国外不等式教与学研究综述7

杨懿荔

（华东师范大学数学系, 上海, 200241）

摘 要：近十几年来，国外数学教育研究者对于各类不等式的教与学做了大量的实证研究。关于不等式的学习，研究者主要关注学生解不等式的策略、错误、迷思概念与困难；关于不等式的教授，研究者在实证研究基础上提出了一些教学策略。这些研究大大丰富了我们的不等式教学知识，为不等式的教学和相关研究提供了参考。

关键词：不等式；策略；错误；迷思概念

1 引言

众所周知，不等式在分析、代数、三角、线性规划等众多数学领域中有着广泛的应用，在中学数学课程中，不等式占有重要地位，先后涉及一次、二次、绝对值、分式、根式不等式以及与幂函数、指数函数、对数函数和三角函数相关的不等式等。研究学生解不等式的思维方式、困难和障碍，可以为改善教学提供借鉴。

近十几年来，国外学者对于不等式的教与学做了大量的实证研究，涉及的不等式有一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式、绝对值不等式、分式不等式和根式不等式等。这些研究主要从教与学两个方面展开。关于不等式的学习，研究者主要关注学生解不等式的策略、错误、迷思概念、困难或障碍；而关于不等式的教授，研究者主要关注不等式的教学方法和策略。

关于不等式的教与学，研究方法主要有两类。第一类是问卷调查、测试和访谈。通过问卷调查或测试找出学生解不等式的策略、错误，再通过访谈，从数学教育心理学角度探究错误的成因。第二类是课堂观察，观察学生在课堂中的表现以及教学前后学生的认知变化。

那么，国外关于不等式教学研究得到了哪些结果？为了回答上述问题，本文按照不等式的类型对有关文献进行梳理、分析和总结，以期为不等式的教学和进一步的相关研究提供参考。

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本文得到国家理科人才培养基地“能力提高”项目经费的资助。 【作者简介】杨懿荔（1991-），华东师大数学系硕士研究生，主要从事中学数学教育研究。

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2 学生解不等式的策略与错误

2.1 一元一次不等式

关于一元一次不等式，研究者关注学生从方程到不等式过渡时的困难以及解含参数不等式的策略与错误。

Verikios & Farmaki(2008)就一个出租车计费问题，对5名13岁学生进行访谈，研究他们在从一元一次方程过渡到一元一次不等式时的困难。研究发现，学生有三类错误：（1）两边同除以一个负数时未改变不等号方向；（2）将x14和14x等同起来；（3）认为不等式的解和方程的解一样是单个值，而未能意识到解是一个区间[1]。

Tsamir & Bazzini (2002a)通过对402名16-17岁学生（192名来自意大利、210名来自以色列）的测试发现，学生解含参数不等式的正确率很低。如对于不等式a5x2a1，一些学生得出x2a12a1，没有任何限制条件。研究表明，a5，一些学生得出xa5a5学生将解方程的方法迁移到了不等式；一些学生甚至认为，解方程和解不等式的方法完全相同[2]。Tsamir & Bazzini (2002b)发现，学生错误的解题模式一般有两种：一是同时在不等号两边做运算；二为将“0”的情况单独考虑，然后再在不等号两边同时做运算[3]。

Blanco & Garrote (2007)通过研究发现，学生在解含参数的一次不等式时，会混淆未知数和参数，从而失去解题思路。有些学生能够区分参数和未知数，但未能对参数进行分类讨论[4]。

2.2 一元二次不等式

Tsamir & Reshef (2006) 通过研究20名十年级学生在课堂教学后的表现，发现学生在解二次不等式时主要采用了图像法、数轴标根法和逻辑连接符法（即将二次不等式转化为一次不等式组），其中图像法最受学生的青睐[5]。Sackur (2004)在研究中也发现，由于图形计算器的出现，学生更倾向于利用图像比较两个函数，以此来解不等式问题[6]。Tsamir & Almog (2001)则发现，学生在解形如ax2bxc0的二次不等式时，采用了求相应方程的根或判定二次项系数a和判别式的正负等策略[7]。

学生在解此类不等式时，出现的错误有：弄错抛物线的开口方向；忽视首项系数的正负性；没有掌握逻辑连接词的意义，分不清“且”和“或”，其中最后一类错误最常见。研究

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发现，学生在解一元二次不等式时，会涉及两个关键值，这大大增加了发生此类错误的概率

[7]

。Blanco & Garrote (2007)也有类似的发现：学生习惯将不等式转化为方程来解，以便求出

关键值[4]。但是学生往往不知道未知数和关键值之间的大小关系；有些学生虽知道大小关系，却不知道两个关系之间应该用“且”还是“或”；或者很草率地将两个答案连接起来：如对于x3或x10，有些学生会直接写作10x3；更有学生很草率地将其中一个答案舍去。也有学生会将不等式过度一般化，如x225x5[7]。Tsamir & Almog (2001)在调查中发现，学生在遇到一元二次不等式和分式不等式时，特别容易出现此类错误。但在用数轴来解有关于逻辑连接词“且”和“或”的不等式时，多数学生的正确率会有明显的提高[7]。

解一元二次不等式时往往需要因式分解。Tsamir & Almog (2001)发现，对于含有因式相乘的不等式，学生给出的答案总是不完整的。主要有4类错误：

1. ab0a0且b0；

a0a0且b0； b2. a2b2ab；a2b2ab； 3. ab0a0且b0；4.ab0a0且b0。

这些错误均源于对方程解法的过度一般化[7]。除此之外，Tsamir & Reshef (2006)还发现，对于解集为R、或与某一特定值相关的一元二次不等式时，学生特别容易出错[5]。Bazzini & Tsamir (2001)也指出了这一现象[8]。 2.3 绝对值不等式

a0a0且b0； bAlmog & Ilany (2012)就解绝对值不等式的策略和错误，对481名以色列高中生实施了问卷调查，并对部分学生进行了访谈。研究发现，学生解绝对值不等式时主要采用了5种策略：（1）直接给出答案；（2）定义域法；（3）分类讨论法；（4）两边平方法；（5）运用法则法。其中，运用法则法指的是xaxa或xaa0，xaaxaa0以及xaxa或-xaa0。学生的错误主要有两类。第1类源于对绝对值本身的错误理解，包括：（1）误认为绝对值内部的式子总是正的；（2）误认为绝对值总是正的；（3）一个数的绝对值等于这个数本身。第2类错误与不等式相关。包括：（1）混淆逻辑连接词“且”和“或”；（2）从方程到不等式的类比与过度一般化；（3）整数概念根深蒂固。研究发现，

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对于解集为空集或只与单个值有关（单元素集或实数集去掉一个元素后的子集）的不等式，学生的困难较大[9]。

2.4 分式不等式

Tsamir & Almog (2001)在一项针对分式不等式的研究中发现，一些学生错误地将不等式两边同时平方，再通过两边同乘得到一个高次不等式。还有一些学生忽略分母为0的情形，或误认为分母需要大于或等于0。错误源于对分式函数本身的不理解[7]。

Bazzini (2003) 针对分式不等式做了一项比较新颖的研究。作者给出两个任务： 任务1：（a）x100；（b）

x10x10，

x1任务2：（c）x200；（d）

x20x50。

x5其中，任务1中两个不等式的解集不同，任务2中两个不等式的解集相同。研究发现，部分学生忽略任务1中的限制条件，认为两个任务中两个不等式的解集都是一样的；部分学生则将两个任务过度一般化，认为两个答案都不一样[10]。

Üreyen, Çetin & Mahir (2006)对129名土耳其某大学一年级学生进行了分式不等式测试，研究发现，学生采用的主要策略是在不等式两边同乘以分式的分母，而主要错误也出现在这一步骤中。如对于不等式

25，许多学生在两边同乘以x1时，并不考虑其符号；有x1些学生将5移至左边通分，也未分x1和x1两种情形[11]。

类似地， Blanco & Garrote (2007) [4]、Beoro & Bazzini(2004) [12]、Pedersen & Grønmo (2013) [13]也做过类似的研究。如，后者在研究中发现，对于不等式

x11，某学生的解x2法是：

x11x1x212[13]。Lim(2006)发现，学生理解不等式的方式共有x2五类：程序的信号、静态的比较、约束条件、命题和函数的比较[14]。

2.5 根式不等式

Bagni(1996)研究发现，学生在解根式不等式时常常套用如下法则而不会变通：

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AxBxAx0,Bx0,AxBx；

AxBxAx0,Bx0或Ax0,Bx0,AxBx，

学生的常见错误之一是忽略定义域，即需要考虑“分母不为0”以及“二次根式中的被开方式子非负”这两个限制条件。此外，一些学生还会将两个条件混淆起来，误以为分母非负，而被开方的式子不为0[15]。

Tsamir & Almog (2001)指出，凡遇根式不等式就盲目套用法则，有时毫无必要，甚至更容易出错。如x0，x0，x20之类的不等式，根据二次根式的意义，即可直接得出答案。比较典型的错误主要有以下三类[7]：

●忘记限制条件：x0xR；

●忽略根式意义：x10x1，故x1和x1同解； ●不懂字母意义：x0解集为（认为x必为负数）。

223 学生对不等式的认知障碍与迷思概念

White & Kilda(1996)其12年级线性规划教学中发现，学生对不等式有三种认知障碍[16]：（1）对不等式的术语（如“至多”、“至少”）缺乏理解；（2）对字母表示数缺乏理解（如5c只能表示5辆小汽车而不是c的5倍）；（3）将约束条件转化为数学语言有困难。

Sokolowski(2000)对6名大学生进行了关于线性不等式的调查研究，发现学生对变量的理解不清晰，也会导致其在解不等式时的障碍[17]。有些学生表面上把变量当作未知数，但实际上却将其当作某一客观存在的事物来解题。缺少了客观载体，就无从下手。有些学生虽知道将变量看成未知数，却不会用变量来表示未知数。

Tsamir & Bazzini(2003)发现，一些学生认为，方程的解只能是方程，故不等式的解只能

4是不等式[18] [19]。一些学生又认为，不等式5x0的解集是x|x0，但xx3却不

可能是某个不等式的解集。

Verikios & Farmaki(2006)发现，部分学生认为，解不等式时，不等号一定要改变方向[1]。对于0.3x4.2，学生直接在不等式两边同除以0.3时信心不足，认为解不等式后一定要变号，因此，部分学生直接把“”改成“”；另一部分学生则将0.3x4.2改写成0.3x4.2，然后解出x14。

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4 不等式的教学策略

4.1 针对学生错误的教学策略

针对学生解不等式的策略、错误或困难，很多作者都提出各自的教学建议。

Farmaki & Verikio (2008)指出，从方程到不等式的过度一般化是学生常见的错误，方程的解是一个或若干个特殊值，而不等式的解可能是一个区间，大部分学生可能一下子接受不了这种跳跃。教师必须加强学生对基本概念的理解：变量、函数、等式和不等式。将这些概念联系起来，将函数表达作为一种解决一次方程和不等式问题的策略[20]。

Bazzini & Tsamir (2003)提出：教师在不等式课堂上可以让学生讨论一些常见的错误或迷思概念，让他们真正理解不等式的意义，拓宽他们的思维[21]。

Kieran (2004)认为，教师应鼓励学生尝试多种方法进行独立解题，不要仅仅局限在某一种方法上[22]。

Almog & Ilany (2012)针对绝对值不等式提出如下教学建议：（1）教授解不等式的各种方法；（2）运用不等式函数方法；（3）创设讨论机会，展现错误情形（如5x5）；（4）强调方程与不等式之间的异同；（5）加强对逻辑连接词（且/或）的理解；（6）创造更多机会解决解集为R、空集、单元素集、除单个元素之外的所有实数的集合；（7）引导学生讨论方程xa在a0,a0和a0时的解，并讨论相应不等式的解集[9]。

4.2 基于技术的教学策略

Farmaki & Verikios (2008)认为，图像为学生提供了直观的模型，可以加深他们的理解。对于一次不等式，由于学生十分熟悉一次函数的图像，因此，可以引导他们从一次函数图像入手来解一次不等式 [20]。Tsamir & Almog (2001)也给出了类似的建议[7]。但图像法往往是借助图形计算器完成的。

Rivera & Becker (2004)认为，一味利用图形计算器对学生并没有好处。正确的教学方法应为：从最开始利用图形计算器解题，到后面延伸出解不等式的更常规的方法，从非常规的活动中提炼常规的解题方法。利用图形计算器可以降低学生解题难度，但如果让学生自己作图，可以提高他们对多项式不等式的理解，并提高他们的分析能力[23]。Tall (2004)也认为，有些题目用图像法比较合适，比如：x2xc，其中c是一个变量。若采用图像法，则令

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fxx2，gxxc，可将gx看作一条随着c的变化而上下平移的直线，这将有

助于学生对函数和不等式的理解。但对于简单的不等式，图像法不如代数法有效[24]。

4.3 基于问题提出的教学策略

Bazzini & Tsamir (2002)根据调查研究提出，不应固守“教师出题，学生解答”的陈旧模式，应为学生提供探究和讨论的机会[25]。为学生提供探究机会的最重要的策略是从已知的解集出发，让学生自己编制不等式问题，如：编制一个不等式，使其解集为单元素集合3。作者在其他论文中也都提到上述策略[8][21]。

此外，Tsamir & Bazzini (2001)还提出，教师应该在常规不等式问题教学的基础上增加非常规问题，以加深学生对不等式的理解，拓宽他们的思维[19]。Lim (2006)举了两个非常规的不等式问题[26]：

• 已知p、q是20-50之间的奇数，5pq2p15是否恒成立？ • 已知5ab5，问a、b哪个更大？

研究发现，若让学生先对答案进行预测，则更易正确解题。

4.4 因材施教的教学策略

Young & Becker (1979)发现，对于解不等式的两种方法——图像法和代数法，哪种方法先教，对学生的影响并不大。但对于成绩较差的学生，代数法往往能提高他们的成绩；而对于成绩较为优异的学生，图像法则更为合适[27]。Lim (2006)指出，由于不同的学生对不等式的理解方式不同，故应根据不同的理解实施不同的教学干预[14]。

4 结语

针对不同类型的不等式，从学生所用的策略到学生的错误以及错误成因，再到教学策略或建议，国外学者所做的研究大大丰富了我们的不等式教学知识，为我们的不等式教学与研究提供了重要参考。

首先，对不等式的教学而言，教师应跳出“教师机械性教学、学生机械性解题”的模式，多与学生沟通讨论，用多种方法解不等式问题，而不是仅仅机械地套用法则；应强调方程和不等式之间的联系与差别，杜绝知识迁移错误的情况发生；应为学生提供探究机会，让他们

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自己提出不等式问题；应帮助学生在面对各种题型时学会选择最适当的方法，灵活变通；还应因材施教，针对不同层次学生，采用不同教学策略。

其次，由于国情不同，教学方法不同，学生数学水平不同，故我们并不可以直接根据外国学者的研究结论来推测目前我国高中生在该知识点上的理解现状，而需要针对中国学生开展细致的实证研究。不等式种类繁多，不同问题需要不同的策略，即使同一个问题，也会包含多种数学思想，对于不同类型的不等式，学生的错误也不同。因此，研究应该从细节入手，按照不等式的类型分别进行研究。从学生的策略、错误、困难、障碍以及错误成因入手，得到一系列的教学启示，进而对教学方法进行改善，提高教学质量。

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Empirical Studies on the Learning & Teaching of inequalities: An overview

Yang Yi-Li

(Department of Mathematics, East China Normal University,)

Abstract：Since the beginning of the 21st century, a number of empirical studies on the learning and teaching of inequalities has been conducted. The researchers focused on students’ strategies, errors and difficulties in solving various types of algebraic inequalities and proposed many suggestions on the teaching of inequalities. These studies greatly extend our pedagogical content knowledge of algebraic inequalities and offer important references for the teaching of and further researches on inequalities.

Keywords: inequality; strategies; errors; misconceptions

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