2
1 2
，EF⊥OD，垂足为F． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．
解 析（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）关键是证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解； （3）如解答图，通过作辅助线构造一对全等三角形：△GCA≌△OAC，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值．
解 答解：（1）二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0）， ∴
2
16a+6×4+c=0
a-6+c=0
，解得
a=-2
c=8
，
∴这个二次函数的解析式为：y=-2x+6x+8；
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°， ∴∠DEF=∠ODA ∴△EDF∽△DAO ∴
2
EF DO
=
ED DA
． ∵
ED DA
=tan∠DAE=
1 2
， ∴
EF DO
=
1 2
， ∴
EF t
=
1 2
， ∴EF=
1 2
t． 同理
DF OA
=
ED DA
， ∴DF=2， ∴OF=t-2．
（3）∵抛物线的解析式为：y=-2x+6x+8， ∴C（0，8），OC=8．
如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点． ∵∠ECA=∠OAC，
2
在△GCA与△OAC中，
∠GCA=∠CAO AC=AC
∠COA=∠CGA
，
∴△GCA≌△OAC， ∴CG=4，AG=OC=8．
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中， ∴EM=OF=t-2，AM=OA+OM=OA+EF=4+
1 2
t，
由勾股定理得： ∵AE=AM+EM=(4+
2
2
2
1 2
t)2+(t-2)2；
在Rt△AEG中，由勾股定理得： ∴EG=
AE2-AG2
=
(4+ 1 2
t)2+(t-2)2-82 5 4 t2-44
=
∵在Rt△ECF中，EF=
1 2
t，CF=OC-OF=10-t，CE=CG+EG=
5 4 t2-44
2
2
2
+4
由勾股定理得：EF+CF=CE， 即(
1 2
t)2+(10-t)2=(
5 4 t2-44
+4)2，
解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6， ∴t=6．
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