具有结构无关时变不确定性的新一类线性系统的二次可镇定性

具有结构无关时变不确定性的新一类线性

系统的二次可镇定性

胡三清 王军

自动化与计算机辅助工程系，香港新界沙田香港中文大学

1998年10月12日初稿，2000年2月23日修改，2000年5月3日发表

摘要：本文研究设计一个线性状态反馈控制镇定新一类型的单输入不确定性的线性动态系统 。在给定的压缩集系统矩阵中不确定性参数是时变和有界的。我们首先提供了一个概念称为“新标准系统”，其中一些输入要求负号不变和符号不变，并且每个输入在任意大的范围内独立变化，然后对于新一类的标准系统我们得到在一个充分必要条件下，对所有容许的不确定性变化系统可由线性控制实现二次镇定。主要结果的延伸见魏（电气电子工程师协会自动控制会刊，35（3），268-277,1992年）。©爱思唯尔科技有限公司版权所有。

关键词：二次可镇定性，NAS结构，单输入，时变，线性系统 1 引言

近年来，稳定一个不确定动态系统一直是一个非常活跃的研究领域。比方说，一般的线性矩阵不等式条件由Boyd,EI Ghaoui,Feron 和

Balakrishnan（1994年）提出的和由张、胡、戴、京、张、魏等人提出的特殊几何结构。这篇文章中，我们研究参数是时变的和指定的有界紧致集的不确定性动态系统。我们使用一个二次的李雅普诺夫函数来建立一个闭环系统的稳定性，原则上，二次的镇定问题可以用Boyd提出的线性矩阵不等式条件解决，这也是一各可利用的有效算法。然而，这些条件需要检查指数中不确定参数的不等式，因此，线性矩阵不等式的数字结果不能够被处理除非这个问题的结构非常小。基于这个问题，有必要提出一些简便的方法去解决二次镇定问题。

通常来说，二次镇定的方法有两类。在第一类方法中，在系统矩阵中的不确定性通常允许在充分小的范围内变化，因此被视为扰动（见Petersen和Hollot，1986年），一旦不确定性的数值超过指定范围，系统可能不再稳定。在第二类方法中，与之相反的是，系统矩阵可能会有一些任意大的变化条件。为了确保一个不确定性系统的鲁棒可镇定性，系统矩阵中的不确定性必须被限定在诸如“匹配条件”（见Pertersen，1988年），“通常匹配条件（见Thorp和Barmish，1981年）”和“容许置乱”结构（见Barmish，1982年）。这些都是充分条件。魏（1990年）指出所有的稳定性系统满足这些充分条件，属于一个被称这为所对称逐步结构特定几何类型的一些系统子集。由魏给出的推广的反对称逐步结构在多输入系统中作为充分条件。两种特殊几何类型在确保系统的鲁棒镇定中起至关重要的作用。此后，许多作者关注魏，并且引入新几何类型，如Tsujino提出的“普通AS结构”，Fujii和魏（1993年）作为一个必要条件；由杨张二人（1996

年）提出的“强AS结构”和由胡（1997年）提出的“多输入AS结构”作为充分条件。这些特殊几何类型提供了方便的方法来解决二次镇定的问题。本文讨论第二类方法。

2 预备知识

考虑一个线性时变不确定系统Σ(A(q(t)),b(q(t)))（或简写为不确定系统Σ(A(q),b(q))）由状态方程描述为

（1）

其中x(t)∈Rn 是状态，u(t)∈R是控制，q(t)∈Rp是被限定在指定有界

紧致集Q的不确定模型勒贝格可测集。在这个框架内，A(·) 和 b(·) 分别为n×n矩阵和(n×1)矩阵集合Q中的连续矩阵函数。因此，对于恒定的q∈Q, A(q)和 b(q) 是模型矩阵的结果。

本文中，除非特别说明，我们假定A(q)和b(q)取决于q的不同的组成部分，即，我们有q=[r:s]′，这里A(·)仅取决于r，b(·)仅取决于s。后来，为了简便记数，我们通常用θ (或 )来表示一个符号不变或负号不变的不确定项。注意θ (或 )在不同的项中不一定是相同的q函数。I或者In表示单位矩阵，实矩阵

的范

数是MTM的最大特征的平方根。λmin(max)[·]也表示经运算所得的最小（最大）特征值。M(i:j)表示n×n不确定矩阵的2×2子矩阵（或

者当i=j时为1×1），这里M(q)由定义。

其中，1 ≤i≤j≤n.*项在任意矩阵中通常表示0或者不确定项。

定义2.1

一个不确定系统Σ(A(q),b(q))称为关于Q的二次可镇定（QS）如果存在一个n×n正定对称矩阵P，一个正常数α,和一个连续反馈控制律：

，当u(0)=0满足以下条件，任给容许的不确定

q(·)，由此得出以下结论

（2）

对于全对偶测试法(x,t)∈Rn×[0,+∞). L(x,t)是李雅普诺夫导数的相关李雅普诺夫函数V(x)=xTPx。此外，Σ(A(q),b(q))被称为是可通过线性控制来二次镇定（QSVLC）关于Q当u(x)=Kx,这里K是一个n 维常数列向量。 定义2.2

一个（n+1）×（n+1）阶不确定矩阵

，如果存在两

个整数i*和j*满足0≤i*≤n，0≤j*≤n和1≤i* +j*≤n以致mii(q)(1≤i≤i* +j*)和mii+1(q)(i*+1≤i≤n)是分别为各自无关的q的(包括常数函数)负号不变和符号不变函数称为新标准形式。

本文中，由于篇幅原因，我们假定i*=0,除非特别声明，1≤j*≤n.我们在内部实验报告讨论其它情况。因此，例如当j*=2和n=4时，新标准形式如下表示：

定义2.3

一个不确定系统Σ(A(q),b(q))被认为是在新标准下具有结构无关不确定形式如果它和方阵M（q）匹配定义为

在新标准形式中和每一项mij(q)(除了mii(q)( 1≤i≤j*)和mii+1(q)( 1≤i≤n))是零或者一个不确定在rij>0可能会是任意大。 评论2.4

显然，新标准形式和魏（1990年）提出的标准形式不同。如果j*允许为零，新标准形式可能被看作为一个由魏（1990年）提出的定义2.2标准形式的延拓，这样以来，前者比后者更具有实际意义。 引理2.5

（见Barmish(1985年)的证明）。一个不确定系统Σ(A(q),b(q))是二次镇定的等价于存在一个n×n阶正定对称矩阵S使得xT(A(q)S+SAT(q))x<0对所有的全对称测试法（x,q）∈N×Q成立,其中x≠0 这里推论2.5.1

（魏，1990年的推论4.2）。一个不确定系统Σ(A(q),b(q))，其中

内独立变化，这里

对于一些.

是二次可镇定的等价于存在一个n×n阶正定对

阵矩阵S使得

是对所有q∈Q负定对称的（简写为NDS），这里n×(n−1) 矩阵。

这对(S,π)满足推论2.5.1称为Σ(A(q),b(q))的容许对 定义2.6

考虑一个不确定系统Σ(A(q),b(q))。当

时，一

是

个第二类下Σ(A(q),b(q))增广系统Σ+(A+(q),b+(q))定义如下：

如果

, 则Σ+(A+(q),b+(q)) 称为Σ(A(q),b(q))的

第一类下增广系统。为简便起见，我们称第一类（或第二类）下增广系统为一个下增广系统。 引理2.7

（

见附录证明）考虑定义2.6中的Σ(A(q),b(q))和

Σ+(A+(q),b+(q))不确定系统，则Σ(A(q),b(q))是可通过线性系统被二次镇定的等价于Σ+(A+(q),b+(q))也是可通过线性系统被二次镇定的。 评论2.8

引理3.6魏（1990年）意味着Σ+(A+(q),b+(q))是二次镇定的仅当Σ(A(q),b(q))是二次镇定的，这里

。实际上，

引理2.7表明Σ+(A+(q),b+(q))和Σ(A(q),b(q))就通过线性系统被二次镇定而言是等价的。此外，引理2.7可以被认为是对由Barmish（1983年）提出的定理3.1在m=1时这种情况下的延拓。 定义2.9

考虑一个不确定系统Σ(A(q),b(q))，其中

Σ(A(q),b(q))第二类上增广系统Σ+(A+(q),b+(q))定义如下：

，

引理2.10

（

见附录证明）考虑定义2.9中的Σ(A(q),b(q))和

Σ+(A+(q),b+(q))不确定系统，则Σ(A(q),b(q))是可通过线性系统被二次镇定的等价于Σ+(A+(q),b+(q))也是可通过线性系统被二次镇定的。 定义2.11

（魏，1990年定义4.7）考虑一个不确定系统Σ(A(q),b(q))，其中

一个第一类系统Σ(A(q),b(q))的上增广系统Σ+(A+(q),b+(q))定义如下：

为了简便起见，我们称第一类（或第二类）上增广系统为一个上增广系统。 引理2.12

考虑定义2.11中的Σ(A(q),b(q))和Σ+(A+(q),b+(q))不确定系统，则Σ(A(q),b(q))是可通过线性系统被二次镇定的等价于Σ+(A+(q),b+(q))也是可通过线性系统被二次镇定的。

注意引理A.2和引理2.10的证明过程，类似地我们可以证明引理2.12

3 主要结果

在这一部分，我们首先提供一些必要的定义和引理，然后得出我们主要的结果。 定义3.1

一个不确定系统Σ(A(q),b(q))称为有新反对称逐步回归结构（简称为NAS结构），如果M（q）满足以下三种条件。

（1）变。

（2）如果p≥k+2,1≤k≤j∗ 和 u>v,u≤p−1 和 v≤k. 有

与 分别为负号不变和符号不

, 则对于所有的

。

（3）如果 p≥k+2,j∗u≥v,j∗v,1≤v≤j∗,u≤p−1 这里 j∗≥1 有例3.2

对于4×4阶矩阵（这里j*=2）所有可能的新反对称逐步回归结构如下：

评论3.3

（1）例3.2与由魏（1990年）提出的例2.8相比，我们容易地看出定义3.1不同于魏（1990年）的定义2.5。（2）如果j*=0，我们也可以看出定义3.1恰好和魏（1990年）提出的定义2.5相同，因此为一个更为普遍的情况。Ishida, Adachi 和Tokumaru（1981年）研究的不确定系统（无控制）的鲁棒镇定由零组成，正项和负项符号不变。在定义3.1中，我们易见一个不确定系统Σ(A(q),b(q)) 有新反对称逐步回归结构仅由零，*，正负符号不变的项组成。

通过定义2.6，2.9和2.11与定义3.1相比较，我们发现一个重要的事实。

事实3.4

如果一个不确定系统Σ(A(q),b(q))满足以下条件：M(q)作为在

（3）中有新反对称逐步回归结构，则Σ+(M(q),b+)，其中

总可以由最简系统Σ(A0(q),b0(q)) 通过一系列的增

广（上或下）得出，这里

(或者为

)。此外，一旦我们

采用一个第二类上增广（或第二类下增广）运算，我们不再采用第一类上增广（或下增广）运算。

这个事实揭示了一个秘密：一个新反对称逐步回归结构仅由一系列的增广构成。事实3.4可以被看作选择新反对称逐步回归结构的定义和将会在证明定理3.9充分部分中起核心作用。下面，引理将会被用于证明定理3.9的必要性。 引理3.5

考虑一个自由系统Σ(Ac,bc)，这里

和Ac={aij}n×n

满足以下条件：aii=-1(i=1,„,j*),aii+1=1(i=1,„,n-1)和其它项全为零，0≤j*≤n。如果存在一个容许对（S,π）对Σ(Ac,bc)，则S中的一些项具有以下性质：（1）对于所有的i=1,„,n,有sii>0和对于所有的i,j=1,„n且i≠j,有siisjj>s2ij；（2）如果存在一些i（1≤i≤n-1）使得

和

些i（1≤i≤n-1）使得足

为无穷大。

和

，则对任意的整数k满足

；（3）如果存在一，则对于任意的整数k满

，这里r

引理3.6

考虑一个不确定系统Σ(Ac,bc)，这里

和Ac={aij}n×n

满足以下条件：（1）aii=-1(i=1,„,j*),aii+1=1(i=1,„,n-1)；（2）存在一个不确定结构auv这里1≤v≤j∗和v和

会为任意大；（3）除了aii,aii+1和

auv之外，其它项均为零，这里0≤j*≤n。如果有一个容许对(S,π)对Σ(Ac,bc)，则S的suu,suu+1,和su+1 u+1满足

（5）

这里引理3.7

考虑一个不确定系统Σ(Ac,bc)，（这里Ac正是引理3.5和

其中，1≤k≤n-1，akp是一个不确定结构，

例如

和

会为任意大）；且0≤j*≤n。如果有一个容许对和r可能为足够大。

(S,π)对Σ(Ac,bc)，则S的skk,skk+1,和sk+1 k+1满足

这里引理3.8

考虑一个不确定系统Σ(Ac,bc)，这里bc(q)正是引理3.7和Ac={aij}n×n满足以下条件：（1）aii=-1(i=1,„,j*)和aii+1=1(i=1,„,n-1)，这里1≤j*≤n；（2）an1是一个不确定结构，例

和r可能为足够大。

如，和可能是任意大，其中an1与akp相独立；（3）除

了aii,aii+1，akp和an1之外，其它项均为零。则系统不是二次可镇定的。

引理3.5-3.8的证明可在附录中找到。我们现在主要陈述结果。 定理3.9

一个系统Σ(Ac,bc)在新标准形式（这里i*=0且j*≥1）有如定义2.3中独立不确定结构是可通过线性控制二次镇定的等价于该系统具有新反对称逐步回归结构。 证明

(充分性)从引理2.7中我们看到Σ(A（q）,b(q))是可通过线性控制二次镇定等价于Σ+(M(q),b+)(其中M（q）为式子（3）且b+=[0…0

1]T)是可通过线性控制二次镇定。根据假设，M(q)具有新类型反对称

逐步回归结构。从事实3.4中我们看到Σ+(M(q),b+)是从最简系统Σ(A0（q）,b0(q))产生的，其中

， b0(q)=θ； 或者

， b0(q)=θ；或者A0(q)=[0] ，b0(q)=θ, 通过一系列的

增广（上或者下）。通过线性控制实现二次镇定对Σ(A0（q）,b0(q))是简单的。根据增广规则和反复应用引理2.7，2.10和2.12，我们能够推导出Σ+(M(q),b+)，Σ+(M(q),b+)是可通过线性控制实现二次镇定的。

（必要性）为了记数简便，我们对一个特殊情况证明其必要部分，当所有符号不变（或者所有负号不变）Σ(A（q）,b(q))不确定项是

相同的。同时，略作改变，对通常情况也适用。

根据新反对称逐步回归的定义，它满足表示如果一个自由系统Σ(Ac,bc)如引理3.5中具有两个独立不确定结构auv 和 akp,其中u>v,p≥k+2,1≤k≤j∗,v≤k且u≤p−1,或者

u≥v,j∗u>v,1≤v≤j∗,p≥k+2,j∗通过相反的过程。假设系统是可二次镇定的。注意引理2.7，2.10，j*>0，且由魏（1990年）提出的定理3.2，我们只需要考虑系统Σ(A*(q),b*(q))是二次可镇定的，其中

且A*(q)满足以下条件：（1）

且

，其中1≤j≤n；（2）

∗

是一个不确定结构且独立于akn+1；(3)除了和au1外，其它项全为零。

下面，我们假定j*=n且根据三种情况考虑Σ(A*(q),b*(q))。至于情况1≤j*≤n−1,我们可以用类似的方法推导出相反的结论。

情况1：u=n且1≤k≤n-1。引理3.8表明系统不能被二次镇定。 情况2：2≤u≤k且2≤k≤n-1。因为au1是一个不确定结构，它依据引理3.6

这里

，根据akp是一个不

确定结构，它从引理3.7中导出，这里，

。注意引理3.5性能(2)和u≤k我们立即得到

，这与

矛盾。

情况3:k+1≤u≤n-1且1≤k≤n-2.它从引理2.5存在一个正定

对称矩阵S使得xT(A(q)S+SAT(q))x<0对所有对（x,q）∈N×Q，其中x≠0，

对一些

. 在证明引理

4.12应用相同的方法，在魏（1990年）领域中一个等价条件对所有的q∈Q 且 y(≠0)∈Rn−1有yTπ(S,q)y<0，其中（1）当u≠n−1时，π(S,q)的部分项如下：

且；（2）当u=n−1时，π(S,q)的部分项

如下：πkk和 π11和（1）中相同，

且

情况1：u≠n−1。它从负定π(S,q)中得出

，即：

且

（7）

且（8）

用-akn+1替代akn+1,我们得到一个不等式。添加这个新不等式和式子（7）

（9）

简要地，从式（8）中我们可以推导出

（10）

当

时，从引理3.6，（5）保持；当au1≡0，引理3.7，（6）

保持。下面，假设snn>rn−k+2skk，根据（5），引理3.5的性质（3）和u≤n-2,我们立即得出：

snn>r2sn-1 n-1且snn>r∣snn-1∣(11) 设akn+1=r，（9）式变为

（12）

然后，当r 足够大，结合snn>r2sn-1 n-1，式（11）和（6）与（12），我们容易绘制(8/r)snnr2snn

(13)

如果r是足够大是一个相反必要条件。因此，snn≤rn−k+2skk。从引理3.5（6）的性质（2）和snn≤rn−k+2skk可以得出： （14）

另一方面，从（6）和引理3.5的性质（2）我们有|s21|即:

(15)

它从引理3.5的性质（3）和式（5）得出：

（16）

结合（15）（16）导出

（17）

因为

可能会是任意大，我们选择来确保

。然后，从式（17）和

式结果相反。

得出snn>rN1s11与（14）

证明情况2类似于证明情况1，因此略去，至此，证毕。 评论3.10

（1）从以上证明我们容易地知道引理3.5-3.7起关键作用。事实上，我们也可以对定理3.2（必要性）由魏（1990年）提出，通过应用引理3.5-3.7来证明。详细的证明此处略去。（2）当j*在定理3.9可能会是零，定理3.9是由魏（1990年）提出的定理3.2。因此，定理3.9延拓了魏（1990年）的定理3.2。（3）注意引理2.7，2.10和2.12以及定理3.9的证明，我们可以容易地对一个带有新反对称逐步回归结构不确定系统设计一个理想的线性控制器，过程此处略去。

注意由魏（1990年）的推论3.3和3.4，此处我们同样略去相关结果。

4.结论

本文我们研究具有结构无关时变不确定性的新一类单输入线性系统的二次可镇定性。通过介绍一个概念“新标准类型”，我们推导出可通过线性控制来二次镇定的充要条件，判断一个系统可通过线性控制来实现二次镇定，我们仅需要检查系统矩阵是否为所有不确定项形成一个称之为新反对称逐步回归结构的一个特殊几何类型。我们的

结果延拓了魏（1990年）的主要结果。

致谢

作者感谢副编辑和评审员的有深度的评论和Roberto Tempo 和杨广宏（音）教授的令人关注和有用的讨论。本研究得到了香港自然科学研究基金会授权GUHK4150/97E的支持。

附录

本附录中，可以找到证明Barmish(1983年)的定理3.1的一些相关的知识。

引理2.7的证明

（必要性）假设Σ(A(q),b(q))是可通过线性控制实现二次镇定的，即存在一个线性稳定控制器u=Kx对Σ(A(q),b(q))以及一个n×n阶正定对称矩阵S使得

（A.1）

对所有q∈Q是负定对称矩阵。我们称（S,K）是Σ(A(q),b(q))的一个期望对。我们的任务是对Σ+(A+(q),b+(q))建立一个期望对（S+,K+）使得

(A.2)

对所有q∈Q是负定对称矩阵。分割S+与K+,分别为

（A.3）

其

中

，以及

选择

，

，以及

，

。

，这里r>0选为充分大以便S+

，

是正定对称矩阵且r>KSKT。选择K1+=−kn+1+K。然后计算

。我们可以容易选择一个合适的k+n+1来确保对

所有的q∈Q，

是负定对称矩阵。

从在证明由Barmish(1983年)的定理3.1以及负定矩阵

中选取S,K，我们能够容易地证明引理2.7的

充分性部分。

为证明引理2.10，我们首先介绍以下引理。

引理A.1

考虑一个不确定系统Σ(A(q),b(q))，其中A(q)={aij}n×n，以及

，它的上增广系统Σ+(A+(q),b+(q))定义如下：

（A.4）

则Σ(A(q),b(q))是可通过线性控制实现二次镇定等价于Σ+(A+(q),b+(q))可通过线性控制实现二次镇定。

引理A.1的证明

（必要性）假设Σ(A(q),b(q))是可通过线性控制实现二次镇定，即存在一个期望对（S,K）使得（A.1）对所有的q∈Q是负定对称矩阵。现在我们的目标是选择一个期望对（S+,K+）来确保（A.2）对所有的q∈Q是负定对称矩阵。为实现此目标，我们分割S+和K+为

(A.5)

其中，

。

选择s+01=0，s+00=r>0(来确保S+是正定对称矩阵)，s+11=S，k+0=1/r,以及K+1=K。计算

r>0来确保对所有的q∈Q，

。我们可以选取一个合适的

是负定对称矩阵。

以及

（充分性）假设Σ+(A+(q),b+(q))是可通过线性控制实现二次镇定的，即存在一个期望对（S+,K+）如（A.5）来保证（A.2）对∀q∈Q是负定矩阵。选择S=s+11且K=K1++k0+s01+s11+−1能够保证式（18）对∀q∈Q是负定矩阵。 引理2.10的证明

（必要性）假设Σ(A(q),b(q))是可通过线性控制实现二次镇定。设

考虑它的上增广系统Σ(A1(q),b1(q))，其中

从引理A.1中我们看出Σ(A1(q),b1(q)) 是可通过线性控制实现二次镇定。从A1(q)中建立一个系统Σ(A2(q),b2(q))，其中

比较Σ(A2(q),b2(q))与Σ(A1(q),b1(q))，我们容易地发现Σ(A1(q),b1(q))是一个定义2.6中的Σ(A2(q),b2(q))的下增广运算。因此，它从引理2.7中得出Σ(A2(q),b2(q)) 是可通过线性控制实现二次镇定。类似地，Σ(A+(q),b+(q))是Σ(A2(q),b2(q))的下增广运算。然后，从引理2.7中得出Σ(A+(q),b+(q)) 是可通过线性控制实现二次镇定。

（充分性）假设Σ(A+(q),b+(q)) 是可通过线性控制实现二次镇定。注意an0在 A+(q)是一个结构独立的不确定项。设an0=0，从引理A.1中我们立即有Σ(A(q),b(q)) 是可通过线性控制实现二次镇定。

下面引理对证明引理2.12有用。 引理A.2

考虑定义2.11中的不确定系统Σ(A(q),b(q))和Σ(A+(q),b+(q)),这里an0≡0。则Σ(A(q),b(q)) 是可通过线性控制实现二次镇定等价于Σ(A+(q),b+(q))是可通过线性控制实现二次镇定。 引理A.2的证明

(必要性)重复引理A.1的（必要性）证明过程，我们容易地选择

Σ(A+(q),b+(q))的一个期望对（S+,K+）。例如，我们选择s+00=r3>0,s+11=S,

,且s+01与k+0满足以下条件：（1）当θ是正符号

不变，

且k0+=k1/r2；（2）当θ是负号不变，

且k0+=-k1/r2，这里r是足够大。引理A.2的充分性证明类似于引理A.1

下面，在证明引理3.5-3.8中，我们考虑j*=n。原因类似于0≤j*回顾π(S)=ΘT(AcS+SAcT)Θ 这里Θ=[In−1 ⋮0]T，π(S)的项πij 为

.性质（1）立即得出S正定性。我们现在证

明性质（2），假设

，相反的过程。假设，

和性质（1）得出

（A.6）

的必要性导出

（A.7）

当r为足够大，从（A.6）和

中得出

，我们首先证明

，从

（A.8）

和

（A.9）

结合（A.7）-（A.9）量

是一个相反结果当r 是足够

大。然后，注意性质（1）我们有≥1时，我们类似地有

和

，当i−2≥k

.证明

性质（3）完全同上，为了简要起见，我们略去。 引理3.6的证明

简单估算

π(S,q)量，以及，我们有

（A.10）

回顾j*=n，则v则，，从

。基于v（A.11）。

用−auv来替换（A.10）中的auv，我们得到一个新的不等式。增加这个新不等式和（A.10）的量

（A.12）

从（A.13）

因为

可能为任意大，当auv是足够大时，从（30）式中我们得

，

以及（A.12），看出

到suu>rN3svv 与(A.11)结果相反。则我们得出这样一个结论

，所以

。

引理3.7的证明

应用证明由魏（1990年）的引理4.12的方法范围，一个负定对称矩阵π(S,q)这里（1）当1≤k，

以及

（2）当k=n−1时，

注意引理3.8的证明

像证明由魏（1990年）的引理4.12一样， 我们容易地得到一个负定对称矩阵π(S,q)，这里（1）1≤k且

（以及

根据以上过程有两种相反的结果 情况（1）1≤k以及

是一个结构独立不确定项，我

得出 （A.14）

(A

2

）

当

k=n−1

时

，

π11=2(s21−s11)

，

，其余的证明类似于引理3.6

.15)

当snn>rn−k+2skk。首先，假设（A.15）中

和结果

设，

。如果r是足够大，从

，snn>rn−k+2skk，（6）式以及（A.15），我们有

(A.16)

这是一个相反的结果。然后假设性质（2）|s21|另一方面，在（A.14）中设(A.17) 与 (A.14),我们可以推出

（A.18）

当r是足够大。如果an12 是足够大，从(A.18)中，我们可以得出 snn>rN4s11 ，与(A.17)结果相反。因此我们可以得出一个必要条件 snn>rn−k+2skk, 总能得出相反的结果。

当 snn≤rn−k+2skk。从式子(6) 和引理3.5的性质（2）中得出以下结果 |s21|（A.20）

当r是足够大，如果an12是足够大从(A.20) 中我们可能有 skk>rN5s11 与(A.19)结果相反。因此当 1≤k。从引理3.5的

（A.17）

，根据snn>rn−k+2skk(6),

（A.19）另一方

，由（6）式，

是一个结构独立的不确

(A.21)

从引理3.5的性质（2）中得出

(A.22)

的结果导出

(A.2

3)

设(A.23)中

，与此同时注意|s21|从 (A.23)中，我们可能得到

(A.24)

当r是足够大，如果an12是足够大，从(A.24) 中我们有

与(A.22)结果相反。