圆心角定理

(弧、弦、圆心角关系定理)

基本内容：

1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 3、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

在理解时要注意：

⑴前提：在同圆或等圆中；

⑵条件与结论：在①两条弧相等；②两条弦相等；③两个圆心角相等中，只要有一个成立，则有另外两个成立。

基本概念理解：

1．在同圆或等圆中，若①④

的度数等于

；②

的长度＝

的长度，则下列说法正确的个数是（ ）

所对的圆心角；③

和

是等弧；

所对的圆心角等于所对的弦心距。

C．3个

所对的弦心距等于A．1个

B．2个 D．4个

2．如图，在两半径不同的同心圆中，AOBAOB60，则（ ）

A．C．

的度数=

B．的长度=

（2题图）

的度数 D．

的长度

3．下列语句中，正确的有（ ）

（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；

（3）长度相等的两条弧是等弧； （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

4．已知弦AB把圆周分成1:5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数为 ． 5．在⊙O中，

的度数240°，则

的长是圆周的 份．

概念的延伸及其基本应用：

1．在同圆或等圆中，如果圆心角BOA等于另一圆心角COD的2倍，则下列式子中能成立的是（ ）

2．在同圆或等圆中，如果A．AB2CD

3．在⊙O中，圆心角AOB90，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（ ）

A．42 B．82

C．24 D．16

，则AB与CD的关系是（ ）

B．AB2CD C．AB2CD D．ABCD

4．在⊙O中，两弦ABCD，OM，ON分别为这两条弦的弦心距，则OM，ON的关系是（ ） A．OMON

B．OMON C．OMON D．无法确定

5．已知：⊙O的半径为4cm，弦AB所对的劣弧为圆的弦心距为 cm． 6．如图，在⊙O中，AB∥CD，则∠COD的度数为 ．

的度数为45°，

1，则弦AB的长为 cm，AB的3 A C O B D 典型例题精析：

例题1、如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求

例题2、如图，已知：在⊙O中，并说明理由.

=2

和

（6题图）

的度数.

OCBDA（例题1图）

，试判断∠AOB与∠COD，AB与2CD之间的关系，

CDBOC'A（例题2图）

例题3、如图，已知：AB是⊙O直径，M、N分别是AO、BO的中点，

CCM⊥AB，DN⊥AB，求证：

=.

AMODNB（例题3图） 的度数为40°，

例题4、如图，C是⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若求

的度数．

DAOCEBF（例题4图）

例题5、如图，在⊙O中，直径AB垂直于CD并交CD于E；直径MN交CD于F，且

FOFD2OE，求

的度数.

（例题5图）

例题6、已知：如图，M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点，

ABCD，求证：AMNCNM.

（例题6图）

例题7、如图，已知⊙O中，

，OB、OC分别交AC、

DB于点M，N，求证：OMN是等腰三角形.

例题8、如图，已知AB为⊙O的弦，从圆上任一点引弦CDAB，作OCD的平分线交⊙O于P点，连接PA,PB. 求证：PAPB.

（例题7图）

作业：

1．已知⊙O的半径为R，弦AB的长也为R，则AOB=_________，弦心距是_______ 2． 在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的

1，圆的半径为2cm，则AB=_________ 33．圆的一条弦把圆分为度数的比为1:5的两条弧，如果圆的半径为R，则弦长为______，该弦的弦心距为__________

4．如图，直径ABCD，垂足为E，AOC130，则_______，

5．在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中，只有一条对称轴的几何图形是________

6．⊙O中弦AB是半径OC的垂直平分线，则7．已知⊙O的半径为5cm，

的度数为_______

的度数为________

的度数为

的度数是120，则弦AB的长是________

8．如果一条弦将圆周分成两段弧，它们的度数之比为3:1，那么此弦的弦心距的长度与此弦的长度的比是________

9．已知：在直径是10的⊙O中，的度数是60°．求弦AB的弦心距．

10．如图，⊙O内两条相等的弦AB与CD相交于P，求证：PBPD

11．如图，⊙O1和⊙O2是等圆，M是两圆心O1O2的中点，过M任作一直线分别交⊙O1于A，B，交⊙O2于C，D，求证：

12．如图，已知⊙O的直径AC为20cm，

的度数为60，求弦AB的弦心距的长。 =