专题讲座 运动学

专题讲座 运动学

一、基本概念

1.质点——用来代替物体的有质量的点。（当物体的大小、形状对所研究的问题的影响可以忽略时，物体可作为质点。）

2.速度——描述运动快慢的物理量，是位移对时间的变化率。

3.加速度——描述速度变化快慢的物理量，是速度对时间的变化率。 4.变化率——表示变化的快慢，不表示变化的大小。

5.注意匀加速直线运动、匀减速直线运动、匀变速直线运动的区别。 二、匀变速直线运动公式 1.常用公式有以下四个

⑴以上四个公式中共有五个物理量：s、t、a、v0、vt，这五个物理量中只有三个是独立的，可以任意选定。只要其中三个物理量确定之后，另外两个就唯一确定了。每个公式中只有其中的四个物理量，当已知某三个而要求另一个时，往往选定一个公式就可以了。如果两个匀变速直线运动有三个物理量对应相等，那么另外的两个物理量也一定对应相等。

⑵以上五个物理量中，除时间t外，s、v0、vt、a均为矢量。一般以v0的方向为正方向，以t=0时刻的位移为零，这时s、vt和a的正负就都有了确定的物理意义。 2.匀变速直线运动中几个常用的结论

①Δs=aT 2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等。可以推广到sm-sn=(m-n)aT 2 ②，某段时间的中间时刻的即时速度等于该段时间内的平均速度。

，某段位移的中间位置的即时速度公式（不等于该段位移内的平均速度）。 可以证明，无论匀加速还是匀减速，都有。

3.初速度为零（或末速度为零）的匀变速直线运动

做匀变速直线运动的物体，如果初速度为零，或者末速度为零，那么公式都可简化为： ， ， ，

以上各式都是单项式，因此可以方便地找到各物理量间的比例关系。 4.初速为零的匀变速直线运动

①前1秒、前2秒、前3秒……内的位移之比为1∶4∶9∶…… ②第1秒、第2秒、第3秒……内的位移之比为1∶3∶5∶…… ③前1米、前2米、前3米……所用的时间之比为1∶∶∶…… ④第1米、第2米、第3米……所用的时间之比为1∶∶（）∶…… 对末速为零的匀变速直线运动，可以相应的运用这些规律。 5.一种典型的运动

经常会遇到这样的问题：物体由静止开始先做匀加速直线运动，紧接着又做匀减速直线运动到静止。用右图描述该过程，可以得出以下结论： a1、s1、t1 a2、s2、t2 ① ② A B C 例1. 两木块自左向右运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的，

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 由图可知

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7

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A.在时刻t2以及时刻t5两木块速度相同 B.在时刻t1两木块速度相同

C.在时刻t3和时刻t4之间某瞬间两木块速度相同 D.在时刻t4和时刻t5之间某瞬时两木块速度相同

解：首先由图看出：上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量，可以判定其做匀变速直线运动；下边那个物体明显地是做匀速运动。由于t2及t5时刻两物体位置相同，说明这段时间内它们的位移相等，因此其中间时刻的即时速度相等，这个中间时刻显然在t3、t4之间，因此本题选C。

例2. 在与x轴平行的匀强电场中，一带电量q=1.0×10-8C、质量m=2.5×10-3kg的物体在光滑水平面上沿着x轴作直线运动，其位移与时间的关系是x＝0.16t－0.02t2，式中x以m为单位，t以s为单位。从开始运动到5s末物体所经过的路程为 m，克服电场力所做的功为 J。

解：须注意：本题第一问要求的是路程；第二问求功，要用到的是位移。

将x＝0.16t－0.02t2和对照，可知该物体的初速度v0=0.16m/s，加速度大小a=0.04m/s2，方向跟速度方向相反。由v0=at可知在4s末物体速度减小到零，然后反向做匀加速运动，末速度大小v5=0.04m/s。前4s内位移大小，第5s内位移大小，因此从开始运动到5s末物体所经过的路程为0.34m，而位移大小为0.30m，克服电场力做的功W=mas5=3×10-5J。 例3. 物体在恒力F1作用下，从A点由静止开始运动，经时间t到达B点。这时突然撤去F1，改为恒力F2作用，又经过时间2t物体回到A点。求F1、F2大小之比。

解：设物体到B点和返回A点时的速率分别为vA、vB， 利用平均速度公式可以得到vA和vB的关系。再利用加速度定义式，可以得到加速度大小之比，从而得到F1、F2大小之比。

A B vB 画出示意图如右。设加速度大小分别为a1、a2，有： vA

∴a1∶a2=4∶5，∴F1∶F2=4∶5

特别要注意速度的方向性。平均速度公式和加速度定义式中的速度都是矢量，要考虑方向。本题中以返回A点时的速度方向为正，因此AB段的末速度为负。 三、运动图象

1.s-t图象。能读出s、t、v 的信息（斜率表示速度）。

s v 2.v-t图象。能读出s、t、v、a的信息（斜率表示加速度，曲线下的面积表示位移）。可见v-t图象提供的信息最多，应用也最广。

例4. 一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面o t o t

p q AB，右侧面是曲面AC。已知AB和AC的长度相同。两个A 小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑， 比较它们到达水平面所用的时间 B C A.p小球先到 B.q小球先到 C.两小球同时到 D.无法确定 a a’ v l2 v2 解：可以利用v-t图象(这里的v是速率，曲线下的面积表示路程s)定性v l1 - 9 -

q p tq tp l2 v

o v1 l1 t

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地进行比较。在同一个v-t图象中做出p、q的速率图线，显然开始时q的加速度较大，斜率较大；由于机械能守恒，末速率相同，即曲线末端在同一水平图线上。为使路程相同（曲线和横轴所围的面积相同），显然q用的时间较少。

例5. 两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示)现有两只相同小球a和a/ 同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？(假设通过拐角处时无机械能损失)

解：首先由机械能守恒可以确定拐角处v1> v2，而两小球到达出口时的速率v相等。又由题薏可知两球经历的总路程s相等。由牛顿第二定律，小球的加速度大小a=gsinα，小球a第一阶段的加速度跟小球a/第二阶段的加速度大小相同v /

vm （设为a1）；小球a第二阶段的加速度跟小球a第一阶段

的加速度大小相同（设为a2），根据图中管的倾斜程度，显然有a1> a2。根据这些物理量大小的分析，在同一个v-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同，且末状态速度大小也相同（纵坐标相同）。开始时a球曲线的斜率大。由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达

（经历时间为t1）则必然有s1>s2，显然不合理。考虑到o t t1 t2 两球末速度大小相等（图中vm），球a/ 的速度图象只能如蓝线所示。因此有t1< t2，即a球先到。 四、运动的合成与分解 1.运动的性质和轨迹

物体运动的性质由加速度决定（加速度得零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。

物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。

v1 v 两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？

a1 a 决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图所示）。

常见的类型有：

⑴a=0：匀速直线运动或静止。 o v2 a2 ⑵a恒定：性质为匀变速运动，分为：① v、a同向，匀加速直线运动；②v、a反向，匀减速直线运动；③v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。）

⑶a变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。 2.过河问题

如右图所示，若用v1表示水速，v2表示船速，则：

v1 v2 ①过河时间仅由v2的垂直于岸的分量v⊥决定，即，与v1无关，所以当v2⊥岸时，过河所用时间最短，最短时间为也与v1无关。 ②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v1＜v2时，最短路程v v2 为d ；当v1＞v2时，最短路程程为（如右图所示）。 3.连带运动问题 v1 指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都

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是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。

例6. 如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为

v1 甲 v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2 v1 乙 解：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，v2 α 所以有v1∶v2=cosα∶1

例7. 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。小球a、b间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比va∶vb 解：a、b沿杆的分速度分别为vacosα和vbsinα

∴va∶vb= tanα∶1

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α va α vb