因式分解技巧

因式分解的常见变形技巧

技巧一 符号变换

有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。

体验题1

(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)

指点迷津 y-x= -(x-y)

体验过程 原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y)

=(x-y)(m+n-m+n)

=2n(x-y)

小结 符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。

实践题1 分解因式：-a2-2ab-b2

实践详解 各项提出符号，可用平方和公式.

原式=-a2-2ab-b2

=-( a2+2ab+b2)

= -(a+b)2

技巧二 系数变换

有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。

体验题2 分解因式 4x2-12xy+9y2

体验过程 原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2

=(2x -3y)2

小结 系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。

实践题2

12xyy2x39 分解因式4实践详解

xyxy••原式=(2)2+2.23+(3)2

xy=(2+3)2

技巧三 指数变换

有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。

体验题3

分解因式x4-y4

指点迷津 把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。

体验过程 原式=(x2)2-(y2)2

=(x2+y2)(x2-y2)

=(x2+y2)(x+y)(x-y)

小结 指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易

看出各项间的关系。

实践题3 分解因式 a4-2a4b4+b4

指点迷津 把a4看成(a2)2，b4=(b2)2

实践详解 原式=(a2-b2)2

=(a+b)2(a-b)2

技巧四 展开变换

有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。

体验题4 a(a+2)+b(b+2)+2ab

指点迷津 表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。

体验过程 原式= a2+2a+b2+2b+2ab

= a2+ b2+2a+2b+2ab

= a2+ b2+2(a+b+ab)

小结 展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式， 当于重新分组。

实践题4 x(x-1)-y(y-1)

指点迷津 表面上看无法分解因式，展开后试试：x2-x-y2+y。然后重新分组。

实践详解 原式= x2-x-y2+y

=(x2-y2)-(x-y)

=(x+y)(x-y)-(x-y)

=(x-y)(x+y-1)

技巧五 拆项变换

有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。

体验题5

分解因式3a3-4a+1

指点迷津 本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而一次项的系数为-4，

提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a试试。

体验过程 原式= 3a3-3a-a+1

=3a(a2-1)+1-a

=3a(a+1)(a-1)-(a-1)

=(a-1)[3a(a+1)-1]

=(a-1)(3a2+3a-1)

另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。

原式=3a3-4a+4-3

=3(a3-1)-4(a-1)

=3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)

=(a-1)(3a2+3a+3-4)

=(a-1)( 3a2+3a-1)

小结 拆项变化多用于缺项的情况，如整式3a3-4a+1，最高次是三，其它的项分

别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。

实践题5 分解因式 3a3+5a2-2

指点迷津 三次项的系数为3，二次项的系数为5，提出公因式a2后。下一步没法

进行了。所以我们将5a2拆成3a2 +2a2,化为 3a3+3a2+2a2-2.

实践详解 原式=3a3+3a2+2a2-2

=3a2(a+1)+2(a2-1)

=3a2(a+1)+2(a+1)(a-1)

=(a+1)(3a2+2a-2)

技巧六 添项变换

有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后在考虑用其它的方法。

体验题6 分解因式x2+4x-12

指点迷津 本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配

成完全平方式再说。

体验过程 原式= x2+4x+4-4-12

=(x+2)2-16

=(x+2)2-42

=(x+2+4)(x+2-4)

=(x+6)(x-2)

小结 添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整

式，添项的基本目的是配成完全平方式。

实践题6 分解因式x2-6x+8

实践详解 原式=x2-6x+9-9+8

=(x-3)2-1

=(x-3)2-12

=(x-3+1)(x-3-1)

=(x-2)(x-4)

实践题7 分解因式a4+4

实践详解 原式=a4+4a2+4-4a2

=(a2+2)2-4a2

=(a2+2+2a)(a2+2-2a)

=(a2+2a+2)(a2-2a+2)

技巧七 换元变换

有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。

体验题7 分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

指点迷津 直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整体考虑。

体验过程 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1

=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1*

令x2+5x=m.

上式变形为(m+4)(m+6)+1

=m2+10m+24+1

=(m+5)2

=(x2+5x+5)2

*式也可以这样变形，令x2+5x+4=m

原式可变为：

m(m+2)+1

=m2+2m+1

=(m+1)2

=(x2+5x+5)2

小结 换元法常用于多项式较复杂，其中有几项的部分相同的情况下。如上题中的x2+5x+4与x2+5x+6就有相同的项 x2+5x.，换元法实际上是用的整体的观点来看问题。

实践题8 分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9

指点迷津 将x(x+5)结合在一起，将(x+2)(x+3)结合在一起..

实践详解 原式=[x(x+5)][(x+2)(x+3)]+9

=(x2+5x)(x2+5x+6) +9

令x2+5x=m

上式可变形为

m(m+6)+9

=m2+6m+9

=(m+3)2

=(x2+5x+3)2

要想熟练掌握这些技巧，还需要同学们结合平时的练习去体验我们所讲的方法和思路。