连续时间LTI系统的频域分析

连续时间LTI系统的频域分析

一、实验目的

1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；

2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；

3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义； 4、掌握用MATLAB语言进行系统频响特性分析的方法。

基本要求：掌握LTI连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB描述方法，深刻理LTI系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB计算和绘制LTI系统频率响应特性曲线中的编程。

二、实验原理及方法

1 连续时间LTI系统的频率响应

所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。

x(t)X(j)LTI系统h(t)H(j)y(t)Y(j)连续时间LTI系统的时域及频域分析图 上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响。它们三者之间的关系为：y(t)x(t)*h(t)，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：

Y(j)X(j)H(j)

或者： H(j)3.1

Y(j) 3.2

X(j)H(j)为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。

即

 H(j)jth(t)edt 3.3 由于H(j)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel）的话，那么H(j)一定存在，而且H(j)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把

它表示成极坐标形式：

H(j)H(j)ej() 3.4

上式中，H(j)称为幅度频率相应（Magnitude response），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，()称为相位特性（Phase response），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。H(j)和()都是频率的函数。

对于一个系统，其频率响应为H(j)，其幅度响应和相位响应分别为H(j)和

()，如果作用于系统的信号为x(t)ejt，则其响应信号为

0y(t)H(j0)ej0t3.5

H(j0)ej(0)ej0tH(j0)ej(0t(0))

若输入信号为正弦信号，即x(t) = sin(0t)，则系统响应为

y(t)H(j0)sin(0t)|H(j0)|sin(0t(0)) 3.6

可见，系统对某一频率分量的影响表现为两个方面，一是信号的幅度要被H(j)加权，二是信号的相位要被()移相。

由于H(j)和()都是频率的函数，所以，系统对不同频率的频率分量造成的幅度和相位上的影响是不同的。

三、实验内容及步骤

Q3-1 修改程序Program3_1，并以Q3_1存盘，使之能够能够接受键盘方式输入的微分方程系数向量。并利用该程序计算并绘制由微分方程Eq.3.1、Eq.3.2和Eq.3.3描述的系统的幅度响应特性、相位响应特性、频率响应的实部和频率响应的虚部曲线图。 抄写程序Q3_1如下： %Program Q3_1

%This program is used to compute and draw the the plots of the frequency response %Of a continuous-time system clc,clear,close all;

b = input('Type in the right coefficient vector of differential equation b'); %The coefficient vector of the right side of the differential equation a = input('Type in the left coefficient vector of differential equation a'); %The coefficient vector of the left side of the differential equation

[H,w]= freqs(b,a);%Compute the frequency response H Hm= abs(H);%Compute the magnitude response Hm phai= angle(H);%Compute the phase response phai

Hr= real(H);%Compute the real part of the frequency response Hi= imag(H);%Compute the imaginary part of the frequency response subplot(221)

plot(w,Hm), grid on, title('Magnitude response'), xlabel('Frequency in rad/sec') subplot(223)

plot(w,phai), grid on, title('Phase response'), xlabel('Frequency in rad/sec') subplot(222)

plot(w,Hr), grid on, title('Real part of frequency response'), xlabel('Frequency in rad/sec') subplot(224)

plot(w,Hi), grid on, title('Imaginary part of frequency response'), xlabel('Frequency in rad/sec') %Eq.3.1 b=[1 0];a=[1 1 25]; %Eq.3.2 b=[1 -1];a=[1 1];

%Eq.3.3 b=[262];a=[1 10 48 148 306 401 262];

执行程序Q3_1，绘制的系统1的频率响应特性曲线如下：

从系统1的幅度频率响应曲线看，系统1是低通、高通、全通、带通还是带阻滤波器？ 答：带通滤波器。

执行程序Q3_1，绘制的系统2的频率响应特性曲线如下：

从系统2的幅度频率响应曲线看，系统2低通、高通、全通、带通还是带阻滤波器？ 答：低通滤波器

执行程序Q3_1，绘制的系统3的频率响应特性曲线如下：

从系统3的幅度频率响应曲线看，系统3是低通、高通、全通、带通还是带阻滤波器？ 答：带阻滤波器 Q3-2 编写程序

Q3_2，使之能够能够接受键盘方式输入的输入信号x(t)的数学表达式，

系统微分方程的系数向量，计算输入信号的幅度频谱，系统的幅度频率响应，系统输出信号y(t)的幅度频谱，系统的单位冲激响应h(t)，并按照下面的图Q3-2的布局，绘制出各个信号的时域和频域图形。

图Q3-2

你编写的程序Q3_2抄写如下： % Program Q3_2

% This Program is used to compute and draw the plots of the frequency response % of a continuous-time system clc,clear,close all T =0.01;dw =0.1; t=0:T:40; w=-4*pi:dw:4*pi; b=input('b='); a = input('a=');

x = input('Type in the expression of the input signal x(t)'); X=x*exp(-j*t'*w)*T; X1=abs(X); y=lsim(b,a,x,t); Y=y'*exp(-j*t'*w)*T; Y1=abs(Y); h=impulse(b,a,40); [H,w]= freqs(b,a); Hm= abs(H); subplot(324)

plot(w,Hm),axis([0 4*pi -0 1.2]);grid on,title('Magnitude response of the system') subplot(321)

plot(t,x),axis([0 40 -3 3]);grid on, title('Input sihnal x(t)')

subplot(323)

impulse(b,a,40),axis([0 40 -0.2 1]);grid on,title('Impulse response h(t) of the system') subplot(325)

lsim (b,a,x,t),axis([0 40 -1 1]);grid on,title('Output signal y(t)') w=-4*pi:dw:4*pi; subplot(322)

plot(w,X1),axis([-4*pi 4*pi 0 20]);grid on,title('Magnitude response of input signal x(t)') subplot(326)

plot(w,Y1),axis([-4*pi 4*pi 0 20]);grid on,title('Magnitude response of output signal y(t)');xlabel('Frequency in rad/sec')

%Eq.3.3 b=[262];a=[1 10 48 148 306 401 262]; % x(t)=sin(t)+sin(8*t); % xlabel('Time t');

执行程序Q3_2，输入信号x(t) = sin(t) + sin(8t)，输入由Eq.3.3描述的系统。得到的图形如

下：

执行程序Q3_2所得到的图形

请手工绘制出信号x(t) = sin(t) + sin(8t) 的幅度频谱图如下：

你手工绘制的信号x(t) = sin(t) + sin(8t) 的幅度频谱图与执行程序Q3_2得到的x(t) = sin(t) + sin(8t) 的幅度频谱图是否相同？如不同，是何原因造成的？

答：：不相同。手工绘制的幅度频谱图是无法做到那么密集的取值，所以看起来比较离散，而用程序绘制的图比较密集。

Q3-3 编写程序Q3_3，能够接受从键盘输入的系统微分方程系数向量，并分别绘制所给三个系统的群延时曲线图。 抄写程序Q3_3如下： % Program Q3_3

% This Program is used to compute and draw the plots of the frequency response % of a continuous-time system clc,clear,close all; b = input('b='); a = input('a='); [H,w]= freqs(b,a); phai= angle(H); phi=-diff(phai); subplot(211)

plot(w,phai), grid on, title('Phase response'), xlabel('Frequency in rad/sec') w(1,:)=[]; subplot(212)

plot(w,phi), grid on, title('Group delay'), xlabel('Frequency in rad/sec') %Eq.3.1 b=[1 0];a=[1 1 25]; %Eq.3.2 b=[1 -1];a=[1 1];

%Eq.3.3 b=[262];a=[1 10 48 148 306 401 262];

系统Eq.3.1的群延时曲线图

系统Eq.3.2的群延时曲线图

系统Eq.3.3的群延时曲线图

根据上面的群延时曲线图可以看出，对系统

Eq.3.1，当频率为5弧度/秒时，群延时为

秒，当频率为10弧度/秒时，群延时为 0.2 秒，如何解释这两个群延时时间？

根据上面的群延时曲线图，说明这两个系统是否会造成对信号的相位失真？为什么？

从系统

Eq.3.3的群延时曲线图中可以看出，当信号的频率为1弧度/秒时，系统Eq.3.3对

这一频率的信号的延时是 秒。所以，执行程序Q3_2时，当作用于系统Eq.3.3的输入信号为x(t) = sin(t) + sin(8t)时，其输出信号y(t)的数学表达式为：