二次函数在闭区间上最值问题研究

黄石三中

郝海滨

影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。就高中学生而言，感到困难的主要是这两类问题：一是动函数定区间，二是定函数动区间。本文以实例说明具体的求解方法，供读者参考。

一.动函数定区间

1.抛物线的开口方向影响二次函数的最值

x3,2上有最大值4，例1.已知二次函数f(x)ax22ax1在

求实数a的值。

解：因为有固定的对称轴x1，且13,2（1）若a>0时，则f(2)4即8a14（2）若a<0时，则f(1)4即a2a14

综上可知：a38或

∴a38∴a3

a3

2.抛物线的对称轴影响二次函数的最值

例2.已知二次函数f(x)x22ax1a在x0,1上有最大值2，求a的值。

解：分析：对称轴xa与区间

0,1

的相应位置分三种情况讨论：∴a1

即a2a1无解；

（1）当a<0时，f(0)1a2

f(a)a2a12（2）当0a1时，

（3）当a>1时，f(1)a2

综上可知：a1或a2

∴a2

在x0,1上有最小

例3.已知二次函数f(x)x22ax1a

值，求实数的值。

解：分析：对称轴xa与区间论。

（1）当a12时，f(1)a14

∴a14

a

0,1的中点相对位置分两种情况讨

（2）当a>12时，f(0)1a14∴a34综上可知：a14或a34

1

axy2(x0,y0)，若y3xx2的最大值例是正数，

2

是M(a)，试求M(a)的表达式。

1

分析：将代数式y3xx2表示为一个字母，由axy2解出

2

y后代入、消元，建立关于χ的二次方程，仍看成求动函数定区间的

4.设a

最值问题。

1

解：设S(x)y3xx2将y2ax代入消去y得

2

11S(x)x(3a)2(3a)22(x0)22

22ax0a>0∴而∴x0,

a

2

（1）当0<3a<(a>0)即0a

∵y0

1

M(a)S(3a)(3a)22

22

（2）当3a(a>0)即1a2时

a

226

M(a)S()

aa2a

（3）当3a0即a3时

1

M(a)S(0)2a030022

2

综上可知：

1

2

26

M(a)（1a2)

a2a2二.定函数动区间

1.区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值,例5.已知二次函数

f(x)x22x2

t,t1上有最小值当x

h(t)，试求h(t)的解析式。

解：分析：区间与相对于对称轴的位置分三种情况讨论（1）当t11即t0时，h(t)f(t1)t21（2）当t<1t21,(t0)

h(t)1

t22t2(t1)

t,t1上的最大值例6.已知二次函数f(x)x22x2，当x为g(t)，试求g(t)的解析式。

解：分析：只要对区间中点是在对称轴x1的左侧还是右侧进行讨论就可以了。

tt1

1（1）当

2

（2）当tt1>1

2

综上可知：

，即t1，即t>1

22

时，g(t)f(t)t22t2时，g(t)f(t1)t21

t22t2,(t1)2g(t)

t21,(t>1)2

2.区间的长度不变，影响二次函数的最值

1

例7.已知二次函数f(x)3(x)24a23

2

上有最大值7，求实数a的值。

在xa,a,(a>0)

解：分析：分区间包含对称轴或不包含对称轴为两种情况讨论。

（1）当a>12且a>0即02f(a)(a33

2)27∴a7

2

（2）当a12且a>0即a12

时

f(12

)4a237

∴a1综上可知：a73

2

或a1

时