用导数求切线方程的四种类型

用导数求切线方程是导数的重要应用之一。求曲线的切线方程的关键在于求出切点P(x,y)及斜率。设P(x,y)是曲线y=f(x)上的一点，则以P的切点的切线方程为：y-y=f'(x)(x-x)。若曲线y=f(x)在点P(x,f(x))的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=x。下面例析四种常见的类型及解法。

类型一：已知切点，求曲线的切线方程

这类题较为简单，只需求出曲线的导数f'(x)，并代入点斜式方程即可。例如，曲线y=x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为y-(-1)=-3(x-1)，即y=-3x+2.

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

这类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决。例如，与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x^2的切线方程为2x-y-1=0.

类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法。例如，求过曲线y=x^3-2x上的点(1,-1)的切线方程。设想P(x,y)为切点，则切线的斜率为y'|(x=x)=3x^2-2.故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1)，或5x+4y-1=0.

类型四：已知两曲线的交点，求切线方程

这类题一般需先求出两曲线在交点处的导数，再代入点斜式方程加以解决。例如，已知曲线y=x^3-x和y=2x-x^2的交点为(1,0)，求它们在该点的切线方程。两曲线在交点处的导数分别为1和-1.故所求切线方程为y-(0)=1(x-1)，或y-(0)=-1(x-1)，即y=x-1或y=-x+1.

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程

对于这类问题，我们可以先设定切点，再求解切点，使用待定切点法来解决。

例4：求过点(2,0)且与曲线$y=x/(1+x^2)$相切的直线方程。

解：设P(x,y)为切点，则切线的斜率为$y'=\\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$。

因此，切线方程为$y-y_0=\\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}(x-x_0)$，即$(x-x_0)y+(y_0-\\frac{x_0}{1+x_0^2})=\\frac{1-x_0^2}{(1+x_0^2)^2}x$。

已知切线过点(2,0)，代入上述方程，得$-3x+4y-8=0$。

评注：点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性。

例5：已知函数$y=x^3-3x$，过点A(0,16)作曲线$y=f(x)$的切线，求此切线方程。

解：曲线方程为$y=x^3-3x$，点A(0,16)，不在曲线上。

设切点为M(x,y)，则点M的坐标满足$y=x^3-3x$。

因为$f'(x)=3(x^2-1)$，故切线的方程为$y-y_0=3(x^2-1)(x-x_0)$。

点A(0,16)在切线上，则有$16-(x^3-3x)=3(x^2-1)(0-x)$。化简得$x^3=-8$，解得$x=-2$。

因此，切点为$M(-2,10)$，切线方程为$y-10=-24(x+2)$，即$y=-24x+58$。