.B 3.B 4.A
;A 5.C ;D 6.C 7.B 8.C 9.B
;D 10.C 11.C 12.C 13.B
14. B 15.D 16.C 17.B 18.C 19.B 20 .D
二、 填空题
1. 幅值与频率；相位；幅值、频率、相位差
1 T 1 T
2. lim ——f x (t ) x (^ T ) d t ; lim ——f x(t) y(^i)dt
TT^T?0
TT^T'O
3. 同频率的周期信号； 4. 100
5. 同频检测；相关滤波；信号成分类别的识别 6. Z(f )
2
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《机械工程测试技术》复习题
7. 同频一定相关；相关一定同频 9. 采样频率过低；信号截断 10. 0.005s 11. ± 1 12. 0 13. 0
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《机械工程测试技术》复习题
2
14.
|H ( f ) S x ( f )； H ( f ) .S x ( f )
2
15. 最大值；均方值弓x 16. 周期；频率；相位 17. fs 2 f m ； f s / 2
2
18. x 2
(t ) dt
J _oO
(f ) df
19. 整周期
20. 无限宽；混叠；误差
典型例题
例1.求余弦信号X(t)二X COS •，t的绝对值J ix和均方根值xrms 解：绝对均值为
1
T
4 1 = (0
dt丨一
x(t)
T
1 T 2 T
4
= ----
T *0
X co
50 t d t
：X co s td t
T
-4
T
2 X 4 T - ■- sin
2
T
X 二 0.6 3 6 X
_
4
均方根值为
x rm s
.2
1
r x2
① =—
弋
0
X
(t)dt
T
1 T
2
X 2 T 2
= ------ co s t) d t =
T
峪
0
(X
T
0
co s
td t
X
2
f — (1 X
2
0 2
co s 2 t) d t =
所以 rm
0.7 例2.已知某信号的自相关函数Rx( ) =100 cos100「，试求：(1)该信号的均值2
(2)均方值x ；(3)功率谱Sx( f )。第7页共13页
； \\
《机械工程测试技术》复习题
解：(1)由于Rx( ) =100 coslOO二.为周期不衰减的函数，则原信号x(t)应为同频率的 正弦信号，即x(t)=Asin 100二t。根据信号均值的定义得
A sin 100 二tdt 二 0
(2) 根据自相关函数的性质可知
.2
所以 x Rx (0)
=100 cos(100 二 t 0)
二 100
(1)
自相关函数与自谱是一对傅立叶变换对关系, 并且
1
F (cos 2 二f°t)
[ ;.( f f。) f -
fo)]
2
式中
fo =50
Sx( f )二 F[Rx(
)]
=F [100 cos100
二］
-、叮■/ f - \"L.
例3. 已知某信号的自相关函数为Rx (■) 64 、. 2
^2.)，
n(50
si
试求该信号的均方值T
均方根值 x 。rm
解：因为 并且
(.)二
6 4 2 sin (5 0、2 .) T
6 40 0
sin (5 0 冷 2 .) 「2
0 \\ 2 .) ■-
1
x
Rx(0 ) =lim 6 400 sin (5 r°
6 400
50^2.
x
rm
=80
例4.已知某信号的自相关函数为
(-)
1
4
e
_2 a\"，cos2J!foE (a A0)，求它的自
功率谱密度函数
x
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m 2
x
及
《机械工程测试技术》复习题
解：根据自谱定义:
Sx(f )二
J-oO
\"Rx( ) ed .
T e” e」2f d
：:4
-0 e(2a」2\"d.」
4 . 1 ( 4 2 a-
1 「.
F(_e「)= 2 2 Rx（.）
4 4 a 4 二 f
4
0
%-
(2aj2f)
''-d
a
解：由上例知
例5.某信号的自相关函数为
并且，COS 2节。.的傅立叶变换为
1
F （cos 2f .）
［、:（ f • f。）• ：.（ f 一 f。）］
2
两信号在时域中的乘积的傅立叶变换，等于该信号的傅立叶变换在频域中的卷积，即:
1_2aM 1 _2 a 17
F ( e 3 4 5 cos 2 二fo • ) = F ( e 1 J ■■ F (cos 2 二fo •) 4 4
所以，该信号的自谱为:
a
）］S（f）
xSa2 «「2）仁）\"仁
1
a
其自谱如下图所示
4a 4 二(f
2 2
fo)2
例6.已知均值为零的信号
求Rx（ ）的表达式（式中,
x1
（t）的自相关函数为R x’（），则当x（t）二
J
x - x （t）时,
J
x为x（t）的直流分量）
4a 4 r： ( f
R 2a j2 二f)二 4a2
4
= _e'a • cos2%.求信号的自谱，并画出它们的图形。
4
2
2
(2 nf )2
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《机械工程测试技术》复习题
解：按定义
R
x (
) = lim
1 T
x ( t )
x (t . ) d t T
T
、
：：2 T 1
J _T
T
= lim
x i ( t )][x
x i ( t
. )] d t
T
> 2 T
J
■- —T
「
=卩2
X
R x. ,(
-
)
例7.测得某信号的自相关函数图形如下所示，试分析该图形是Rx(.)图形还是RxyC ) 图形？为什么？从中可获得该信号的那些信息?
互相关
函数RxyC)是非偶函数它在Rxy (0)也不一定为最大。因为图中图形为非偶函数图形， 且R(0)=最大，所以，该图形是互相关函数RxyC )的图形。由图中还可获知，信号x(t) 与y(t)是两个同频的周期信号，圆频率为 ①；均值为零。对应的信号幅值为 X。，y。两信号相位差©。用公式表示为
第10页共13
页
，
《机械工程测试技术》复习题
例8.下图所示两信号x t和y t ,求当T =0时，x t和y t的互相关函数值Rxy(O) 并说明理由。
X
解：由于方波信号y t的傅立叶级数展开式为
4
x(t) (sin - .Ot
JT
1 3
sin 3 •・Ot
1 5
sin 5,・Ot •…)
仅有基频分量的频率■ ' o与x t的频率一致。根据同频相关，不同频不相关的原则，在
4
互相关函数中将仅存基频「0成分。并且由图示可知， 基频分量-si n,t与
31
x(t)二cos ,'ot间存在有90的相位差。所以互相关函数的表达式如下:
xo yo - — cos( 「 2
o
RxyC ) 90 )
当T =0时，它们的互相关函数值为零，即
Rxy (0)二 0
例9.信号x t由两个频率和相位角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为 x(t)cos( 7 •弓)• A2 cos(二2)，求该信号的自相关函数 RxC)。 解：设
x(t)二 y(t) z(t) y (t)二 A’ co s( • it z (t)二 A 2 co s( ，21
“)
v 2
)
则x t的自相关函数可表示为
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《机械工程测试技术》复习题
Rx ( J = Ry ( ■ ) R yz ( ■ ) Rzy ( ■ ) Rz C )
因为■ 1
2
则
Rzy ( ) = 0 ； Ryz ( J = 0
所以
Rx( ) = Ry( ) Rz()
A2
1 2
cos - 2 M
A2
cos ，2
例10.下图所示的延时环节，输入为x t ,输出为y(t) =x(t_T)。试求x t的自相关函相关函数R xy ()之间的关系。
解：因为
y(t) =x(t -T) 所以 x(t) =y(t T) 根据定义:
Rx( ) = lim — x(t)x(t )dt
W^2T 」
=lim
1 T
x(t) y(t T
)dt
T
-'2T ： 二
Rxy( T ) 所以 Rx( Rxy C T )
例11.应用巴塞伐尔定理求
sin c2 (t )dt的积分值
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数Rx( •)与其互
《机械工程测试技术》复习题
解：由于抽样函数sinc’t的频谱是窗函数，如下式所示
]
Wc
F (sin c，ct) =—[u(心亠心
c
)—u(门•门 c)
当• • c =1时则有
F (sin ct)二——[u( •
.，c
JT
1) —u( • —1)]
窗函数的图形如下图所示
根据巴塞伐尔定理：
2
Jx (t)dt = J丿Z (co) d ⑷
CO 2
则有：
f sin c (t)dt = [ JT d co = 2JI
.1
oo 2
1
2
2
r
例12.某一系统的输入信号为x(t)，若输出信号y(t)与输入信号x(t)波形相同，并且输 入的自相关函数Rx()和输入-输出的互相关函数的关系式为 Rx(.)二Rxy(「T)如下图所 示，试说明该系统起什么作用？
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页
《机械工程测试技术》复习题
解：因为 y(t)与x(t)的波形形状相同，可设 y(t) =Ax (t To)
式中，A ,To为常数。则有 T
1
」x(t)x(t . )dt Rx ( ) = [im -
T
T=«2 T
又因为
R
xy ( ■)二 lim — 1 lim T — 2T
T
1
x (t) y (t . )dt
x (t) Ax (t To …£ )dt
Rx(.)二 Rxy ( . T )
lim
T
1
T _T
一 ’ 2 T
1 lim J，2 T
x(t)x(t . )dt
T
[TX(t)Ax(t+T0 +1 +T)dt
恒成立, 显然可得 A =1 ,T0 = -T
1 T
jX(t) x(t )dt lim - Rx()
T
r ：2T
1 所以 =lim [讥 务住)][J
T-,：2T J
.2
二呎 Rx,)
该系统为一延时系 统。 例13.对二个正弦信号人(t)二cos
fs =4Hz。求三个米样输出序列,
y(t) =x(t -T)
x,t )]dt
T)
二 x(t) 、：(t —
h(t)二、：(t -T)
2 二t,, X2 (t)二 cos 6 二t , X3 (t)二 cos10 二t 进行采样，采样频
率
比较这三个结果并解释频率混叠现
象。
解：时域采样脉冲序列
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《机械工程测试技术》复习题
x(t)的米样序列为
x(n) = x(t) g (t)
QO
=x(t) '
n =-_
;.(t- nT )
：：
二 x(nT )
1
x ( n ) = co s( 2 兀’ i
当采样频率fs =4Hz时，则采样间隔Ts
4
所以
A.
xi(n)
A.
X2 (n)
A.
X3 (n)
Xi( n)
1 JI
=1 n) =cos(2 二 —n) = cos —n
4 4 2 1 1 3 二 n) =cos(6 二 —n) = cos —二 n
4 2 X?( 4
1 1 5 二 X3 n) =cos(10 二 —n) = cos ;—in
4 4 2 =x2( n)= X3( n)
x
(
1
可见不同频率的信号经过相同频率米样，其结果却一样了 斯特采样定理，发生了频率折叠。
原因在于后两者不满足奈奎
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